Statystyka

Strona 1 z 3

Zestaw 6

Zmienną losową nazywamy każdą funkcję mierzalną określoną na przestrzeni zdarzeo
elementarnych



i przybierającą wartośd ze zbioru liczb rzeczywistych

R

X





:

Zmienna losowa w wyniku doświadczenia może przyjąd wartośd ze zbioru liczb rzeczywistych
z określonym prawdopodobieostwem.

Zmienne losowe oznaczamy dużymi literami np.

Y

X

Z

T

S

,

,

,

,

a ich wartości (realizacje)

odpowiednimi małymi literami:

y

x

z

t

s

,

,

,

,

Zmienną losową, której zbiór wartości jest przeliczalny lub skooczony nazywamy zmienną losową
skokową lub dyskretną (np. liczba dzieci w rodzinie). Zmienną losową nazywa się ciągłą, jeśli zbiór
jej możliwych realizacji jest nieskooczony i nieprzeliczalny (np. waga, wzrost).

ZMIENNA DYSKRETNA

ZMIENNA CIĄGŁA

Funkcja rozkładu prawdopodobieostwa





i

i

p

x

X

P





Warunek unormowania

1





i

i

p

i

x

1

x

2

x

3

x

4

x

i

p

1

p

2

p

3

p

4

p

Funkcja gęstości prawdopodobieostwa

 





 





x

x

x

X

x

P

x

x

F

x

x

F

x

f

x

x

































0

0

lim

lim

Warunek unormowania

 











1

dx

x

f

Dystrybuanta

  



















x

x

i

i

p

x

X

P

x

F

 

































1

0

4

3

2

1

3

2

1

2

1

1

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

x

F



























x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

4

4

3

3

2

2

1

1

i

x



1

, x







2

1

, x

x



3

2

, x

x



4

3

, x

x







,

4

x

i

p

0

1

p

2

1

p

p



3

2

1

p

p

p





1

Dystrybuanta

 

 









x

dt

t

f

x

F

 

 

x

f

x

F





 

 





























b

x

b

x

a

dt

t

f

a

x

x

F

x

1

0

Prawdopodobieostwo

















b

x

a

i

i

p

b

X

a

P

Prawdopodobieostwo





 

   













b

a

a

F

b

F

dx

x

f

b

x

a

P

Statystyka

Strona 2 z 3

Zestaw 6

WYKRESY

Przykład 1

Rozkład jednostajny dyskretny

Funkcja rozkładu prawdopodobieostwa

Dystrybuanta

Przykład 2

Rozkład jednostajny ciągły

Funkcja gęstości prawdopodobieostwa

Dystrybuanta

Statystyka

Strona 3 z 3

Zestaw 6

ZADANIA

1. Dla poniższych zmiennych losowych:

- narysowad rozkłady/gęstości prawdopodobieostwa
- wyznaczyd i przedstawid graficznie dystrybuantę

a)

i

x

0

1

2

3

i

p

8

1

8

3

8

3

8

1

d)

 

2

0

5

,

0







y

dla

y

y

f

b)

 



































7

0

7

4

1

,

0

4

3

5

,

0

3

1

1

,

0

1

0

x

x

x

x

x

x

f

e)

 

5

1

4

1







x

dla

x

f

c)

i

x

-1

2

5

i

p

7

2

7

4

7

1

f)

 

3

0

sin

2









z

dla

z

z

f

2. Dla jakiego

k

poniższe funkcje są rozkładami/gęstościami prawdopodobieostwa?

Sporządź wykresy tych funkcji.

a)

i

x

0

1

2

3

4

5

i

p 0,16 0,20 0,30 0,20 0,10

k

c)

 

4

0







x

dla

kx

x

f

b)

i

x

1

2

3

4

i

p

4

1

8

3

8

1

k

d)

 

3

9

1

2







x

k

dla

x

x

f

3. Dana jest dystrybuanta. Wyznacz funkcję rozkładu/gęstości prawdopodobieostwa.

a)

 





















1

1

1

0

0

0

3

t

t

t

t

t

F

c)

 





















3

1

3

1

6

,

0

1

0

x

x

x

x

F

b)

 











































1

1

1

0

75

,

0

0

3

5

,

0

3

5

2

,

0

5

0

x

x

x

x

x

x

F

d)

 























8

1

8

0

64

0

0

2

x

x

x

x

x

F

4. Oblicz prawdopodobieostwa:

a)





7

,

4

6

,

3





X

P

dla funkcji z zadania 1-b

b)





2

1





Y

P

dla funkcji z zadania 1-d

c)

















4

6





Z

P

dla funkcji z zadania 1-f

d)





5

,

2



X

P

dla funkcji z zadania 2-a

e)





3

2





X

P

dla funkcji z zadania 2-c

f)





5

,

0

0





T

P

dla funkcji z zadania 3-a

g)





1

5









X

P

dla funkcji z zadania 3-b

h)





6

4





X

P

dla funkcji z zadania 3-d