6. FUNKCJE ZMIENNEJ ZESPOLONEJ.

POCHODNA, HOLOMORFICZNO´

S ´

C, ZWI

,

AZEK Z FUNKCJAMI

HARMONICZNYMI.

1. Wyznaczy´

c cz

,

e´s´

c rzeczywist

,

a i cz

,

e´s´

c urojon

,

a funkcji f (z) =

z+1
z−1

.

2. Niech f (x, y) = u(x, y) + iv(x, y), gdzie u(x, y) = x

2

− y

2

+ x,

v(x, y) = 2xy + y.

Przedstawi´

c f jako funkcj

,

e zmiennej zespolonej.

3. Niech

f (z) =

z

|z| + 1

.

Wykaza´

c, ˙ze

a) f jest ci

,

ag la w C

b) f jest r´

o˙znowarto´sciowa

c) f (C) = D(0, 1).

4. Zbada´

c ci

,

ag lo´s´

c funkcji

a)

f (z) =



Rez

z

dla z 6= 0

0

dla z = 0

b)

f (z) =



Rez

2

z

dla z 6= 0

0

dla z = 0

5. Wykaza´

c, ˙ze dla dowolnego w ∈ C \ {0} i dla dowolnego α ∈ R r´ownanie e

z

= w ma

dok ladnie jedno rozwi

,

azanie w pasie {z ∈ C : α < Imz ≤ α + 2π}.

6. Wykaza´

c, ˙ze dla dowolnych z

1

, z

2

∈ C

e

z

1

+z

2

= e

z

1

e

z

2

.

7. Czy istnieje z ∈ C, dla kt´orego tgz = i ? Jakich warto´sci nie przyjmuje funkcja tgz ?

8. Wyznaczy´

c cz

,

e´s´

c rzeczywist

,

a i cz

,

e´s´

c urojon

,

a funkcji :

a) sin z

b) cos z.

9. Wykaza´

c, ˙ze dla dowolnego z = x + iy zachodzi nier´

owno´s´

c

| sinh y| ≤ | cos z| ≤ cosh y.

10. Rozwi

,

aza´

c r´

ownanie sin z = 100.

11. Wyznaczy´

c wszystkie warto´s´

ci wyra˙ze´

n

a) i

i

b) ln(−1).

12. Bezpo´srednio z definicji wykaza´

c, ˙ze funkcja dana wzorem f (z) = Rez nie ma pochodnej

w ˙zadnym punkcie.

13. Sprawdzi´

c, w jakich punktach funkcja f (z) = |z| ma pochodn

,

a.

14. Sprawdzi´

c czy funkcja dana wzorem

f (z) =

p|Rez| · |Imz|

spe lnia warunki Cauchy-Riemanna w punkcie z = 0. Czy istnieje f

0

(0)?

15. Sprawdzi´

c, w jakich punktach funkcja dana wzorem f (z) = zImz spe lnia warunki

Cauchy-Riemanna.

16. Zbada´

c, czy funkcja dana wzorem f (z) = Rez · Imz ma pochodn

,

a w punkcie z = 0.

17. Zbada´

c istnienie pochodnej funkcji f (z) = z ¯

z oraz znale´

z´

c jej pochodn

,

a w punktach, w

kt´

orych istnieje.

18. Korzystaj

,

ac z zadania 13 wykaza´

c, ˙ze funkcja dana wzorem

f (z) =

z

1 + |z|

nie jest holomorficzna w ˙zadnym punkcie.

19. Niech f (z) = ¯

z

2

.

a) Obliczy´

c

∂f

∂ ¯

z

. W jakich punktach p laszczyzny istnieje f

0

(z)?

b) Obliczy´

c

∂f

∂z

.

c) W jakich punktach p laszczyzny f jest funkcj

,

a holomorficzn

,

a?

20. Niech f (z) = z

3

. Wykaza´

c, ˙ze

nie istnieje punkt z nale˙z

,

acy do odcinka l

,

acz

,

acego

punkty 1 oraz i taki, ˙ze

f (i) − f (1)

i − 1

= f

0

(c)

Z tego zadania wynika, ˙ze twierdzenie Lagrange’a o warto´

sci ´

sredniej nie zachodzi dla funkcji

f : C → C.

21. Niech f ∈ H(D(0, R)). Udowodni´

c, ˙ze:

a) je´sli f

0

(z) = 0 dla dowolnego z ∈ D(0, R), to f jest sta la w D(0, R),

b) je´sli |f (z)| jest funkcj

,

a sta l

,

a w D(0, R) to f jest sta la w D(0, R).

22. Niech f ∈ H(D(0, R)), przy czym f (z) = u(x, y) + iv(x, y). Udowodni´

c, ˙ze je´sli u

2

≡ v

w D(0, R), to f jest sta la w D(0, R).

23. Znale´

z´

c funkcj

,

e holomorficzn

,

a f (z) = u(x, y) + iv(x, y) (a nast

,

epnie zapisa´

c j

,

a w postaci

zespolonej) wiedz

,

ac, ˙ze

u(x, y) =

x

x

2

+ y

2

.

24. * Wyznaczy´

c wszystkie funkcje harmoniczne w C \ {0}, kt´ore s

,

a sta le na okr

,

egach

{z ∈ C : |z| = r}.

25. Wykaza´

c, ˙ze funkcje f (z) = ln |z| oraz g(z) = Argz s

,

a funkcjami harmonicznymi

sprz

,

e˙zonymi w obszarze C \ {x ∈ R : x ≤ 0} .

26. Wyznaczy´

c funkcj

,

e harmoniczn

,

a sprz

,

e˙zon

,

a z funkcj

,

a u(x, y) = x

2

− y

2

+ xy. Nast

,

epnie

wyznaczy´

c funkcj

,

e holomorficzn

,

a f (jako funkcj

,

e zmiennej z), kt´

orej cz

,

e´sci

,

a rzeczywist

,

a jest

u(x, y).

27. Wyznaczy´

c funkcj

,

e harmoniczn

,

a sprz

,

e˙zon

,

a z funkcj

,

a v(x, y) = e

−x

(y cos y − x sin y).

Wyznaczy´

c funkcj

,

e holomorficzn

,

a f , kt´

orej cz

,

e´sci

,

a urojon

,

a jest v(x, y).