Statystyka 

Strona 1 z 3 

Zestaw 6 

Zmienną  losową  nazywamy  każdą  funkcję  mierzalną  określoną  na  przestrzeni  zdarzeo 
elementarnych 



 i przybierającą wartośd ze zbioru liczb rzeczywistych 

R

X





:

 

Zmienna  losowa  w  wyniku  doświadczenia  może  przyjąd  wartośd  ze  zbioru  liczb  rzeczywistych  
z określonym prawdopodobieostwem. 

Zmienne  losowe  oznaczamy  dużymi  literami  np. 

Y

X

Z

T

S

,

,

,

,

  a  ich  wartości  (realizacje) 

odpowiednimi małymi literami: 

y

x

z

t

s

,

,

,

,

 

Zmienną losową, której zbiór wartości jest przeliczalny lub skooczony nazywamy zmienną losową 
skokową lub dyskretną (np. liczba dzieci w rodzinie). Zmienną losową nazywa się ciągłą, jeśli zbiór 
jej możliwych realizacji jest nieskooczony i nieprzeliczalny (np. waga, wzrost). 

 

ZMIENNA DYSKRETNA 

ZMIENNA CIĄGŁA 

Funkcja rozkładu prawdopodobieostwa 





i

i

p

x

X

P





  

Warunek unormowania 

1





i

i

p

 

i

x

 

1

x

 

2

x

 

3

x

 

4

x

 

i

p

 

1

p

 

2

p

 

3

p

 

4

p

 

 

Funkcja gęstości prawdopodobieostwa 

 





 





x

x

x

X

x

P

x

x

F

x

x

F

x

f

x

x

































0

0

lim

lim

 

Warunek unormowania 

 











1

dx

x

f

 

Dystrybuanta 

  



















x

x

i

i

p

x

X

P

x

F

 

 

































1

0

4

3

2

1

3

2

1

2

1

1

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

x

F

 



























x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

4

4

3

3

2

2

1

1

 

 

i

x

 



1

, x





 



2

1

, x

x

 



3

2

, x

x

 



4

3

, x

x

 







,

4

x

 

i

p

 

0

 

1

p

 

2

1

p

p



 

3

2

1

p

p

p





 

1

 

Dystrybuanta 

 

 









x

dt

t

f

x

F

 

 

 

 

x

f

x

F





 

 

 

 





























b

x

b

x

a

dt

t

f

a

x

x

F

x

1

0

 

Prawdopodobieostwo 

















b

x

a

i

i

p

b

X

a

P

 

Prawdopodobieostwo 





 

   













b

a

a

F

b

F

dx

x

f

b

x

a

P

 

Statystyka 

Strona 2 z 3 

Zestaw 6 

 

WYKRESY 

 

Przykład 1 

Rozkład jednostajny dyskretny 

Funkcja rozkładu prawdopodobieostwa 

Dystrybuanta 

 

 

 
 
 
 

Przykład 2 

Rozkład jednostajny ciągły 

Funkcja gęstości prawdopodobieostwa 

Dystrybuanta 

 

 

 

 

Statystyka 

Strona 3 z 3 

Zestaw 6 

ZADANIA 

1.  Dla poniższych zmiennych losowych: 

-  narysowad rozkłady/gęstości prawdopodobieostwa 
-  wyznaczyd i przedstawid graficznie dystrybuantę 

a) 

i

x  

0 

1 

2 

3 

i

p  

8

1  

8

3

 

8

3

 

8

1  

d) 

 

2

0

5

,

0







y

dla

y

y

f

 

b) 

 



































7

0

7

4

1

,

0

4

3

5

,

0

3

1

1

,

0

1

0

x

x

x

x

x

x

f

 

e) 

 

5

1

4

1







x

dla

x

f

 

c) 

i

x  

-1 

2 

5 

i

p  

7

2

 

7

4

 

7

1

 

f) 

 

3

0

sin

2









z

dla

z

z

f

 

2.  Dla jakiego 

k

 poniższe funkcje są rozkładami/gęstościami prawdopodobieostwa?  

Sporządź wykresy tych funkcji. 

a) 

i

x  

0 

1 

2 

3 

4 

5 

i

p   0,16  0,20  0,30  0,20  0,10 

k

 

c) 

 

4

0







x

dla

kx

x

f

 

 

 

b) 

i

x  

1 

2 

3 

4 

i

p  

4

1

 

8

3

 

8

1  

k

 

d) 

 

3

9

1

2







x

k

dla

x

x

f

 

3.  Dana jest dystrybuanta. Wyznacz funkcję rozkładu/gęstości prawdopodobieostwa. 

a) 

 





















1

1

1

0

0

0

3

t

t

t

t

t

F

 

 

 

 

c) 

 





















3

1

3

1

6

,

0

1

0

x

x

x

x

F

 

 

b) 

 











































1

1

1

0

75

,

0

0

3

5

,

0

3

5

2

,

0

5

0

x

x

x

x

x

x

F

  

 

 

d) 

 























8

1

8

0

64

0

0

2

x

x

x

x

x

F

 

4.  Oblicz prawdopodobieostwa: 

a) 





7

,

4

6

,

3





X

P

 dla funkcji z zadania 1-b 

b) 





2

1





Y

P

 dla funkcji z zadania 1-d 

c) 

















4

6





Z

P

 dla funkcji z zadania 1-f 

d) 





5

,

2



X

P

 dla funkcji z zadania 2-a 

e) 





3

2





X

P

 dla funkcji z zadania 2-c 

f) 





5

,

0

0





T

P

 dla funkcji z zadania 3-a 

g) 





1

5









X

P

 dla funkcji z zadania 3-b 

h) 





6

4





X

P

 dla funkcji z zadania 3-d