195
WYKŁAD Nr 15
FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH
1. PODSTAWOWE POJĘCIA
Def.1.1. (przestrzeń dwuwymiarowa i punkt tej przestrzeni)
Zbiór wszystkich uporządkowanych par
(
)
y
x
,
liczb rzeczywistych nazywamy przestrzenią
dwuwymiarową
i oznaczamy
2
R
.
Pary
(
)
y
x
,
nazywamy punktami przestrzeni
2
R
, natomiast liczby x, y – współrzędnymi tych punktów.
Rys. 1. Punkt w przestrzeni dwuwymiarowej
Uwaga
:
R
R
R
×
=
2
, zatem w
2
R
każdy punkt ma dwie współrzędne.
Def.1.2. (odległość punktów w przestrzeni dwuwymiarowej)
Niech
)
,
(
),
,
(
2
2
2
1
1
1
y
x
P
y
x
P
będą punktami przestrzeni
2
R
.
Odległość punktów
2
1
, P
P
płaszczyzny oznaczamy symbolem
2
1
P
P
i określamy następująco:
(
)
(
)
2
1
2
2
1
2
2
1
y
y
x
x
P
P
−
+
−
=
Rys.2. Odległość punktów na płaszczyźnie
)
,
( y
x
P
x
y
)
,
(
1
1
1
y
x
P
)
,
(
2
2
2
y
x
P
2
1
P
P
x
y
196
Def.1.3. (otoczenie punktu na płaszczyźnie)
Niech
)
,
(
0
0
0
y
x
P
będzie punktem płaszczyzny, r – dowolną liczbą dodatnią (
0
>
r
).
Otoczeniem punktu
0
P
o promieniu r
na płaszczyźnie nazywamy następujący zbiór punktów:
(
)
{
}
r
P
P
P
r
P
U
<
=
0
0
:
,
Def.1.4. (sąsiedztwo punktu na płaszczyźnie)
Niech
)
,
(
0
0
0
y
x
P
będzie punktem płaszczyzny, r – dowolną liczbą dodatnią (
0
>
r
).
Sąsiedztwem punktu
0
P
o promieniu r
na płaszczyźnie nazywamy następujący zbiór:
(
)
(
) { }
0
0
0
\
,
,
P
r
P
U
r
P
S
=
Uwaga
: Jeżeli w rozważaniach nie jest istotny promień otoczenia lub sąsiedztwa, wówczas oznaczamy:
( )
0
P
U
– otoczenie punktu
0
P
,
( )
0
P
S
– sąsiedztwo punktu
0
P
.
Uwaga
: Otoczeniem punktu na płaszczyźnie jest koło otwarte o środku w tym punkcie, natomiast
sąsiedztwem punktu – koło otwarte bez środka.
Def.1.5. (funkcja dwóch zmiennych)
Niech
2
R
⊂
D
. Jeżeli każdemu punktowi przestrzeni
2
R
–
(
)
D
y
x
P
∈
,
przyporządkujemy dokładnie
jedną liczbę
R
∈
z
, to mówimy, że w zbiorze D określona jest funkcja dwóch zmiennych
(
)
y
x
f
z
,
=
.
Liczby x, y są zmiennymi niezależnymi, z – zmienną zależną, f – symbol przyporządkowania
R
→
D
f
:
.
Przykład funkcji dwóch zmiennych:
Funkcja
0
,
0
gdzie
,
2
>
>
π
=
y
x
y
x
z
wyraża objętość walca o promieniu x i wysokości y.
Def.1.6. (dziedzina naturalna funkcji dwóch zmiennych)
Zbiór wszystkich par
(
)
D
y
x
∈
,
, dla których odpowiedni wzór postaci
)
,
( y
x
f
z =
ma sens
matematyczny nazywamy dziedziną naturalną funkcji.
Przykład:
Niech
(
)
2
2
1
ln
y
x
z
−
−
=
.
Wówczas
(
)
{
}
(
)
{
}
1
:
,
0
1
:
,
2
2
2
2
2
2
<
+
∈
=
>
−
−
∈
=
y
x
y
x
y
x
y
x
D
R
R
.
Zatem dziedziną naturalną tej funkcji jest wnętrze koła o środku w początku układu współrzędnych
i promieniu 1.
Def.1.7. (wykres funkcji dwóch zmiennych)
Punkty przestrzeni o współrzędnych
(
)
)
,
(
,
,
y
x
f
y
x
, gdzie
(
)
D
y
x
∈
,
związane z równaniem
)
,
( y
x
f
z =
tworzą pewną powierzchnię zwaną wykresem funkcji
)
,
( y
x
f
.
197
Rys.3. Wykres funkcji dwóch zmiennych niezależnych
Przykład: Podać wykres funkcji dwóch zmiennych
2
2
9
y
x
z
−
−
=
.
Rozwiązanie:
Dziedzina tej funkcji:
(
)
{
}
(
)
{
}
9
:
,
0
9
:
,
2
2
2
2
2
2
≤
+
∈
=
≥
−
−
∈
=
y
x
y
x
y
x
y
x
D
R
R
, czyli jest to
koło ośrodku w punkcie (0,0) i promieniu 3.
Ponieważ
2
2
9
y
x
z
−
−
=
, więc
2
2
2
9
y
x
z
−
−
=
.
Stąd
9
2
2
2
=
+
+
z
y
x
; jest to równanie sfery o środku w punkcie (0,0,0) i promieniu 3. Ale ponieważ
0
≥
z
, zatem jest to tylko górna jej połówka.
Rys. 2. Wykres funkcji
2
2
9
y
x
z
−
−
=
2. GRANICA I CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI DWÓCH ZMIENNYCH
Definicja granicy funkcji dwóch zmiennych nie różni się w sposób istotny od definicji granicy funkcji
jednej zmiennej.
x
y
z
2
2
9
y
x
z
−
−
=
3
3
3
D
198
Def.2.1. (ciąg punktów na płaszczyźnie)
Ciągiem punktów na płaszczyźnie
nazywamy przyporządkowanie każdej liczbie naturalnej punktu tej
płaszczyzny. Wartość tego przyporządkowania dla liczby
N
∈
n
oznaczamy
(
)
n
n
n
y
x
P
,
,
(
)
D
y
x
n
n
∈
,
,
2
R
⊂
D
i nazywamy n – tym wyrazem tego ciągu. Ciąg zaś oznaczamy następująco:
( )
n
P
lub
(
)
(
)
n
n
y
x
,
.
Def.2.2. (granica ciągu)
Mówimy, że ciąg
( )
(
)
(
)
n
n
n
y
x
P
,
=
jest zbieżny do punktu
)
,
(
0
0
0
y
x
P
, co zapisujemy
0
lim
P
P
n
n
=
∞
→
lub
(
) (
)
0
0
,
,
lim
y
x
y
x
n
n
n
=
∞
→
wtedy i tylko wtedy, gdy
0
lim
x
x
n
n
=
∞
→
lub
0
lim
y
y
n
n
=
∞
→
Def.2.3. (granica właściwa funkcji w punkcie wg Heinego)
Niech
(
)
(
)
2
0
0
0
,
,
,
R
∈
y
x
P
y
x
P
oraz funkcja f będzie określona przynajmniej w
( )
0
P
S
.
Liczbę g nazywamy granicą właściwą funkcji f w punkcie
0
P
, co zapisujemy
g
y
x
f
P
P
=
→
)
,
(
lim
0
wtedy i tylko wtedy, gdy
(
)
(
)
(
)
0
0
,
,
y
x
S
y
x
n
n
⊂
∀
(
) (
)
(
)
=
⇒
=
∞
→
∞
→
g
y
x
f
y
x
y
x
n
n
n
n
n
n
,
lim
,
,
lim
0
0
Def.2.4. (granica niewłaściwa funkcji w punkcie wg Heinego)
Niech
(
)
(
)
2
0
0
0
,
,
,
R
∈
y
x
P
y
x
P
oraz funkcja f będzie określona przynajmniej w
( )
0
P
S
.
Funkcja f ma granicę niewłaściwą ∞ w punkcie
0
P
, co zapisujemy
∞
=
→
)
,
(
lim
0
y
x
f
P
P
wtedy i tylko wtedy, gdy
(
)
(
)
(
)
0
0
,
,
y
x
S
y
x
n
n
⊂
∀
(
) (
)
(
)
∞
=
⇒
=
∞
→
∞
→
n
n
n
n
n
n
y
x
f
y
x
y
x
,
lim
,
,
lim
0
0
Rys.4. Ilustracja geometryczna granicy funkcji w punkcie
a) właściwej, b) niewłaściwej
199
Tw.2.1. (o działaniach arytmetycznych na granicach funkcji)
Jeżeli funkcje f i g mają granice właściwe w punkcie
0
P
to
1)
(
)
)
,
(
lim
)
,
(
lim
)
,
(
)
,
(
lim
0
0
0
y
x
g
y
x
f
y
x
g
y
x
f
P
P
P
P
P
P
→
→
→
±
=
±
;
2)
(
)
R
∈
⋅
=
⋅
→
→
α
α
α
,
)
,
(
lim
)
,
(
lim
0
0
y
x
f
y
x
f
P
P
P
P
;
3)
(
)
)
,
(
lim
)
,
(
lim
)
,
(
)
,
(
lim
0
0
0
y
x
g
y
x
f
y
x
g
y
x
f
P
P
P
P
P
P
→
→
→
⋅
=
⋅
;
4)
0
)
,
(
lim
,
)
,
(
lim
)
,
(
lim
)
,
(
)
,
(
lim
0
0
0
0
≠
=
→
→
→
→
y
x
g
y
x
g
y
x
f
y
x
g
y
x
f
P
P
P
P
P
P
P
P
;
Tw.2.2. (o granicy funkcji złożonej)
Jeżeli funkcje f, h i w spełniają następujące warunki:
1)
0
0
)
,
(
lim
,
)
,
(
lim
0
0
w
y
x
w
h
y
x
h
P
P
P
P
=
⋅
=
→
→
,
2)
(
) (
)
0
0
0
,
)
,
(
),
,
(
)
(
)
,
(
w
h
y
x
w
y
x
h
P
S
y
x
P
≠
∈
∀
,
3)
(
)
g
w
h
f
w
h
w
h
=
→
)
,
(
lim
0
0
,
)
,
(
,
to
(
)
g
y
x
w
y
x
h
f
y
x
P
y
x
P
=
→
))
,
(
),
,
(
(
lim
0
0
0
,
)
,
(
.
Def.2.5. (ciągłość funkcji w punkcie)
Niech
(
)
(
)
2
0
0
0
,
,
,
R
∈
y
x
P
y
x
P
oraz funkcja f będzie określona przynajmniej w
( )
0
P
U
.
Funkcję f nazywamy ciągłą w punkcie
0
P
wtedy i tylko wtedy, gdy
(
)
0
0
,
)
,
(
lim
0
y
x
f
y
x
f
P
P
=
→
.
Tw.2.3. (o ciągłości sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu funkcji ciągłych)
Jeżeli funkcje f i g są ciągłe w punkcie
0
P
, to w tym punkcie ciągłe są również funkcje:
,
,
,
g
f
g
f
g
f
⋅
−
+
g
f ÷
(o ile
(
)
0
,
0
0
≠
y
x
g
).
Def.2.6. (ciągłość funkcji na zbiorze)
Funkcja f jest ciągła na zbiorze otwartym, jeśli jest ciągła w każdym punkcie tego zbioru.
3. POCHODNE FUNKCJI DWÓCH ZMIENNYCH
Def.3.1. (pochodne cząstkowe rzędu pierwszego)
Niech
)
,
( y
x
f
z =
określone w D, punkt
(
)
D
y
x
P
∈
0
0
0
,
. Symbolem x
∆
oznaczamy przyrost zmiennej x,
a symbolem
y
∆
– przyrost zmiennej y, przy czym
0
,
0
≠
∆
≠
∆
y
x
oraz
(
)
,
,
0
0
D
y
x
x
P
∈
∆
+
.
(
)
D
y
y
x
P
∈
∆
+
0
0
,
.
Pochodną cząstkową rzędu pierwszego funkcji
)
,
( y
x
f
względem zmiennej x
w punkcie
0
P
nazywamy
granicę właściwą
x
y
x
f
y
x
x
f
x
∆
−
∆
+
→
∆
)
,
(
)
,
(
lim
0
0
0
0
0
200
a oznaczamy
0
P
x
z
∂
∂
lub
( )
0
'
P
f
x
.
Pochodną cząstkową rzędu pierwszego funkcji
)
,
( y
x
f
względem zmiennej y
w punkcie
0
P
nazywamy
granicę właściwą
y
y
x
f
y
y
x
f
y
∆
−
∆
+
→
∆
)
,
(
)
,
(
lim
0
0
0
0
0
a oznaczamy
0
P
y
z
∂
∂
lub
( )
0
'
P
f
y
.
Przykład: Korzystając z definicji obliczyć pochodne cząstkowe I – go rzędu funkcji
y
x
z
2
=
w punkcie
(
)
0
0
0
, y
x
P
.
Rozwiązanie:
(
)
( )
(
)
( )
=
∆
∆
−
∆
=
∆
−
∆
+
∆
+
=
∆
−
∆
+
=
∂
∂
→
∆
→
∆
→
∆
x
y
x
x
y
x
x
y
x
y
x
x
x
x
x
y
x
y
x
x
x
z
x
x
x
P
0
2
0
0
0
0
2
0
0
2
0
2
0
0
0
2
0
0
2
0
0
2
lim
2
lim
lim
0
(
)
(
)
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2
2
lim
2
lim
y
x
xy
y
x
x
xy
y
x
x
x
x
=
∆
−
=
∆
∆
−
∆
=
→
∆
→
∆
(
)
2
0
2
0
0
2
0
0
0
2
0
0
2
0
0
lim
lim
lim
0
x
x
y
y
x
y
y
x
y
y
x
y
z
y
y
y
P
=
=
∆
∆
=
∆
−
∆
+
=
∂
∂
→
∆
→
∆
→
∆
Uwaga
: W definicji pochodnych cząstkowych jedna ze zmiennych jest ustalona. Dlatego też w praktyce
pochodną cząstkową względem zmiennej x obliczamy jak pochodną funkcji jednej zmiennej, przy
założeniu, że zmienna y ma wartość stałą. Analogicznie pochodną cząstkową względem zmiennej y
obliczamy jak pochodną funkcji jednej zmiennej, przy założeniu, że zmienna x ma wartość stałą.
Przykład: Obliczyć pochodne cząstkowe I – go rzędu funkcji: a)
y
x
z
2
=
b)
y
x
y
x
f
=
)
,
(
Rozwiązanie:
a)
y
x
z
2
=
R
R
∈
∈
y
x
,
( )
( )
,
2
2
'
2
'
2
xy
x
y
x
y
y
x
x
z
x
x
=
⋅
=
⋅
=
=
∂
∂
( )
( )
2
2
'
2
'
2
1 x
x
y
x
y
x
y
z
y
y
=
⋅
=
⋅
=
=
∂
∂
b)
y
x
y
x
f
=
)
,
(
0
>
x
( )
1
'
−
⋅
=
=
∂
∂
y
x
y
x
y
x
x
f
( )
x
x
x
y
f
y
y
y
ln
'
⋅
=
=
∂
∂
Def.3.2. (pochodne cząstkowe rzędu drugiego)
Pochodne cząstkowe rzędu drugiego
funkcji
)
,
( y
x
f
w punkcie
(
)
0
0
0
, y
x
P
definiujemy jako pochodne
cząstkowe pierwszego rzędu z pochodnych cząstkowych pierwszego rzędu.
x
y
x
f
y
x
x
f
x
f
x
x
x
P
∆
−
∆
+
=
∂
∂
→
∆
)
,
(
)
,
(
lim
0
0
'
0
0
'
0
2
2
0
201
y
y
x
f
y
y
x
f
x
y
f
x
x
y
P
∆
−
∆
+
=
∂
∂
∂
→
∆
)
,
(
)
,
(
lim
0
0
'
0
0
'
0
2
0
y
y
x
f
y
y
x
f
y
f
y
y
y
P
∆
−
∆
+
=
∂
∂
→
∆
)
,
(
)
,
(
lim
0
0
'
0
0
'
0
2
2
0
x
y
x
f
y
x
x
f
y
x
f
y
y
x
P
∆
−
∆
+
=
∂
∂
∂
→
∆
)
,
(
)
,
(
lim
0
0
'
0
0
'
0
2
0
Uwaga
: Pochodne cząstkowe rzędu drugiego
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
x
f
x
x
f
2
2
,
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
y
f
y
y
f
2
2
nazywamy
pochodnymi czystymi, zaś
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
∂
x
f
y
x
y
f
y
f
x
y
x
f
2
2
,
pochodnymi mieszanymi.
Przykład: Obliczyć pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji
(
)
2
2
cos
y
x
z
+
=
.
Rozwiązanie:
Obliczamy pochodne cząstkowe rzędu I – go:
(
)
[
]
(
) (
)
(
)
2
2
'
2
2
2
2
2
2
sin
2
sin
cos
y
x
x
y
x
y
x
y
x
x
z
x
x
+
−
=
+
⋅
+
−
=
′
+
=
∂
∂
(
)
[
]
(
) (
)
(
)
2
2
'
2
2
2
2
2
2
sin
2
sin
cos
y
x
y
y
x
y
x
y
x
y
z
y
y
+
−
=
+
⋅
+
−
=
′
+
=
∂
∂
Obliczamy pochodne cząstkowe rzędu II – go:
(
)
[
]
(
)
(
)
(
)
(
)
[
]
=
′
+
⋅
−
+
+
⋅
−
=
′
+
−
=
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
x
x
x
y
x
x
y
x
x
y
x
x
x
z
x
x
z
2
2
2
2
'
2
2
2
2
sin
2
sin
2
sin
2
(
)
(
)
(
)
(
)
[
]
2
2
2
2
2
2
2
2
2
cos
2
sin
2
2
cos
2
sin
2
y
x
x
y
x
x
y
x
x
y
x
+
+
+
−
=
⋅
+
−
+
−
=
(
)
[
]
(
)
(
)
[
]
(
)
=
⋅
+
−
=
′
+
⋅
−
=
′
+
−
=
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
∂
y
y
x
x
y
x
x
y
x
x
x
z
y
x
y
z
y
y
2
cos
2
sin
2
sin
2
2
2
2
2
2
2
2
(
)
2
2
cos
4
y
x
xy
+
−
=
(
)
[
]
(
)
(
)
[
]
(
)
=
⋅
+
−
=
′
+
⋅
−
=
′
+
−
=
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
∂
x
y
x
y
y
x
y
y
x
y
y
z
x
y
x
z
x
x
2
cos
2
sin
2
sin
2
2
2
2
2
2
2
2
(
)
2
2
cos
4
y
x
xy
+
−
=
(
)
[
]
(
)
(
)
(
)
(
)
[
]
=
′
+
⋅
−
+
+
⋅
−
=
′
+
−
=
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
y
y
y
y
x
y
y
x
y
y
x
y
y
z
y
y
z
2
2
2
2
'
2
2
2
2
sin
2
sin
2
sin
2
(
)
(
)
(
)
(
)
[
]
2
2
2
2
2
2
2
2
2
cos
2
sin
2
2
cos
2
sin
2
y
x
y
y
x
y
y
x
y
y
x
+
+
+
−
=
⋅
+
−
+
−
=
202
Tw.3.1. (twierdzenie Schwarza)
Jeżeli funkcja
)
,
( y
x
f
ma w pewnym obszarze Ω ciągłe pochodne cząstkowe mieszane
x
y
f
y
x
f
∂
∂
∂
∂
∂
∂
2
2
,
to, w każdym punkcie tego obszaru są one równe.
Def.3.3. (pochodne cząstkowe rzędu n)
Jakąkolwiek pochodną rzędu pierwszego jakiejkolwiek pochodnej cząstkowej rzędu n-1 nazywamy
pochodną cząstkową rzędu n
ze względu na odpowiednią zmienną.
Przykłady:
a)
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
∂
2
2
2
3
x
f
y
x
y
f
pochodna cząstkowa rzędu trzeciego;
b)
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
3
3
4
4
x
f
x
x
f
pochodna cząstkowa rzędu czwartego.
4. RÓŻNICZKA FUNKCJI
Def.4.1. (różniczka funkcji)
Niech funkcja
)
,
( y
x
f
posiada pochodne cząstkowe I – go rzędu w punkcie
(
)
0
0
0
, y
x
P
.
Różniczką funkcji f w punkcie
0
P
nazywamy funkcję
( )(
)
y
x
P
df
∆
∆
,
0
zmiennych
y
x ∆
∆
,
określoną
wzorem:
( )(
)
( )
( )
y
P
y
f
x
P
x
f
y
x
P
df
∆
⋅
∂
∂
+
∆
⋅
∂
∂
=
∆
∆
0
0
0
,
lub w innym zapisie:
(
)(
)
(
)
(
)
y
y
x
y
f
x
y
x
x
f
y
x
y
x
df
∆
⋅
∂
∂
+
∆
⋅
∂
∂
=
∆
∆
0
0
0
0
0
0
,
,
,
,
ZASTOSOWANIE RÓŻNICZKI FUNKCJI DO OBLICZEŃ PRZYBLIŻONYCH.
Jeżeli funkcja f ma ciągłe pochodne cząstkowe I – go rzędu w punkcie
(
)
0
0
0
, y
x
P
, to
(
)
(
)
(
)(
)
y
x
y
x
df
y
x
f
y
y
x
x
f
∆
∆
+
≈
∆
+
∆
+
,
,
,
,
0
0
0
0
0
0
.
Przy czym
(
)
(
)
(
)
0
,
lim
2
2
)
0
,
0
(
)
,
(
=
∆
+
∆
∆
∆
→
∆
∆
y
x
y
x
y
x
δ
Co oznacza, że błąd
(
)
y
x ∆
∆
,
δ
tego przybliżenia dąży szybciej do 0 niż wyrażenie
(
)
(
)
2
2
y
x
∆
+
∆
.
203
5. EKSTREMA LOKALNE FUNKCJI DWÓCH ZMIENNYCH
Def.5.1. (ekstrema lokalne)
Niech funkcja
)
,
( y
x
f
z =
będzie określona w pewnym otoczeniu punktu
(
)
0
0
0
, y
x
P
.
Mówimy, że funkcja ta ma w punkcie
0
P
maksimum (minimum) lokalne, jeśli istnieje takie sąsiedztwo
( )
0
P
S
, że dla każdego punktu
( )
0
)
,
(
P
S
y
x
P
∈
spełniona jest nierówność:
( )
( )
0
P
f
P
f
≤
;
( )
( )
[
]
0
P
f
P
f
≥
Uwaga
: W przypadku, gdy znaki nierówności słabych
(
)
≥
≤
,
zastąpimy nierównościami ostrymi (< , > )
mówimy o ekstremach lokalnych właściwych.
Rys.3. Maksimum lokalne funkcji dwóch zmiennych
Tw.5.1. (warunek konieczny istnienia ekstremum lokalnego)
Jeżeli funkcja
)
,
( y
x
f
ma pochodne cząstkowe pierwszego rzędu w punkcie
(
)
0
0
0
, y
x
P
oraz ma w tym
punkcie ekstremum lokalne to
( )
0
0
=
∂
∂
P
x
f
i
( )
0
0
=
∂
∂
P
y
f
Uwaga
: Jest to warunek konieczny, ale nie wystarczający, (co ilustruje poniższy przykład).
max
)
,
(
0
0
0
y
x
P
x
y
z
)
(
0
P
f
)
,
( y
x
P
)
(P
f
204
Przykład: Sprawdzić, czy funkcja
xy
z =
posiada ekstrema lokalne?
Rozwiązanie:
Pochodne cząstkowe I – go rzędu wynoszą:
y
x
f
=
∂
∂
,
x
y
f
=
∂
∂
.
Z układu równań
=
=
0
0
x
y
wynika, że istnieje jeden punkt „podejrzany” o ekstremum, a mianowicie
)
0
,
0
(
.
Funkcja nie ma jednak w nim ekstremum, ponieważ
0
)
0
,
0
(
=
f
oraz
0
>
z
dla punktów płaszczyzny
)
,
( y
x
należących do I – szej i III – ciej ćwiartki płaszczyzny XOY, natomiast
0
<
z
dla punktów
płaszczyzny
)
,
( y
x
należących do II – giej i IV – tej ćwiartki. Zatem ta funkcja przyjmuje zarówno
wartości dodatnie, jak i ujemne dla pewnych punktów
)
,
( y
x
dowolnie bliskich punktowi
)
0
,
0
(
.
Tw.5.2. (warunek dostateczny istnienia ekstremum lokalnego)
Jeżeli funkcja
)
,
( y
x
f
jest klasy
2
C
(tj. ma ciągłe pochodne cząstkowe do rzędu drugiego włącznie)
w pewnym otoczeniu punktu
(
)
0
0
0
, y
x
P
, a ponadto
0
=
∂
∂
x
f
i
0
=
∂
∂
y
f
oraz
( )
0
0
>
P
W
, gdzie
( )
( )
( )
( )
( )
0
2
2
0
2
0
2
0
2
2
0
P
y
f
P
y
x
f
P
x
y
f
P
x
f
P
W
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
to funkcja posiada ekstremum lokalne w
0
P
.
W przypadku gdy:
( )
0
0
2
2
>
∂
∂
P
x
f
to funkcja posiada minimum lokalne w
0
P
( )
0
0
2
2
<
∂
∂
P
x
f
to funkcja posiada maksimum lokalne w
0
P
.
Uwaga
: Gdy
( )
0
0
<
P
W
to funkcja nie ma ekstremum lokalnego w
0
P
, natomiast gdy
( )
0
0
=
P
W
mamy
przypadek wątpliwy, który wymaga dodatkowych badań wykorzystujących definicję ekstremum.
Przykład: Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji
(
)
2
2
2
)
,
(
y
x
e
y
x
f
y
x
−
⋅
=
+
Rozwiązanie:
1° Wyznaczamy dziedzinę funkcji:
(
)
{
}
R
R
∈
∧
∈
=
y
x
y
x
D
:
,
2° Obliczamy pochodne cząstkowe I – go rzędu:
(
)
(
)
x
y
x
e
x
e
y
x
e
x
f
y
x
y
x
y
x
2
2
2
2
2
2
2
2
2
+
−
⋅
=
⋅
+
−
=
∂
∂
+
+
+
(
)
(
)
(
)
y
y
x
e
y
e
y
x
e
y
f
y
x
y
x
y
x
−
−
⋅
=
−
⋅
+
−
=
∂
∂
+
+
+
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
205
3° Tworzymy układ równań
=
∂
∂
=
∂
∂
0
0
y
f
x
f
czyli mamy
(
)
(
)
=
−
−
⋅
=
+
−
⋅
+
+
0
2
0
2
2
2
2
2
2
2
y
y
x
e
x
y
x
e
y
x
y
x
Ponieważ
(
)
0
,
2
2
>
∈
∀
+
y
x
e
y
x
R
stąd mamy
=
−
−
=
+
−
0
0
2
2
2
2
2
y
y
x
x
y
x
.
Odejmując stronami otrzymujemy
0
2 =
−
−
x
y
, wstawiając do pierwszego równania otrzymujemy:
=
+
−
−
=
0
2
4
2
2
2
x
x
x
x
y
=
+
−
−
=
0
2
3
2
2
x
x
x
y
(
)
=
+
−
−
=
0
2
3
2
x
x
x
y
czyli
=
∨
=
−
=
3
2
0
2
x
x
x
y
Otrzymujemy zatem dwa układy:
=
−
=
0
2
x
x
y
lub
=
−
=
3
2
2
x
x
y
Stąd
=
=
0
0
x
y
lub
=
−
=
3
2
3
4
x
y
Zatem istnieją dwa punkty stacjonarne („podejrzane” o ekstremum):
−
3
4
,
3
2
),
0
,
0
(
2
1
P
P
.
4° Obliczamy pochodne cząstkowe rzędu II – go:
(
)
[
]
(
)
(
)
(
)
2
4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
+
+
−
=
+
⋅
+
+
−
⋅
=
′
+
−
⋅
=
∂
∂
+
+
+
+
x
y
x
e
x
e
x
y
x
e
x
y
x
e
x
f
y
x
y
x
y
x
x
y
x
(
)
[
]
(
)
(
)
(
)
y
x
y
x
e
y
e
x
y
x
e
x
y
x
e
x
y
f
y
x
y
x
y
x
y
y
x
−
+
−
=
−
⋅
+
+
−
⋅
=
′
+
−
⋅
=
∂
∂
∂
+
+
+
+
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
(
)
[
]
(
)
(
)
(
)
1
4
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
−
−
−
=
−
−
+
−
−
⋅
⋅
=
′
−
−
⋅
=
∂
∂
+
+
+
+
y
y
x
e
y
e
y
y
x
e
y
y
x
e
y
f
y
x
y
x
y
x
y
y
x
206
5° Tworzymy wyznacznik:
(
)
(
)
(
)
(
)
1
4
2
2
2
2
2
2
2
2
4
)
,
(
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
−
−
−
−
+
−
−
+
−
+
+
−
=
+
+
+
+
y
y
x
e
y
x
y
x
e
y
x
y
x
e
x
y
x
e
y
x
W
y
x
y
x
y
x
y
x
6° Obliczamy wartości wyznacznika w punktach stacjonarnych, wyznaczamy ewentualne ekstrema:
( )
4
2
0
0
2
)
0
,
0
(
1
−
=
−
=
= W
P
W
.
Ponieważ
( )
0
1
<
P
W
, więc brak ekstremum w punkcie
1
P
.
( )
=
=
−
+
−
+
+
−
+
+
−
+
+
−
=
−
=
−
−
−
−
−
−
−
−
2
2
2
2
2
2
2
2
2
9
30
9
24
9
24
9
30
1
3
16
9
32
9
8
2
3
4
3
4
9
16
9
4
2
3
4
3
4
9
16
9
4
2
2
3
8
9
16
9
4
3
4
,
3
2
e
e
e
e
e
e
e
e
W
P
W
(
)
4
4
2
2
2
2
81
324
576
900
81
1
9
24
9
24
9
30
9
30
−
−
−
−
−
−
=
−
=
⋅
−
⋅
=
e
e
e
e
e
e
Wyznacznik
( )
0
2
>
P
W
, więc funkcja posiada ekstremum lokalne w punkcie
2
P
.
Ponieważ
( )
0
9
30
2
2
2
2
>
=
∂
∂
−
e
P
x
f
, zatem w tym punkcie mamy minimum lokalne.
Wartość funkcji w punkcie ekstremalnym wynosi
2
2
3
4
9
16
9
4
3
4
,
3
2
−
−
−
=
−
=
−
e
e
f
.
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Microsoft Word L15 funkcje 2 zmiennych i ekstrema
Microsoft Word W24 Funkcje zespolone
Microsoft Word L23 funkcje zespolone
Microsoft Word W23 Funkcje zespolone
Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych, Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych
Microsoft Word W16 pochodne zlozone funkcji 2 zm
Microsoft Word L16 pochodne f zlozonej 2 zmiennych
Microsoft Word L8 Regula dH, przebieg zmiennosci
Microsoft Word W14 Szeregi Fouriera
New Microsoft Word Document (2)
Nowy Dokument programu Microsoft Word (5)
Nowy Dokument programu Microsoft Word
Nowy Dokument programu Microsoft Word
Microsoft Word zrodla infor I czesc pprawiona 2 do wydr
Microsoft Word PARAMETRY KOMPUTERÓW mój
6 funkcje zmiennej zespolonej, holomorficzność
więcej podobnych podstron