FUNKCJE ZMIENNEJ ZESPOLONEJ

MiNI - zbi´

or zada´

n

(wyb´

or i opracowanie zada´

n – Agnieszka Bade´

nska)

Spis tre´

sci

I. Liczby zespolone – dzia lania i w lasno´sci

3

II. Pochodna funkcji zespolonej, holomorficzno´s´

c

5

III. Funkcje elementarne

7

IV. Szeregi zespolone

9

V. Odwzorowania konforemne

12

VI. Ca lki funkcji zmiennej zespolonej i wz´

or ca lkowy Cauchy’ego

14

VII. Szereg Laurenta, klasyfikacja punkt´

ow osobliwych

16

VIII. Twierdzenie o residuach, lemat Jordana

18

IX. Twierdzenie Rouch´

e, zasada maksimum

20

X. Funkcje harmoniczne

21

Materia l dodatkowy:

XI. Funkcje specjalne Eulera

22

XII. Transformata Fouriera

24

XIII. Transformata Laplace’a

26

2

I. Liczby zespolone – dzia lania i w lasno´

sci

1. Wykona´

c nast

,

epuj

,

ace dzia lania na liczbach zespolonych:

(a)

3 + 2i

5 − i

(b)

 2 + i

3 + i



(5 − 2i) + (8 − i) (2 + 3i)

(c) (4 + i) (1 − i) (3 + 2i)

(d)

(1 + i)

3

(1 − i)

7

(e)

(1 − i)

5

− 1

(1 + i)

5

+ 1

2. Poni˙zsze liczby zespolone sprowadzi´

c do postaci trygonometrycznej:

(a) 2 + 2i

(b)

√

3 − i

(c) −2i

(d)

1 − i

1 + i

√

3

3. Korzystaj

,

ac ze wzor´

ow de Moivre’a obliczy´

c:

(a) (−1 + i

√

3)

30

, (1 + i)

2005

,

−

√

3

2

+

i

2

!

2004

(b)

(−2 + i2

√

3)

16

(1 + i

√

3)

7

,

(1 + i)

80

(

√

3 + i)

18

+

(1 − i)

80

(

√

3 − i)

18

(c) i

n

, (1 + i)

n

,

(1 + i)

n

(1 − i)

n−2

, dla n ∈ N

(d)

4

√

−16 ,

3

√

−i ,

6

√

1 ,

6

s

1 − i

√

3 + i

,

8

s

1 + i

√

3 − i

4. Obliczy´

c:

(a)

√

−8 + 6i

(b)

√

3 − 4i

(c)

√

−11 + 60i

5. Rozwi

,

aza´

c w dziedzinie zespolonej r´

ownania:

(a) z

3

= 8i

(b) z

4

= 16

(c) z

6

+ 64 = 0

3

(d) (1 − i)

4

z

4

= −1

(e) |z| − z = 1 + 2i

(f) z

2

− 2z + 5 = 0

(g) z

2

− (2 + i)z + (−1 + 7i) = 0

(h) z ¯

z + (z − ¯

z) = 3 + 2i

(i) i(z + ¯

z) + i(z − ¯

z) = 2i − 3

(j) (¯

zz)

2

− z

2

+ ¯

z

2

− 1 = 0

(k) z

7

− z

4

i + z

3

− i = 0

(l) z

6

− z

4

+ 4z

2

− 4 = 0

6. Niech z

0

∈ C b

,

edzie pierwiastkiem wielomianu o wsp´

o lczynnikach rzeczywistych. Po-

kaza´

c, ˙ze ¯

z

0

jest tak˙ze pierwiastkiem tego wielomianu.

7. Znale´

z´

c pozosta le pierwiastki wielomianu W (z) = z

4

− 4z

3

+ 4z

2

+ 4z − 5 wiedz

,

ac, ˙ze

z

0

= 2 − i jest pierwiastkiem tego wielomnianu.

8. Udowodni´

c, ˙ze:

(a)

1

x + iy

=

x − iy

x

2

+ y

2

dla

(x, y) ∈ R

2

\ (0, 0)

(b) |z

1

+ z

2

|

2

+ |z

1

− z

2

|

2

= 2|z

1

|

2

+ 2|z

2

|

2

dla

z

1

, z

2

∈ C

9. Funkcje sin(6x) oraz cos(5x) wyrazi´

c za pomoc

,

a funkcji sin x i cos x (korzystaj

,

ac z

dwumianu Newtona i wzoru de Moivre’a).

10. Udowodni´

c poni˙zsze to˙zsamo´sci dla n ∈ N \ {0}:

(a) sin

2π

n

+ sin

4π

n

+ · · · + sin

2nπ

n

= 0

(b) cos

2π

n

+ cos

4π

n

+ · · · + cos

2nπ

n

= 0

(c) cos

π

11

+ cos

3π

11

+ cos

5π

11

+ cos

7π

11

+ cos

9π

11

=

1

2

(d) cos

2π

11

+ cos

4π

11

+ cos

6π

11

+ cos

8π

11

+ cos

10π

11

= −

1

2

11. Zaznaczy´

c na p laszczy´

znie zespolonej zbiory:

(a) {z ∈ C: |z| = 1}

(b) {z ∈ C: |z + i| = 3}

(c) {z ∈ C: |2iz + 6| ≤ 4}

(d) {z ∈ C: 0 < |z − 1| < 1}

(e) {z ∈ C: 2 ≤ |z + 2 − i| < 3}

(f)



z ∈ C: |z − i| + |z + 1| =

5

2



4

II. Pochodna funkcji zespolonej, holomorficzno´

s´

c

1. Wyznaczy´

c cz

,

e´s´

c rzeczywist

,

a i urojon

,

a funkcji:

(a) f (z) = z

4

(b) f (z) = z

3

+ i¯

z

2

(c) f (z) =

z + 1

z − 1

(d) f (z) =

1

1 − z

2

2. Dana jest cz

,

e´s´

c rzeczywista u(x, y) i cz

,

e´s´

c urojona v(x, y) funkcji zespolonej f . Przed-

stawi´

c t

,

e funkcj

,

e jako funkcj

,

e zmiennej zespolonej z.

(a) u(x, y) = x

4

− 6x

2

y

2

+ y

4

− x , v(x, y) = 4x

3

y − 4xy

3

− y

(b) u(x, y) = x

2

− y

2

+ x , v(x, y) = 2xy + y

(c) u(x, y) =

x

x

2

+ y

2

+ x , v(x, y) = −

y

x

2

+ y

2

− y

3. Dana jest funkcja f (z) =

1
z

. Zbada´

c, czym jest przy tym odwzorowaniu obraz krzywej

okre´slonej r´

ownaniem:

(a) x

2

+ y

2

= 1

(b) y = 0

(c) x = 1

(d) (x − 1)

2

+ y

2

= 1

4. Sprawdzi´

c w jakich punktach z ∈ C nast

,

epuj

,

ace funkcje spe lniaj

,

a warunki Cauchy’ego-

Riemanna:

(a) f (z) = z

2

(b) f (z) = zImz

(c) f (z) = |z|

2

+ 2z

(d) f (z) = |z|

5. Zbada´

c istnienie pochodnej funkcji f oraz wyznaczy´

c jej pochodn

,

a w punktach, w kt´

orych

istnieje:

(a) f (z) = zRez

(b) f (z) = z ¯

z

5

6. Zbada´

c holomorficzno´s´

c funkcji:

(a) f (z) = |z|

2

+ 2z

(b) f (z) = ¯

z

2

(c) f (z) = (z

2

+ 1)|z|

(d) f (z) = |z| + 2z

(e) f (z) = |z|

2

(z + 1)

(f) f (z) =

1

z

(g) f (z) =

1

z

2

+ 4

7. Dla funkcji wymienionych w poprzednim zadaniu:

(a) policzy´

c pochodne

∂f
∂x

oraz

∂f
∂y

,

(b) korzystaj

,

ac z definicji, policzy´

c pochodn

,

a formaln

,

a

∂f

∂ ¯

z

,

(c) wywnioskowa´

c w jakich punktach p laszczyzny istnieje f

0

(z),

(d) korzystaj

,

ac z definicji, policzy´

c pochodn

,

a formaln

,

a

∂f

∂z

,

(e) zbada´

c holomorficzno´s´

c f .

8. Znale´

z´

c funkcj

,

e holomorficzn

,

a f (z) = u(x, y) + iv(x, y) (a nast

,

epnie zapisa´

c j

,

a w postaci

zespolonej f (z)) wiedz

,

ac, ˙ze:

(a) u(x, y) = x

3

− 3xy

2

(b) u(x, y) = x

2

− y

2

+ 2x

(c) u(x, y) =

x

x

2

+ y

2

(d) u(x, y) =

x

x

2

+ y

2

− 2y

(e) u(x, y) = 2xy + 3x

(f) v(x, y) = −

y

(x + 1)

2

+ y

2

9. * Pokaza´

c, ˙ze twierdzenie o warto´sci ´sredniej nie zachodzi dla funkcji holomorficznych.

10. * Niech f ∈ H(D(0, R)). Udowodni´

c, ˙ze:

(a) jeli f

0

(z) = 0 dla z ∈ D(0, R), to f = const.

(b) jeli |f (z)| = const dla z ∈ D(0, R) , to f = const.

6

III. Funkcje elementarne

1. Obliczy´

c warto´sci wyra˙ze´

n:

(a) Ln (−i) , ln (−i) , Ln (1 + i) , ln (−1),

(b) cos (1 + i) , sin (1 + 2i) , tg (2 − i),

(c) exp



2 −

π

3

i



, cos 2i , cos ni,

(d) i

i

, i

πi

, i

1
2

.

2. Rozwi

,

aza´

c r´

ownania:

(a) cos

2

z = 4,

(b) sin z = 100,

(c) (z

4

− 1) sin(πz) = 0,

(d) cosh

2

z = 0,

(e) e

z

2

= 1.

3. Wykaza´

c, ˙ze dla z = x + iy zachodz

,

a to˙zsamo´sci:

(a) sin z = sin x cosh y + i cos x sinh y,

(b) cos z = cos x cosh y − i sin x sinh y,

(c) tgz =

sin 2x + i sinh 2y

cos 2x + cosh 2y

,

(d) | sin z| =

q

sin

2

x + sinh

2

y,

(e) | cos z| =

q

cos

2

x + sinh

2

y.

4. Wykaza´

c, ˙ze nast

,

epuj

,

ace funkcje s

,

a okresowe:

(a) sin z , cos z (o okresie T = 2π),

(b) tgz , ctgz (o okresie T = π),

(c) cosh z , sinh z (o okresie T = 2πi).

5. Wykaza´

c, ˙ze dla z ∈ C:

(a) cos(iz) = cosh z , sin z = −i sinh(iz) , cos

2

z + sin

2

z = 1 , cosh

2

z − sinh

2

z = 1,

(b) sin ¯

z = sin z , cos ¯

z = cos z , cos(−z) = cos z , sin(−z) = − sin z,

(c) cos(z

1

+ z

2

) = cos z

1

cos z

2

− sin z

1

sin z

2

,

(d) sin(z

1

+ z

2

) = sin z

1

cos z

2

+ cos z

1

sin z

2

.

7

6. Znale´

z´

c funkcj

,

e holomorficzn

,

a f (z) = u(x, y) + iv(x, y) wiedz

,

ac, ˙ze:

(a) u(x, y) = e

x

(x cos y − y sin x),

(b) v(x, y) = e

x

(y cos y + x sin y) + x + y,

(c) v(x, y) = arctg

y

x

, x > 0,

(d) v(x, y) = ln x

2

+ y

2

.

7. Korzystaj

,

ac z definicji pochodnej formalnej

∂f

∂ ¯

z

udowodni´

c, ˙ze funkcje sin z, cos z, tgz,

ctgz, sinh z, cosh z, tghz, ctghz s

,

a holomorficzne w swojej dziedzinie. Wyprowadzi´

c

wzory na pochodne tych funkcji.

8. Znale´

z´

c obrazy prostych x = const oraz y = const przy odwzorowaniu:

(a) f (z) = e

z

(b) f (z) = sin z,

(c) f (z) = tgz.

9. Znale´

z´

c obrazy koncentrycznych okr

,

eg´

ow i promieni dla tzw. funkcji ˙Zukowskiego:

f (z) =

1

2



z +

1

z



.

10. * Wykaza´

c, ˙ze gdy w pewnym obszarze istnieje jednoznaczna ga l

,

a´

z pierwiastka

n

√

z, to

istnieje dok ladnie n ga l

,

ezi. Czym one si

,

e r´

o˙zni

,

a?

8

IV. Szeregi zespolone

1. Dla jakich z ∈ C nast

,

epuj

,

ace szeregi s

,

a zbie˙zne bezwzgl

,

ednie:

(a)

∞

X

n=0

(z + 1)

n

2

n

,

(b)

∞

X

n=1

z

n

+ z

−n

n

2

,

(c)

∞

X

n=0

 z − 1

z + 1



n

,

(d)

∞

X

n=1

z

n

1 − z

n

.

2. Wyznaczy´

c promie´

n zbie˙zno´sci poni˙zszych szereg´

ow:

(a)

∞

X

n=1

e

in

z

n

,

(b)

∞

X

n=1



z

1 − i



n

,

(c)

∞

X

n=1



z

in



n

,

(d)

∞

X

n=1

sin

 πi

n



z

n

,

(e)

∞

X

n=1

(−1)

n

n

2

z

n

,

(f)

∞

X

n=1

z

n

n!

.

3. Dla jakich z ∈ C nast

,

epuj

,

ace szeregi s

,

a zbie˙zne:

(a)

∞

X

n=1

(−1)

n+1

n + z

,

(b)

∞

X

n=1

1

(n + z)

2

,

(c)

∞

X

n=1

(−1)

n

z

n

n

,

(d)

∞

X

n=0

z

5n

,

9

(e)

∞

X

n=1

n

n

z

n

,

(f)

∞

X

n=1

z

n

n

n

,

(g)

∞

X

n=1

z

−n

cos in

,

(h)

∞

X

n=1

e

n

(iz)

−n

,

(i)

∞

X

n=0

(z + 1 − i)

n

n + i

.

4. Wyznaczy´

c promie´

n zbie˙zno´sci szeregu pot

,

egowego oraz zbada´

c jego zbie˙zno´s´

c na brzegu

ko la zbie˙zno´sci, je´sli:

(a)

∞

X

n=1

e

πi

n

z

n

,

(b)

∞

X

n=1

z

n

(1 − i)

n

,

(c)

∞

X

n=1

(z − 1 + i)

n

n

2

,

(d)

∞

X

n=1

(1 − i)

n

z

n

,

(e)

∞

X

n=1

1

z

n

(n

2

+ n)

,

(f)

∞

X

n=1

(z − i)

n

2

n

.

5. Pokaza´

c, ˙ze poni˙zsze szeregi maj

,

a t

,

e sam

,

a sum

,

e. Zbada´

c obszar zbie˙zno´sci obu szereg´

ow.

ln 2 −

∞

X

n=1

1

n

 1 − z

2



n

oraz

∞

X

n=1

(−1)

n−1

n

z

n

6. Dowie´s´

c, ˙ze sumy nast

,

epuj

,

acych szereg´

ow pot

,

egowych nie maj

,

a wsp´

olnego obszaru

zbie˙zno´sci, ale istnieje funkcja, kt´

orej rozwini

,

eciami s

,

a oba te szeregi.

∞

X

n=1

z

n

n

oraz

πi −

∞

X

n=1

(−1)

n−1

n

(z − 2)

n

7. Znale´

z´

c wsp´

olny obszar zbie˙zno´sci poni˙zszych szereg´

ow i pokaza´

c, ˙ze maj

,

a one t

,

e sam

,

a

sum

,

e.

1 +

∞

X

n=1

z

n

oraz

1

1 − i

"

1 +

∞

X

n=1

 z − i

1 − i



n

#

10

8. Wyznaczy´

c rozwini

,

ecia nast

,

epuj

,

acych funkcji w szereg pot

,

egowy postaci

P c

n

z

n

oraz

znale´

z´

c obszar zbie˙zno´sci uzyskanego szeregu:

(a) f (z) =

1

2z + 5

,

(b) f (z) =

1

1 + z

4

,

(c) f (z) =

1 + iz

1 − iz

,

(d) f (z) =

1

1 + z + z

2

,

(e) f (z) =

1

(1 + z)(z + 2)

,

(f) f (z) =

1

(1 + z)

2

,

(g) f (z) =

1

(1 + z)

3

,

(h) f (z) = e

2z+πi

,

(i) f (z) = cos(z − π),

(j) f (z) = sin



z

2

+

π

3



.

9. Funkcj

,

e f (z) =

3

2+z

rozwin

,

a´

c w szereg pot

,

egowy wok´

o l punktu z

0

= −1 i wyznaczy´

c

obszar zbie˙zno´sci otrzymanego szeregu. Nast

,

epnie t

,

e sam

,

a funkcj

,

e rozwin

,

a´

c w szereg

pot

,

egowy wok´

o l punkt´

ow z

1

= 0 i z

2

= −1 + i. Por´

owna´

c obszary zbie˙zno´sci wszystkich

otrzymanych szereg´

ow.

11

V. Odwzorowania konforemne

1. Znale´

z´

c obraz obszaru D przy homografii f , je´sli:

(a) D = {z ∈ C: |z| < 1} ,

f (z) =

z − i

z + i

,

(b) D =

n

z ∈ C: |z − i| <

√

2 ∧ |z + i| <

√

2

o

,

f (z) =

z − 1

z + 1

.

2. Udowodni´

c, ˙ze dla dowolnych trzech r´

o˙znych punkt´

ow z

1

, z

2

, z

3

∈ C i trzech r´o˙znych

warto´sci w

1

, w

2

, w

3

∈ C istnieje dok ladnie jedna homografia f taka, ˙ze f(z

i

) = w

i

dla

i = 1, 2, 3.

3. Wyznaczy´

c homografi

,

e odwzorowuj

,

ac

,

a okr

,

ag jednostkowy {z ∈ C: |z| = 1} na o´s rze-

czywist

,

a, aby:

(a) punktom 1, i, −1 okr

,

egu odpowiada ly punkty −1, 0, 1 na osi,

(b) punktom −i, 1, i okr

,

egu odpowiada ly punkty −1, 0, 1 na osi,

(c) punktom −1, 1, i okr

,

egu odpowiada ly punkty ∞, 0, 1 na osi.

4. Znale´

z´

c og´

oln

,

a posta´

c homografii przekszta lcaj

,

acej ko lo jednostkowe na siebie.

5. Znale´

z´

c odwzorowanie konforemne f (z), kt´

ore przekszta lca ko lo jednostkowe na siebie

takie, ˙ze:

(a) f

1
4

= 0 oraz Argf

0

1
4

=

π

2

,

(b) f

1
2

= 0 oraz Argf

0

1
2

=

π

2

.

6. Znale´

z´

c og´

oln

,

a posta´

c homografii przekszta lcaj

,

acej g´

orn

,

a p´

o lp laszczyzn

,

e na ko lo jed-

nostkowe.

7. Znale´

z´

c funkcj

,

e w = f (z), kt´

ora odwzorowuje konforemnie g´

orn

,

a p´

o lp laszczyzn

,

e w ko lo

jednostkowe i tak

,

a aby:

(a) f (i) = 0 oraz Argf

0

(i) =

π

2

,

(b) f (i) = 0 oraz Argf

0

(i) = 0.

8. Znale´

z´

c odwzorowanie konforemne f (z), kt´

ore przekszta lca obszar D na obszar D

1

, je´sli:

(a) D = {z ∈ C: |z| > 1} , D

1

= {z ∈ C: Imz < Rez},

(b) D = C \ {z ∈ C: Rez ≤ 0 ∧ Imz = 0} , D

1

= {z ∈ C: |z| > 1},

(c) D = C \ {z ∈ C: −3 ≤ Rez ≤ −1 ∧ Imz = 0} , D

1

= {z ∈ C: Imz > 0},

(d) D = {z ∈ C: |z| < 1} , D

1

= {z ∈ C: 0 < Imz < π},

(e) D =

z ∈ C: 0 < Imz <

π

2

, D

1

= {z ∈ C: Imz > 0 ∧ |z| < 1},

(f) D =

z ∈ C: 0 < Argz <

π

3

, D

1

= {z ∈ C: |z| < 1},

(g) D = C \ {z ∈ C: Rez = 0 ∧ 0 ≤ Imz ≤ a} , a > 0 , D

1

= {z ∈ C: Imz > 0}.

12

9. Niech D = {z ∈ C: Imz < 0}. Znale´z´c obraz zbioru D przy odwzorowaniu f (z) = Lnz.

10. Niech D = {z ∈ C: 0 < Rez < π}. Znale´z´c obraz zbioru D przy odwzorowaniu

f (z) = cos z.

11. Znale´

z´

c obraz siatki linii r´

ownoleg lych do osi uk ladu wsp´

o lrz

,

ednych (prostych i od-

cink´

ow) w pasie

z ∈ C: −

π

2

< Rez <

π

2

przy odwzorowaniu f (z) = tgz.

12. Wykaza´

c, ˙ze na to, aby r´

o˙zna od identyczno´sci homografia f (z) =

az+b
cz+d

by la inwolucj

,

a

(tzn. f = f

−1

) potrzeba i wystarczy, by a + d = 0.

13. Wykaza´

c, ˙ze ka˙zda r´

o˙zna od identyczno´sci homografia, b

,

ed

,

aca inwolucj

,

a, posiada do-

k ladnie dwa punkty sta le.

13

VI. Ca lki funkcji zmiennej zespolonej i wz´

or ca lkowy Cauchy’ego

1. Obliczy´

c ca lk

,

e z funkcji f (z) wzd lu˙z krzywej γ, je´sli:

(a) f (z) = Rez, γ – odcinek [0, 1 + i],

(b) f (z) = Imz, γ – odcinek [0, 2 + i],

(c) f (z) = |z|, γ – zadana opisem parametrycznym: z = e

it

, t ∈ [−

π

2

,

π

2

],

(d) f (z) = e

¯

z

, γ – lamana o wierzcho lkach: z

1

= 0, z

2

= 1, z

3

= 1 + i,

(e) f (z) = e

¯

z

, γ – lamana o wierzcho lkach: z

1

= 0, z

2

= i, z

3

= 1 + i,

(f) f (z) = e

iz

, γ – dowolna krzywa o pocz

,

atku z

1

= i oraz ko´

ncu z

2

= 0,

(g) f (z) = cos z, γ – dowolna krzywa o pocz

,

atku z

1

= 0 oraz ko´

ncu z

2

=

π

2

,

(h) f (z) = z sin z, γ – dowolna krzywa o pocz

,

atku z

1

= 0 oraz ko´

ncu z

2

= i,

(i) f (z) = sin(2z + 1), γ – dowolna krzywa o pocz

,

atku z

1

= 0 oraz ko´

ncu z

2

=

π

2

,

(j) f (z) = (z − 1) cos z, γ – dowolna krzywa o pocz

,

atku z

1

= −

π

2

i oraz ko´

ncu z

2

=

π

2

i,

(k) f (z) = ze

−2z

, γ – dowolna krzywa o pocz

,

atku z

1

= 0 oraz ko´

ncu z

2

=

π

2

i.

2. Obliczy´

c nast

,

epuj

,

ace ca lki po krzywych zamkni

,

etych:

(a)

I

|z|=1

1

z

dz,

(b)

I

|z|=2

1

z − 1

dz,

(c)

I

|z|=2

z − 2

z + 1

dz,

(d)

I

|z|=2

z

2

z − 1

dz,

(e)

I

|z|=3

z

2

z − 2i

dz,

(f)

I

|z−i|=5

1

z

2

+ 9

dz,

(g)

I

|z−2i|=2

1

(z

2

+ 9)

2

dz,

(h)

I

|z|=2

z

2

+ 1

z + i

dz,

(i)

I

|z−3i|=2

e

z

z(z − 2i)

dz,

14

(j)

I

|z+i|=3

sin z

z + i

dz,

(k)

I

|z+i|=

5
2

sin z

(z − i)(z − 2i)

dz,

(l)

I

|z−i|=1

cos z

(z − i)

3

dz,

(m)

I

∂D

z

2

z

3

− 2z

2

+ z − 2

dz, gdzie D = {z ∈ C: |Rez| + |Imz| ≤ 3},

(n)

I

∂D

tgz

z − 1

dz, gdzie D = [−2, 2] × [−2, 2],

(o)

I

γ

1

(z

2

− 4iz − 4)(z + 1)

3

dz, gdzie γ – krzywa o r´

ownaniu: x

2

+ y

2

− 4y − 5 = 0,

(p)

I

γ

sin

π

4

z

z

2

− 1

dz, gdzie γ – krzywa o r´

ownaniu: x

2

+ y

2

− 2x = 0,

(q)

I

|z−1|=R

1

(z − 1)

3

(z + 1)

3

dz, dla R > 2 i dla 0 < R < 2,

(r)

I

|z−1|=

5
4



1

z

6

− 2z

3

+ 1

+ z

4

e

−z

2



dz,

(s)

I

|z−1|=1



e

2z

z

3

− 3z

2

+ 3z − 1

+ z cos(z − 1)



dz.

3. Obliczy´

c ca lki rzeczywiste:

(a)

Z

∞

−∞

dx

x

4

+ 2x

2

+ 1

,

(b)

Z

∞

−∞

dx

(x

2

+ x + 1)

2

,

(c)

Z

∞

0

dx

(x

2

+ 1)

2

(x

2

+ 4)

,

(d)

Z

∞

0

x dx

x

4

+ 6x

2

+ 13

,

(e)

Z

∞

−∞

x

2

− x + 2

x

4

+ 10x

2

+ 9

dx,

(f)

Z

∞

0

x

2

(x

2

+ a

2

)

3

dx , a > 0,

(g)

Z

∞

0

dx

(x

2

+ a

2

)

2

(x

2

+ b

2

)

, a, b > 0, a 6= b.

15

VII. Szereg Laurenta, klasyfikacja punkt´

ow osobliwych

1. Funkcj

,

e f (z) rozwin

,

a´

c w szereg Laurenta odpowiednio w pier´scieniach V

1

i V

2

:

(a) f (z) =

1

(z − 1)(z − 2)

, V

1

= {z ∈ C: 1 < |z| < 2} , V

2

= {z ∈ C: 2 < |z|},

(b) f (z) =

1

(z − 1)(z − 2)

, V

1

= {z ∈ C: 0 < |z − 1| < 1} , V

2

= {z ∈ C: 1 < |z − 1|},

(c) f (z) =

1

z

+

1

z − 3

−

1

z − 1

, V

1

= {z ∈ C: 1 < |z| < 3} , V

2

= {z ∈ C: 3 < |z|},

(d) f (z) =

1

(z

2

+ 1)(z

2

+ 2)

, V

1

=

n

z ∈ C: 1 < |z| <

√

2

o

, V

2

=

n

z ∈ C:

√

2 < |z|

o

,

(e) f (z) =

1

(z

2

− 1)(z

2

− 2)

, V

1

= {z ∈ C: 0 < |z| < 1} , V

2

= {z ∈ C: 2 < |z|},

(f) f (z) = e

z

z−1

, V

1

= {z ∈ C: 0 < |z − 1|}.

2. Znale´

z´

c cz

,

e´s´

c g l´

own

,

a i regularn

,

a szeregu Laurenta funkcji f (z) =

1

z

2

+1

:

(a) w dysku D 1,

√

2

= z ∈ C: |z − 1| <

√

2

,

(b) w pier´scieniu P 1,

√

2, ∞

= z ∈ C:

√

2 < |z − 1| < ∞

,

(c) w pier´scieniu P (i, 0, 2) = {z ∈ C: 0 < |z − i| < 2},

(d) w pier´scieniu P (−i, 0, 2) = {z ∈ C: 0 < |z + i| < 2},

(e) w pier´scieniu P (2i, 1, 3) = {z ∈ C: 1 < |z − 2i| < 3},

(f) w pier´scieniu P (−2i, 1, 3) = {z ∈ C: 1 < |z + 2i| < 3}.

3. Funkcj

,

e f (z) =

1

z

2

Ln(1 + z) rozwin

,

a´

c w szereg Laurenta w otoczeniu nak lutym punktu

z

0

= 0. Wyznaczy´

c obszar zbie˙zno´sci otrzymanego szeregu oraz residuum funkcji f

w punkcie z

0

.

4. Znale´

z´

c zera poni˙zszych funkcji i okre´sli´

c ich krotno´s´

c:

(a) f (z) = z sin z,

(b) f (z) = ctgz,

(c) f (z) =

(z − 1)

2

cos(πz)

(2z − 1)(z

2

+ 1)

5

sin

3

(πz)

.

5. Znale´

z´

c bieguny poni˙zszych funkcji, okre´sli´

c ich krotno´s´

c oraz obliczy´

c residua:

(a) f (z) =

1

(2 − z)(z

2

− 4)

,

(b) f (z) =

1

(z

2

+ 4)

3

,

(c) f (z) = e

iπ

z

−4

,

(d) f (z) =

πctg(πz)

z

2

.

16

6. Wyznaczy´

c izolowane punkty osobliwe nast

,

epuj

,

acych funkcji oraz okre´sli´

c ich rodzaj:

(a) f (z) =

z + 2

(z − 1)

3

(z + 1)z

,

(b) f (z) =

1

sin z

,

(c) f (z) =

1

(z

2

+ i)

3

,

(d) f (z) = tg

2

z,

(e) f (z) = e

1

z−2i

,

(f) f (z) =

1 − cos z

z

2

,

(g) f (z) =

sin z

z

4

,

(h) f (z) =

1 − e

−z

1 + e

z

.

7. Wyznaczy´

c residua funkcji f (z) w jej punktach osobliwych:

(a) f (z) =

z

2

+ 1

z − 2

,

(b) f (z) =

cos z

z − i

,

(c) f (z) =

z

2

(z

2

+ 1)

2

,

(d) f (z) = e

z+1

z

,

(e) f (z) = cos

1

z

,

(f) f (z) = e

1
z

,

(g) f (z) =

1

z + 1

e

z

,

(h) f (z) =

1

1 − e

z

,

(i) f (z) = ctg

2

z.

8. Okre´sli´

c rodzaj osobliwo´sci funkcji f (z) w punkcie z

0

= 0 i wyznaczy´

c residuum w tym

punkcie:

(a) f (z) =



z +

1

z



−1

,

(b) f (z) = (e

z

− 1)

−1

−

1

z

,

(c) f (z) = ctgz −

1

z

.

17

VIII. Twierdzenie o residuach, lemat Jordana

1. Obliczy´

c ca lki

H

γ

f (z) dz (korzystaj

,

ac z twierdzenia o residuach lub ze wzoru ca lkowego

Cauchy’ego), je´sli:

(a) f (z) =

1

1 + z

4

, γ : x

2

+ y

2

− 2x = 0,

(b) f (z) =

1

(z − 1)

2

(z

2

+ 1)

, γ : x

2

+ y

2

= 2x + 2y,

(c) f (z) =

2z

z(z − 1)

, γ : x

2

+ y

2

= 9,

(d) f (z) =

z

2

2z − 1

, γ(t) = 2e

it

, t ∈ [0, 2π],

(e) f (z) =

e

iz

z

2

, γ = S

1

,

(f) f (z) =

sin z

z

, γ = S

1

,

(g) f (z) =

e

z

z

4

− 1

, γ = ∂D(a, a) , a > 1,

(h) f (z) =

z sin z

(z − i)

3

, γ : 4x

2

+

y

2

4

= 1.

2. Wykorzystuj

,

ac metody funkcji zespolonych, obliczy´

c ca lki rzeczywiste:

(a)

Z

∞

−∞

cos x

x

2

+ 9

dx,

(b)

Z

∞

−∞

x sin x

x

2

+ 4x + 20

dx,

(c)

Z

∞

−∞

cos x

x

4

+ 1

dx,

(d)

Z

∞

−∞

cos x

x

2

+ a

2

dx , a > 0,

(e)

Z

∞

−∞

cos x

(x

2

+ a

2

)

2

dx , a > 0,

(f)

Z

∞

0

x sin x

(x

2

+ a

2

)

2

dx , a > 0,

(g)

Z

∞

0

cos(mx)

(x

2

+ a

2

)

2

dx , a > 0 , m > 0.

18

3. Stosuj

,

ac podstawienie z = e

ix

(zmieniaj

,

ac odpowiednio drog

,

e ca lkowania) obliczy´

c

nast

,

epuj

,

ace ca lki, korzystaj

,

ac z twierdzenia o residuach:

(a)

Z

2π

0

dx

5 + 4 sin x

,

(b)

Z

2π

0

dx

1 + 8 cos

2

x

,

(c)

Z

2π

0

dx

1 − 2a cos x + a

2

, 0 < a < 1,

(d)

Z

2π

0

dx

(2 + cos x)

2

,

(e)

Z

2π

0

dx

cos x + a

, a > 1,

(f)

Z

2π

0

sin

2

x

a + b cos x

dx , a > b > 0,

(g)

Z

2π

0

cos

2

3x

1 − 2a cos 2x + a

2

dx , |a| < 1.

4. Obliczy´

c ca lk

,

e

Z

∞

0

 sin x

x



2

dx.

Wsk.: Rozwa˙zy´

c funkcj

,

e pomocnicz

,

a: f (z) =

1 − e

2iz

z

2

.

5. Obliczy´

c ca lk

,

e

Z

∞

0

 sin x

x



3

dx.

Wsk.: Rozwa˙zy´

c funkcj

,

e pomocnicz

,

a: f (z) =

3e

iz

− e

3iz

− 2

z

3

.

19

IX. Twierdzenie Rouch´

e, zasada maksimum

1. Okre´sli´

c liczb

,

e rozwi

,

aza´

c poni˙zszych r´

owna´

n, le˙z

,

acych wewn

,

atrz ko la jednostkowego

D(0, 1) = {z ∈ C: |z| < 1}:

(a) 2z

5

− z

3

+ 3z

2

− z + 8 = 0,

(b) z

7

− 5z

4

+ z

2

− 2 = 0,

(c) z

9

− 2z

6

+ z

2

− 8z − 2 = 0,

(d) z

8

− 4z

5

+ z

2

− 1 = 0,

(e) z

4

− 5z + 1 = 0,

(f) z

5

− 16z + 14 = 0,

(g) 4z

5

+ z

4

+ z

2

+ 1 = 0,

(h) z

5

− 4z

4

− z

3

+ 1 = 0.

2. Wyznaczy´

c liczb

,

e pierwiastk´

ow r´

ownania e

z−α

= z, gdzie α ∈ R , α > 1, le˙z

,

acych

wewn

,

atrz ko la jednostkowego.

3. Wykaza´

c, ˙ze je´sli f jest funkcj

,

a holomorficzn

,

a w dysku D = {z ∈ C: |z| < 1} i |f (z)| < 1

dla z ∈ D, to r´

ownanie f (z) = z ma dok ladnie jeden pierwiastek w D.

4. Wykaza´

c, ˙ze je´sli funkcja f jest holomorficzna dla |z| > 1, posiada sko´

nczon

,

a granic

,

e

przy z → ∞ i jest ci

,

ag la na zbiorze {z ∈ C: |z| ≥ 1}, to |f (z)| osi

,

aga maksimum na

okr

,

egu S

1

= {z ∈ C: |z| = 1}.

5. Wykaza´

c, ˙ze je´sli P jest wielomianem stopnia n i dla pewnej sta lej M zachodzi nier´

owno´s´

c

|P (z)| < M dla |z| ≤ 1, to dla |z| ≥ 1 prawdziwa jest nier´

owno´s´

c: |P (z)| ≤ M |z|

n

.

6. Wykaza´

c, ˙ze je´sli f jest funkcj

,

a holomorficzn

,

a na sp´

ojnym obszarze D oraz |f (z)| jest

sta ly w D, to f jest sta la w D.

20

X. Funkcje harmoniczne

1. Znale´

z´

c funkcj

,

e u(x, y) harmoniczn

,

a w obszarze D i spe lniaj

,

ac

,

a warunek brzegowy

u

|∂D

= ϕ, je˙zeli:

(a) D =

(x, y): x

2

+ y

2

< 1

, ϕ(x, y) = x + xy,

(b) D =

(x, y): x

2

+ y

2

< 4

, ϕ(x, y) = x

2

− 2xy + 2y

2

,

(c) D =

(x, y): x

2

+ y

2

< 1

, ϕ(x, y) = x

2

− 3xy − 2y

2

− 2,

(d) D =

(x, y): x

2

+ y

2

< 4

, ϕ(x, y) = x + 3xy − x

2

y,

(e) D =

(x, y): x

2

+ y

2

< a

2

, ϕ(x, y) = 3x

2

+ xy − 3y

2

+ x − y − 2 , a > 0.

2. Znale´

z´

c funkcj

,

e u(x, y) harmoniczn

,

a w obszarze D, spe lniaj

,

ac

,

a warunek brzegowy

∂u
∂n |∂D

= ϕ i tak

,

a, ˙ze u(0, 0) = a, je˙zeli:

(a) D =

(x, y): x

2

+ y

2

< 1

, ϕ(x, y) = x + y , a = 0,

(b) D =

(x, y): x

2

+ y

2

< 1

, ϕ(x, y) = x

3

− y

3

, a = 3,

(c) D =

(x, y): x

2

+ y

2

< 1

, ϕ(x, y) = x

2

, a = 0.

3. Pokaza´

c, ˙ze je´sli f : D

1

→ D

2

jest funkcj

,

a holomorficzn

,

a w obszarze D

1

oraz u: D

2

→ R

jest harmoniczna w obszarze D

2

, to superpozycja u ◦ f jest harmoniczna w D

1

.

4. Wyznaczy´

c funkcj

,

e u(x, y) harmoniczn

,

a w g´

ornej p´

o lp laszczy´

znie, ci

,

ag l

,

a dla y ≥ 0,

ograniczon

,

a w niesko´

nczono´sci i spe lniaj

,

ac

,

a warunek brzegowy: u(x, 0) = α(x) dla

x ∈ R.

5. Zbada´

c czy obszar D = {(x, y): 0 < x

2

+ y

2

< 1} jest regularny ze wzgl

,

edu na zagad-

nienie Dirichleta.

21

XI. Funkcje specjalne Eulera

1. Pokaza´

c, ˙ze funkcja beta Eulera, zdefiniowana wzorem:

B(a, b) =

Z

1

0

x

a−1

(1 − x)

b−1

dx , dla a, b ∈ C , Re a > 0 , Re b > 0

spe lnia nast

,

epuj

,

ace to˙zsamo´sci:

(a) B(a, b) = B(b, a) , B(1, 1) = 1,

(b) B(a, b) =

b − 1

a + b − 1

B(a, b − 1),

(c) B(m, n) =

(m − 1)!(n − 1)!

(m + n − 1)!

dla m, n ∈ N,

(d) B(a, a) =

1

2

2a−1

B

 1

2

, a



,

(e) B(a, b) =

Z

∞

0

y

a−1

(1 + y)

a+b

dy,

(f) B(a, b) =

Z

1

0

x

a−1

+ x

b−1

(1 + x)

a+b

dx,

(g)

Z

π

2

0

sin

m

x cos

n

x dx =

1

2

B

 m + 1

2

,

n + 1

2



.

2. Pokaza´

c, ˙ze funkcja gamma Eulera, zdefiniowana wzorem:

Γ(z) =

Z

∞

0

e

−t

t

z−1

dt , dla Re z > 0

spe lnia nast

,

epuj

,

ace to˙zsamo´sci:

(a) Γ(z + 1) = zΓ(z) , Γ(1) = 1 , Γ(n + 1) = n! dla n ∈ N,

(b) B(x, y) =

Γ(x)Γ(y)

Γ(x + y)

,

(c) Γ(z) = lim

n→∞

n

z

n!

z(z + 1) . . . (z + n)

(tzw. wz´

or Gaussa)

Wsk.: Zastosowa´

c podstawienie u = e

−t

i zauwa˙zy´

c, ˙ze lim

n→∞

h

n



1 − u

1

n

i

= ln

1

u

.

(d) Γ(z) =

1

z

∞

Y

n=1

1 +

1

n

z

1 +

z

n

Wsk.: Wykorzysta´

c wz´

or Gaussa.

3. Pokaza´

c, ˙ze ci

,

ag u

n

, okre´slony wzorem:

u

n

= 1 +

1

2

+

1

3

+ · · · +

1

n

− ln n

jest zbie˙zny. Granic

,

e tego ci

,

agu oznaczamy przez γ i nazywamy sta l

,

a Eulera.

Wsk.: Rozwa˙zy´

c ci

,

ag pomocniczy v

n

= 1 +

1
2

+ · · · +

1

n

− ln(n + 1), zauwa˙zy´c, ˙ze u

n

jest

malej

,

acy, natomiast v

n

rosn

,

acy oraz u

n

> v

n

.

22

4. Udowodni´

c nast

,

epuj

,

ace to˙zsamo´sci:

(a) e

γ

=

∞

Y

n+1

e

1

n

1 +

1

n

,

(b)

1

Γ(z)

= e

γz

z

∞

Y

n=1



1 +

z

n



e

−

z

n

(tzw. wz´

or Weierstrassa),

(c)

d

dz

(ln Γ(z)) = −γ −

1

z

+ z

∞

X

n=1

1

n(n + z)

,

(d)

d

2

dz

2

(ln Γ(z)) =

∞

X

n=0

1

(n + z)

2

.

5. Zak ladaj

,

ac, ˙ze prawdziwe jest wyra˙zenie asymptotyczne postaci:

Γ(z) = exp



z −

1

2



ln z − z +

1

2

ln(2π)



(1 + τ (z)) gdzie |τ (z)| ≤

const

|z|

wyprowadzi´

c tzw. wz´

or Stirlinga na n!:

n! ≈ exp



n +

1

2



ln(n + 1) − n − 1 + ln

√

2π



≈

√

2πn

n+

1
2

e

−n

23

XII. Transformata Fouriera

1. Zbada´

c dla jakich z ∈ C zbie˙zne s

,

a szeregi:

(a)

∞

X

n=1

(−1)

n−1

sin(nz)

n

,

(b)

∞

X

n=1

(−1)

n−1

cos(nz)

n

2

.

2. Obliczy´

c transformaty Fouriera nast

,

epuj

,

acych funkcji:

(a) f (t) =







t + 2ω dla − 2ω ≤ t ≤ 0
2ω − t dla 0 ≤ t ≤ 2ω

0

dla |t| > ω

, ω > 0,

(b) f (t) =







1

dla − 2ω ≤ t < 0

−1 dla 0 < t ≤ 2ω

0

dla |t| > ω i t = 0

, ω > 0,

(c) f (t) = e

−αt

2

, α > 0.

3. Obliczy´

c F

2

e

−|x|

, gdzie F

2

= F ◦ F oznacza drug

,

a iteracj

,

e transformaty Fouriera.

4. Niech F oznacza transformat

,

e Fouriera oraz oznaczmy F(f ) = F . Wykaza´c, ˙ze praw-

dziwe s

,

a nast

,

epuj

,

ace w lasno´sci:

(a) Je´sli t

n

f (t) jest bezwzgl

,

ednie ca lkowalna na R, to

d

n

dω

n

F (ω) = (−i)

n

Z

∞

−∞

e

−iωt

t

n

f (t) dt = (−i)

n

F [t

n

f (t)] (ω)

(b) Je´sli f, f

0

, . . . , f

(n)

s

,

a bezwzgl

,

ednie ca lkowalne na R, to

F

f

(n)

(t)

 (ω) = (iω)

n

F (ω)

(c) Je´sli f oraz ϕ(t) =

R

t

t

0

f (τ )dτ s

,

a bezwgl

,

ednie ca lkowalne na R oraz lim

t→±∞

ϕ(t) = 0,

to

F [ϕ(t)] (ω) =

1

iω

F (ω)

(d) Je´sli f jest bezwzgl

,

ednie ca lkowalna na R, to

F [f (t − t

0

)] (ω) = e

−iωt

0

F (ω)

(e) Je´sli f jest bezwzgl

,

ednie ca lkowalna na R, to

F

e

iω

0

t

f (t)

 = F (ω − ω

0

)

(f) Je´sli f jest bezwzgl

,

ednie ca lkowalna na R, to

F [f (t) cos(ω

0

t)] (ω) =

1

2

[F (ω − ω

0

) + F (ω + ω

0

)]

24

(g) Je´sli f jest bezwzgl

,

ednie ca lkowalna na R, to

F [f (t) sin(ω

0

t)] (ω) =

1

2

[F (ω − ω

0

) − F (ω + ω

0

)]

(h) Je´sli f jest bezwzgl

,

ednie ca lkowalna na R, to

F



f

 t

a



(ω) = |a|F (aω)

(i) Je´sli f jest bezwzgl

,

ednie ca lkowalna na R, to

F

h

f (t)

i

(ω) = F (−ω)

25

XIII. Transformata Laplace’a

1. Wyznaczy´

c transformaty Laplace’a nast

,

epuj

,

acych funkcji:

(a) f (z) = e

at

, a > 0 ,

g(z) = cos(kt) , h(z) = sin(kt) , k ∈ Z,

(b) f (z) = cosh(kt) , g(z) = sinh(kt) , k ∈ Z , h(z) = t

α

, α > −1,

(c) f (z) =

1
2

(sin t + t cos t) , g(z) = sin(kt)e

at

, h(z) = t cos(kt) , a > 0, k ∈ Z.

2. Oznaczmy F (s) = L[f (t)](s). Pokaza´

c, ˙ze dla m ≥ n prawdziwe s

,

a nast

,

euj

,

ace wzory:

(a) L



t

m

d

n

dt

n

f (t)



(s) = (−1)

m

d

m

ds

m

[s

n

F (s)],

(b) L

 d

n

dt

n

(t

m

f (t))



(s) = (−1)

m

s

n

d

m

ds

m

F (s).

3. Pokaza´

c, ˙ze:

L

 f (t)

t



(s) =

Z

∞

s

F (σ) dσ

(ca lkujemy po takiej drodze, ˙ze Reσ → ∞).

Korzystaj

,

ac z udowodnionego wzoru

obliczy´

c:

Z

∞

0

sin(kt)

t

dt

oraz

L [Si(kt)] (s),

gdzie Si(kt) =

R

t

0

sin(kτ )

τ

dτ (tzw. sinus ca lkowy).

4. Pokaza´

c, ˙ze je´sli f jest funkcj

,

a okresow

,

a o okresie podstawowym T , to

L [f (t)] (s) =

1

1 − e

−sT

Z

T

0

f (t)e

−st

dt

5. Wyznaczy´

c transformaty odwrotne nast

,

epuj

,

acych funkcji:

(a) F (s) =

s

2

+ s + 1

s

3

+ s

,

(b) F (s) =

−s + 1

(s + 1)(s

2

+ 4s + 13)

,

(c) F (s) =

5s + 3

s(s − 1)(s

2

+ 2s + 5)

,

(d) F (s) =

s + 5

s(s

2

+ 10s + 29)

,

(e) F (s) =

1

s(s − 2)

2

,

(f) F (s) =

s

2

(s

2

+ 4)

2

,

(g) F (s) =

s

2

− 4

(s

2

+ 4)

2

,

26

(h) F (s) =

s

2

(s

2

+ 1)

2

,

(i) F (s) =

1

s(s + a)

3

, a ∈ R,

(j) F (s) =

s

(s + a)(s + b)

, a, b ∈ R.

6. Stosuj

,

ac przekszta lcenie Laplace’a, rozwi

,

aza´

c nast

,

epuj

,

ace zagadnienia Cauchy’ego:

(a) y

00

− y

0

− y = 1 , y(0) = 1 , y

0

(0) = 0,

(b) y

00

+ 2y

0

+ y = 5 sin(2t) , y(0) = y

0

(0) = 0,

(c) y

00

+ 9y = 30 cosh t , y(0) = 3 , y

0

(0) = 0,

(d) y

00

− 2y

0

+ y = t

2

e

t

, y(0) = y

0

(0) = 0,

(e) y

00

− y = 4 sin t + 5 cos(2t) , y(0) = −2 , y

0

(0) = 3,

(f) y

000

+ y

0

= e

2y

, y(0) = y

0

(0) = y

00

(0) = 0,

(g) y

000

+ 3y

00

+ 3y

0

+ y = 6e

−t

, y(0) = y

0

(0) = y

00

(0) = 0,

(h) y

(4)

+ 4y = t

2

, y(0) = y

0

(0) = y

00

(0) = y

000

(0) = 0.

7. Rozwi

,

aza´

c nast

,

epuj

,

ace r´

ownania r´

o˙zniczkowo-ca lkowe:

(a) f

0

(x) − f (x) +

Z

x

0

(x − t)f

0

(t)dt −

Z

t

0

f (t)dt = x , f (0) = −1,

(b) f

00

(x) − 2f

0

(x) + f (x) + 2

Z

x

0

cos(x − t)f

00

(t)dt + 2

Z

t

0

sin(x − t)f

0

(t)dt = cos x ,

f (0) = f

0

(0) = 0,

(c) f

00

(x) − f (x) −

Z

x

0

f (t) sinh(x − t)dt +

Z

t

0

f

0

(t) cosh(x − t)dt = cosh x ,

f (0) = −1 , f

0

(0) = 1.

8. Rozwi

,

aza´

c nast

,

epuj

,

ace uk lady r´

owna´

n r´

o˙zniczkowych:

(a)

 y

0

− z

0

− 2y + 2z = 1 − 2t

y

00

+ 2z

0

+ y = 0

, y(0) = y

0

(0) = z(0) = z

0

(0) = 0,

(b)

 z

0

− 2y − z = 0

y

0

+ z = 0

, y(0) = z(0) = 0,

(c)







x

0

= y − z

y

0

= x + y

z

0

= x + z

, x(0) = 1 , y(0) = 2 , z(0) = 3.

27

9. Rozwi

,

aza´

c nast

,

epuj

,

ace uk lady r´

owna´

n ca lkowych:

(a)















f

1

(x) = 1 − 2

x

R

0

f

1

(t)e

2(x−t)

dt +

x

R

0

f

2

(t)dt

f

2

(x) = 4x −

x

R

0

f

1

(t)dt +

x

R

0

(x − t)f

2

(t)dt

,

(b)















f

1

(x) = e

x

+

x

R

0

f

1

(t)dt −

x

R

0

f

2

(t)e

x−t

dt

f

2

(x) = −x −

x

R

0

(x − t)f

1

(t)dt +

x

R

0

f

2

(t)dt

,

(c)















f

1

(x) = e

x

−

x

R

0

f

1

(t)dt + 4

x

R

0

f

2

(t)e

x−t

dt

f

2

(x) = 1 −

x

R

0

f

1

(t)e

t−x

dt +

x

R

0

f

2

(t)dt

,

(d)















t

R

0

τ f

0

(τ )dτ

=

1
2

t

2

+ 1 − g(t)

f (t) =

t

R

0

g(τ )dτ

.

28