195
WYKŁAD Nr 15
FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH
1. PODSTAWOWE POJĘCIA
Def.1.1. (przestrzeń dwuwymiarowa i punkt tej przestrzeni)
Zbiór wszystkich uporządkowanych par
(
)
y
x
,
liczb rzeczywistych nazywamy przestrzenią
dwuwymiarową
i oznaczamy
2
R
.
Pary
(
)
y
x
,
nazywamy punktami przestrzeni
2
R
, natomiast liczby x, y – współrzędnymi tych punktów.
Rys. 1. Punkt w przestrzeni dwuwymiarowej
Uwaga
:
R
R
R
×
=
2
, zatem w
2
R
każdy punkt ma dwie współrzędne.
Def.1.2. (odległość punktów w przestrzeni dwuwymiarowej)
Niech
)
,
(
),
,
(
2
2
2
1
1
1
y
x
P
y
x
P
będą punktami przestrzeni
2
R
.
Odległość punktów
2
1
, P
P
płaszczyzny oznaczamy symbolem
2
1
P
P
i określamy następująco:
(
)
(
)
2
1
2
2
1
2
2
1
y
y
x
x
P
P
−
+
−
=
Rys.2. Odległość punktów na płaszczyźnie
)
,
( y
x
P
x
y
)
,
(
1
1
1
y
x
P
)
,
(
2
2
2
y
x
P
2
1
P
P
x
y
196
Def.1.3. (otoczenie punktu na płaszczyźnie)
Niech
)
,
(
0
0
0
y
x
P
będzie punktem płaszczyzny, r – dowolną liczbą dodatnią (
0
>
r
).
Otoczeniem punktu
0
P
o promieniu r
na płaszczyźnie nazywamy następujący zbiór punktów:
(
)
{
}
r
P
P
P
r
P
U
<
=
0
0
:
,
Def.1.4. (sąsiedztwo punktu na płaszczyźnie)
Niech
)
,
(
0
0
0
y
x
P
będzie punktem płaszczyzny, r – dowolną liczbą dodatnią (
0
>
r
).
Sąsiedztwem punktu
0
P
o promieniu r
na płaszczyźnie nazywamy następujący zbiór:
(
)
(
) { }
0
0
0
\
,
,
P
r
P
U
r
P
S
=
Uwaga
: Jeżeli w rozważaniach nie jest istotny promień otoczenia lub sąsiedztwa, wówczas oznaczamy:
( )
0
P
U
– otoczenie punktu
0
P
,
( )
0
P
S
– sąsiedztwo punktu
0
P
.
Uwaga
: Otoczeniem punktu na płaszczyźnie jest koło otwarte o środku w tym punkcie, natomiast
sąsiedztwem punktu – koło otwarte bez środka.
Def.1.5. (funkcja dwóch zmiennych)
Niech
2
R
⊂
D
. Jeżeli każdemu punktowi przestrzeni
2
R
–
(
)
D
y
x
P
∈
,
przyporządkujemy dokładnie
jedną liczbę
R
∈
z
, to mówimy, że w zbiorze D określona jest funkcja dwóch zmiennych
(
)
y
x
f
z
,
=
.
Liczby x, y są zmiennymi niezależnymi, z – zmienną zależną, f – symbol przyporządkowania
R
→
D
f
:
.
Przykład funkcji dwóch zmiennych:
Funkcja
0
,
0
gdzie
,
2
>
>
π
=
y
x
y
x
z
wyraża objętość walca o promieniu x i wysokości y.
Def.1.6. (dziedzina naturalna funkcji dwóch zmiennych)
Zbiór wszystkich par
(
)
D
y
x
∈
,
, dla których odpowiedni wzór postaci
)
,
( y
x
f
z =
ma sens
matematyczny nazywamy dziedziną naturalną funkcji.
Przykład:
Niech
(
)
2
2
1
ln
y
x
z
−
−
=
.
Wówczas
(
)
{
}
(
)
{
}
1
:
,
0
1
:
,
2
2
2
2
2
2
<
+
∈
=
>
−
−
∈
=
y
x
y
x
y
x
y
x
D
R
R
.
Zatem dziedziną naturalną tej funkcji jest wnętrze koła o środku w początku układu współrzędnych
i promieniu 1.
Def.1.7. (wykres funkcji dwóch zmiennych)
Punkty przestrzeni o współrzędnych
(
)
)
,
(
,
,
y
x
f
y
x
, gdzie
(
)
D
y
x
∈
,
związane z równaniem
)
,
( y
x
f
z =
tworzą pewną powierzchnię zwaną wykresem funkcji
)
,
( y
x
f
.
197
Rys.3. Wykres funkcji dwóch zmiennych niezależnych
Przykład: Podać wykres funkcji dwóch zmiennych
2
2
9
y
x
z
−
−
=
.
Rozwiązanie:
Dziedzina tej funkcji:
(
)
{
}
(
)
{
}
9
:
,
0
9
:
,
2
2
2
2
2
2
≤
+
∈
=
≥
−
−
∈
=
y
x
y
x
y
x
y
x
D
R
R
, czyli jest to
koło ośrodku w punkcie (0,0) i promieniu 3.
Ponieważ
2
2
9
y
x
z
−
−
=
, więc
2
2
2
9
y
x
z
−
−
=
.
Stąd
9
2
2
2
=
+
+
z
y
x
; jest to równanie sfery o środku w punkcie (0,0,0) i promieniu 3. Ale ponieważ
0
≥
z
, zatem jest to tylko górna jej połówka.
Rys. 2. Wykres funkcji
2
2
9
y
x
z
−
−
=
2. GRANICA I CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI DWÓCH ZMIENNYCH
Definicja granicy funkcji dwóch zmiennych nie różni się w sposób istotny od definicji granicy funkcji
jednej zmiennej.
x
y
z
2
2
9
y
x
z
−
−
=
3
3
3
D
198
Def.2.1. (ciąg punktów na płaszczyźnie)
Ciągiem punktów na płaszczyźnie
nazywamy przyporządkowanie każdej liczbie naturalnej punktu tej
płaszczyzny. Wartość tego przyporządkowania dla liczby
N
∈
n
oznaczamy
(
)
n
n
n
y
x
P
,
,
(
)
D
y
x
n
n
∈
,
,
2
R
⊂
D
i nazywamy n – tym wyrazem tego ciągu. Ciąg zaś oznaczamy następująco:
( )
n
P
lub
(
)
(
)
n
n
y
x
,
.
Def.2.2. (granica ciągu)
Mówimy, że ciąg
( )
(
)
(
)
n
n
n
y
x
P
,
=
jest zbieżny do punktu
)
,
(
0
0
0
y
x
P
, co zapisujemy
0
lim
P
P
n
n
=
∞
→
lub
(
) (
)
0
0
,
,
lim
y
x
y
x
n
n
n
=
∞
→
wtedy i tylko wtedy, gdy
0
lim
x
x
n
n
=
∞
→
lub
0
lim
y
y
n
n
=
∞
→
Def.2.3. (granica właściwa funkcji w punkcie wg Heinego)
Niech
(
)
(
)
2
0
0
0
,
,
,
R
∈
y
x
P
y
x
P
oraz funkcja f będzie określona przynajmniej w
( )
0
P
S
.
Liczbę g nazywamy granicą właściwą funkcji f w punkcie
0
P
, co zapisujemy
g
y
x
f
P
P
=
→
)
,
(
lim
0
wtedy i tylko wtedy, gdy
(
)
(
)
(
)
0
0
,
,
y
x
S
y
x
n
n
⊂
∀
(
) (
)
(
)
=
⇒
=
∞
→
∞
→
g
y
x
f
y
x
y
x
n
n
n
n
n
n
,
lim
,
,
lim
0
0
Def.2.4. (granica niewłaściwa funkcji w punkcie wg Heinego)
Niech
(
)
(
)
2
0
0
0
,
,
,
R
∈
y
x
P
y
x
P
oraz funkcja f będzie określona przynajmniej w
( )
0
P
S
.
Funkcja f ma granicę niewłaściwą ∞ w punkcie
0
P
, co zapisujemy
∞
=
→
)
,
(
lim
0
y
x
f
P
P
wtedy i tylko wtedy, gdy
(
)
(
)
(
)
0
0
,
,
y
x
S
y
x
n
n
⊂
∀
(
) (
)
(
)
∞
=
⇒
=
∞
→
∞
→
n
n
n
n
n
n
y
x
f
y
x
y
x
,
lim
,
,
lim
0
0
Rys.4. Ilustracja geometryczna granicy funkcji w punkcie
a) właściwej, b) niewłaściwej
199
Tw.2.1. (o działaniach arytmetycznych na granicach funkcji)
Jeżeli funkcje f i g mają granice właściwe w punkcie
0
P
to
1)
(
)
)
,
(
lim
)
,
(
lim
)
,
(
)
,
(
lim
0
0
0
y
x
g
y
x
f
y
x
g
y
x
f
P
P
P
P
P
P
→
→
→
±
=
±
;
2)
(
)
R
∈
⋅
=
⋅
→
→
α
α
α
,
)
,
(
lim
)
,
(
lim
0
0
y
x
f
y
x
f
P
P
P
P
;
3)
(
)
)
,
(
lim
)
,
(
lim
)
,
(
)
,
(
lim
0
0
0
y
x
g
y
x
f
y
x
g
y
x
f
P
P
P
P
P
P
→
→
→
⋅
=
⋅
;
4)
0
)
,
(
lim
,
)
,
(
lim
)
,
(
lim
)
,
(
)
,
(
lim
0
0
0
0
≠
=
→
→
→
→
y
x
g
y
x
g
y
x
f
y
x
g
y
x
f
P
P
P
P
P
P
P
P
;
Tw.2.2. (o granicy funkcji złożonej)
Jeżeli funkcje f, h i w spełniają następujące warunki:
1)
0
0
)
,
(
lim
,
)
,
(
lim
0
0
w
y
x
w
h
y
x
h
P
P
P
P
=
⋅
=
→
→
,
2)
(
) (
)
0
0
0
,
)
,
(
),
,
(
)
(
)
,
(
w
h
y
x
w
y
x
h
P
S
y
x
P
≠
∈
∀
,
3)
(
)
g
w
h
f
w
h
w
h
=
→
)
,
(
lim
0
0
,
)
,
(
,
to
(
)
g
y
x
w
y
x
h
f
y
x
P
y
x
P
=
→
))
,
(
),
,
(
(
lim
0
0
0
,
)
,
(
.
Def.2.5. (ciągłość funkcji w punkcie)
Niech
(
)
(
)
2
0
0
0
,
,
,
R
∈
y
x
P
y
x
P
oraz funkcja f będzie określona przynajmniej w
( )
0
P
U
.
Funkcję f nazywamy ciągłą w punkcie
0
P
wtedy i tylko wtedy, gdy
(
)
0
0
,
)
,
(
lim
0
y
x
f
y
x
f
P
P
=
→
.
Tw.2.3. (o ciągłości sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu funkcji ciągłych)
Jeżeli funkcje f i g są ciągłe w punkcie
0
P
, to w tym punkcie ciągłe są również funkcje:
,
,
,
g
f
g
f
g
f
⋅
−
+
g
f ÷
(o ile
(
)
0
,
0
0
≠
y
x
g
).
Def.2.6. (ciągłość funkcji na zbiorze)
Funkcja f jest ciągła na zbiorze otwartym, jeśli jest ciągła w każdym punkcie tego zbioru.
3. POCHODNE FUNKCJI DWÓCH ZMIENNYCH
Def.3.1. (pochodne cząstkowe rzędu pierwszego)
Niech
)
,
( y
x
f
z =
określone w D, punkt
(
)
D
y
x
P
∈
0
0
0
,
. Symbolem x
∆
oznaczamy przyrost zmiennej x,
a symbolem
y
∆
– przyrost zmiennej y, przy czym
0
,
0
≠
∆
≠
∆
y
x
oraz
(
)
,
,
0
0
D
y
x
x
P
∈
∆
+
.
(
)
D
y
y
x
P
∈
∆
+
0
0
,
.
Pochodną cząstkową rzędu pierwszego funkcji
)
,
( y
x
f
względem zmiennej x
w punkcie
0
P
nazywamy
granicę właściwą
x
y
x
f
y
x
x
f
x
∆
−
∆
+
→
∆
)
,
(
)
,
(
lim
0
0
0
0
0
200
a oznaczamy
0
P
x
z
∂
∂
lub
( )
0
'
P
f
x
.
Pochodną cząstkową rzędu pierwszego funkcji
)
,
( y
x
f
względem zmiennej y
w punkcie
0
P
nazywamy
granicę właściwą
y
y
x
f
y
y
x
f
y
∆
−
∆
+
→
∆
)
,
(
)
,
(
lim
0
0
0
0
0
a oznaczamy
0
P
y
z
∂
∂
lub
( )
0
'
P
f
y
.
Przykład: Korzystając z definicji obliczyć pochodne cząstkowe I – go rzędu funkcji
y
x
z
2
=
w punkcie
(
)
0
0
0
, y
x
P
.
Rozwiązanie:
(
)
( )
(
)
( )
=
∆
∆
−
∆
=
∆
−
∆
+
∆
+
=
∆
−
∆
+
=
∂
∂
→
∆
→
∆
→
∆
x
y
x
x
y
x
x
y
x
y
x
x
x
x
x
y
x
y
x
x
x
z
x
x
x
P
0
2
0
0
0
0
2
0
0
2
0
2
0
0
0
2
0
0
2
0
0
2
lim
2
lim
lim
0
(
)
(
)
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2
2
lim
2
lim
y
x
xy
y
x
x
xy
y
x
x
x
x
=
∆
−
=
∆
∆
−
∆
=
→
∆
→
∆
(
)
2
0
2
0
0
2
0
0
0
2
0
0
2
0
0
lim
lim
lim
0
x
x
y
y
x
y
y
x
y
y
x
y
z
y
y
y
P
=
=
∆
∆
=
∆
−
∆
+
=
∂
∂
→
∆
→
∆
→
∆
Uwaga
: W definicji pochodnych cząstkowych jedna ze zmiennych jest ustalona. Dlatego też w praktyce
pochodną cząstkową względem zmiennej x obliczamy jak pochodną funkcji jednej zmiennej, przy
założeniu, że zmienna y ma wartość stałą. Analogicznie pochodną cząstkową względem zmiennej y
obliczamy jak pochodną funkcji jednej zmiennej, przy założeniu, że zmienna x ma wartość stałą.
Przykład: Obliczyć pochodne cząstkowe I – go rzędu funkcji: a)
y
x
z
2
=
b)
y
x
y
x
f
=
)
,
(
Rozwiązanie:
a)
y
x
z
2
=
R
R
∈
∈
y
x
,
( )
( )
,
2
2
'
2
'
2
xy
x
y
x
y
y
x
x
z
x
x
=
⋅
=
⋅
=
=
∂
∂
( )
( )
2
2
'
2
'
2
1 x
x
y
x
y
x
y
z
y
y
=
⋅
=
⋅
=
=
∂
∂
b)
y
x
y
x
f
=
)
,
(
0
>
x
( )
1
'
−
⋅
=
=
∂
∂
y
x
y
x
y
x
x
f
( )
x
x
x
y
f
y
y
y
ln
'
⋅
=
=
∂
∂
Def.3.2. (pochodne cząstkowe rzędu drugiego)
Pochodne cząstkowe rzędu drugiego
funkcji
)
,
( y
x
f
w punkcie
(
)
0
0
0
, y
x
P
definiujemy jako pochodne
cząstkowe pierwszego rzędu z pochodnych cząstkowych pierwszego rzędu.
x
y
x
f
y
x
x
f
x
f
x
x
x
P
∆
−
∆
+
=
∂
∂
→
∆
)
,
(
)
,
(
lim
0
0
'
0
0
'
0
2
2
0
201
y
y
x
f
y
y
x
f
x
y
f
x
x
y
P
∆
−
∆
+
=
∂
∂
∂
→
∆
)
,
(
)
,
(
lim
0
0
'
0
0
'
0
2
0
y
y
x
f
y
y
x
f
y
f
y
y
y
P
∆
−
∆
+
=
∂
∂
→
∆
)
,
(
)
,
(
lim
0
0
'
0
0
'
0
2
2
0
x
y
x
f
y
x
x
f
y
x
f
y
y
x
P
∆
−
∆
+
=
∂
∂
∂
→
∆
)
,
(
)
,
(
lim
0
0
'
0
0
'
0
2
0
Uwaga
: Pochodne cząstkowe rzędu drugiego
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
x
f
x
x
f
2
2
,
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
y
f
y
y
f
2
2
nazywamy
pochodnymi czystymi, zaś
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
∂
x
f
y
x
y
f
y
f
x
y
x
f
2
2
,
pochodnymi mieszanymi.
Przykład: Obliczyć pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji
(
)
2
2
cos
y
x
z
+
=
.
Rozwiązanie:
Obliczamy pochodne cząstkowe rzędu I – go:
(
)
[
]
(
) (
)
(
)
2
2
'
2
2
2
2
2
2
sin
2
sin
cos
y
x
x
y
x
y
x
y
x
x
z
x
x
+
−
=
+
⋅
+
−
=
′
+
=
∂
∂
(
)
[
]
(
) (
)
(
)
2
2
'
2
2
2
2
2
2
sin
2
sin
cos
y
x
y
y
x
y
x
y
x
y
z
y
y
+
−
=
+
⋅
+
−
=
′
+
=
∂
∂
Obliczamy pochodne cząstkowe rzędu II – go:
(
)
[
]
(
)
(
)
(
)
(
)
[
]
=
′
+
⋅
−
+
+
⋅
−
=
′
+
−
=
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
x
x
x
y
x
x
y
x
x
y
x
x
x
z
x
x
z
2
2
2
2
'
2
2
2
2
sin
2
sin
2
sin
2
(
)
(
)
(
)
(
)
[
]
2
2
2
2
2
2
2
2
2
cos
2
sin
2
2
cos
2
sin
2
y
x
x
y
x
x
y
x
x
y
x
+
+
+
−
=
⋅
+
−
+
−
=
(
)
[
]
(
)
(
)
[
]
(
)
=
⋅
+
−
=
′
+
⋅
−
=
′
+
−
=
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
∂
y
y
x
x
y
x
x
y
x
x
x
z
y
x
y
z
y
y
2
cos
2
sin
2
sin
2
2
2
2
2
2
2
2
(
)
2
2
cos
4
y
x
xy
+
−
=
(
)
[
]
(
)
(
)
[
]
(
)
=
⋅
+
−
=
′
+
⋅
−
=
′
+
−
=
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
∂
x
y
x
y
y
x
y
y
x
y
y
z
x
y
x
z
x
x
2
cos
2
sin
2
sin
2
2
2
2
2
2
2
2
(
)
2
2
cos
4
y
x
xy
+
−
=
(
)
[
]
(
)
(
)
(
)
(
)
[
]
=
′
+
⋅
−
+
+
⋅
−
=
′
+
−
=
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
y
y
y
y
x
y
y
x
y
y
x
y
y
z
y
y
z
2
2
2
2
'
2
2
2
2
sin
2
sin
2
sin
2
(
)
(
)
(
)
(
)
[
]
2
2
2
2
2
2
2
2
2
cos
2
sin
2
2
cos
2
sin
2
y
x
y
y
x
y
y
x
y
y
x
+
+
+
−
=
⋅
+
−
+
−
=
202
Tw.3.1. (twierdzenie Schwarza)
Jeżeli funkcja
)
,
( y
x
f
ma w pewnym obszarze Ω ciągłe pochodne cząstkowe mieszane
x
y
f
y
x
f
∂
∂
∂
∂
∂
∂
2
2
,
to, w każdym punkcie tego obszaru są one równe.
Def.3.3. (pochodne cząstkowe rzędu n)
Jakąkolwiek pochodną rzędu pierwszego jakiejkolwiek pochodnej cząstkowej rzędu n-1 nazywamy
pochodną cząstkową rzędu n
ze względu na odpowiednią zmienną.
Przykłady:
a)
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
∂
2
2
2
3
x
f
y
x
y
f
pochodna cząstkowa rzędu trzeciego;
b)
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
3
3
4
4
x
f
x
x
f
pochodna cząstkowa rzędu czwartego.
4. RÓŻNICZKA FUNKCJI
Def.4.1. (różniczka funkcji)
Niech funkcja
)
,
( y
x
f
posiada pochodne cząstkowe I – go rzędu w punkcie
(
)
0
0
0
, y
x
P
.
Różniczką funkcji f w punkcie
0
P
nazywamy funkcję
( )(
)
y
x
P
df
∆
∆
,
0
zmiennych
y
x ∆
∆
,
określoną
wzorem:
( )(
)
( )
( )
y
P
y
f
x
P
x
f
y
x
P
df
∆
⋅
∂
∂
+
∆
⋅
∂
∂
=
∆
∆
0
0
0
,
lub w innym zapisie:
(
)(
)
(
)
(
)
y
y
x
y
f
x
y
x
x
f
y
x
y
x
df
∆
⋅
∂
∂
+
∆
⋅
∂
∂
=
∆
∆
0
0
0
0
0
0
,
,
,
,
ZASTOSOWANIE RÓŻNICZKI FUNKCJI DO OBLICZEŃ PRZYBLIŻONYCH.
Jeżeli funkcja f ma ciągłe pochodne cząstkowe I – go rzędu w punkcie
(
)
0
0
0
, y
x
P
, to
(
)
(
)
(
)(
)
y
x
y
x
df
y
x
f
y
y
x
x
f
∆
∆
+
≈
∆
+
∆
+
,
,
,
,
0
0
0
0
0
0
.
Przy czym
(
)
(
)
(
)
0
,
lim
2
2
)
0
,
0
(
)
,
(
=
∆
+
∆
∆
∆
→
∆
∆
y
x
y
x
y
x
δ
Co oznacza, że błąd
(
)
y
x ∆
∆
,
δ
tego przybliżenia dąży szybciej do 0 niż wyrażenie
(
)
(
)
2
2
y
x
∆
+
∆
.
203
5. EKSTREMA LOKALNE FUNKCJI DWÓCH ZMIENNYCH
Def.5.1. (ekstrema lokalne)
Niech funkcja
)
,
( y
x
f
z =
będzie określona w pewnym otoczeniu punktu
(
)
0
0
0
, y
x
P
.
Mówimy, że funkcja ta ma w punkcie
0
P
maksimum (minimum) lokalne, jeśli istnieje takie sąsiedztwo
( )
0
P
S
, że dla każdego punktu
( )
0
)
,
(
P
S
y
x
P
∈
spełniona jest nierówność:
( )
( )
0
P
f
P
f
≤
;
( )
( )
[
]
0
P
f
P
f
≥
Uwaga
: W przypadku, gdy znaki nierówności słabych
(
)
≥
≤
,
zastąpimy nierównościami ostrymi (< , > )
mówimy o ekstremach lokalnych właściwych.
Rys.3. Maksimum lokalne funkcji dwóch zmiennych
Tw.5.1. (warunek konieczny istnienia ekstremum lokalnego)
Jeżeli funkcja
)
,
( y
x
f
ma pochodne cząstkowe pierwszego rzędu w punkcie
(
)
0
0
0
, y
x
P
oraz ma w tym
punkcie ekstremum lokalne to
( )
0
0
=
∂
∂
P
x
f
i
( )
0
0
=
∂
∂
P
y
f
Uwaga
: Jest to warunek konieczny, ale nie wystarczający, (co ilustruje poniższy przykład).
max
)
,
(
0
0
0
y
x
P
x
y
z
)
(
0
P
f
)
,
( y
x
P
)
(P
f
204
Przykład: Sprawdzić, czy funkcja
xy
z =
posiada ekstrema lokalne?
Rozwiązanie:
Pochodne cząstkowe I – go rzędu wynoszą:
y
x
f
=
∂
∂
,
x
y
f
=
∂
∂
.
Z układu równań
=
=
0
0
x
y
wynika, że istnieje jeden punkt „podejrzany” o ekstremum, a mianowicie
)
0
,
0
(
.
Funkcja nie ma jednak w nim ekstremum, ponieważ
0
)
0
,
0
(
=
f
oraz
0
>
z
dla punktów płaszczyzny
)
,
( y
x
należących do I – szej i III – ciej ćwiartki płaszczyzny XOY, natomiast
0
<
z
dla punktów
płaszczyzny
)
,
( y
x
należących do II – giej i IV – tej ćwiartki. Zatem ta funkcja przyjmuje zarówno
wartości dodatnie, jak i ujemne dla pewnych punktów
)
,
( y
x
dowolnie bliskich punktowi
)
0
,
0
(
.
Tw.5.2. (warunek dostateczny istnienia ekstremum lokalnego)
Jeżeli funkcja
)
,
( y
x
f
jest klasy
2
C
(tj. ma ciągłe pochodne cząstkowe do rzędu drugiego włącznie)
w pewnym otoczeniu punktu
(
)
0
0
0
, y
x
P
, a ponadto
0
=
∂
∂
x
f
i
0
=
∂
∂
y
f
oraz
( )
0
0
>
P
W
, gdzie
( )
( )
( )
( )
( )
0
2
2
0
2
0
2
0
2
2
0
P
y
f
P
y
x
f
P
x
y
f
P
x
f
P
W
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
to funkcja posiada ekstremum lokalne w
0
P
.
W przypadku gdy:
( )
0
0
2
2
>
∂
∂
P
x
f
to funkcja posiada minimum lokalne w
0
P
( )
0
0
2
2
<
∂
∂
P
x
f
to funkcja posiada maksimum lokalne w
0
P
.
Uwaga
: Gdy
( )
0
0
<
P
W
to funkcja nie ma ekstremum lokalnego w
0
P
, natomiast gdy
( )
0
0
=
P
W
mamy
przypadek wątpliwy, który wymaga dodatkowych badań wykorzystujących definicję ekstremum.
Przykład: Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji
(
)
2
2
2
)
,
(
y
x
e
y
x
f
y
x
−
⋅
=
+
Rozwiązanie:
1° Wyznaczamy dziedzinę funkcji:
(
)
{
}
R
R
∈
∧
∈
=
y
x
y
x
D
:
,
2° Obliczamy pochodne cząstkowe I – go rzędu:
(
)
(
)
x
y
x
e
x
e
y
x
e
x
f
y
x
y
x
y
x
2
2
2
2
2
2
2
2
2
+
−
⋅
=
⋅
+
−
=
∂
∂
+
+
+
(
)
(
)
(
)
y
y
x
e
y
e
y
x
e
y
f
y
x
y
x
y
x
−
−
⋅
=
−
⋅
+
−
=
∂
∂
+
+
+
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
205
3° Tworzymy układ równań
=
∂
∂
=
∂
∂
0
0
y
f
x
f
czyli mamy
(
)
(
)
=
−
−
⋅
=
+
−
⋅
+
+
0
2
0
2
2
2
2
2
2
2
y
y
x
e
x
y
x
e
y
x
y
x
Ponieważ
(
)
0
,
2
2
>
∈
∀
+
y
x
e
y
x
R
stąd mamy
=
−
−
=
+
−
0
0
2
2
2
2
2
y
y
x
x
y
x
.
Odejmując stronami otrzymujemy
0
2 =
−
−
x
y
, wstawiając do pierwszego równania otrzymujemy:
=
+
−
−
=
0
2
4
2
2
2
x
x
x
x
y
=
+
−
−
=
0
2
3
2
2
x
x
x
y
(
)
=
+
−
−
=
0
2
3
2
x
x
x
y
czyli
=
∨
=
−
=
3
2
0
2
x
x
x
y
Otrzymujemy zatem dwa układy:
=
−
=
0
2
x
x
y
lub
=
−
=
3
2
2
x
x
y
Stąd
=
=
0
0
x
y
lub
=
−
=
3
2
3
4
x
y
Zatem istnieją dwa punkty stacjonarne („podejrzane” o ekstremum):
−
3
4
,
3
2
),
0
,
0
(
2
1
P
P
.
4° Obliczamy pochodne cząstkowe rzędu II – go:
(
)
[
]
(
)
(
)
(
)
2
4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
+
+
−
=
+
⋅
+
+
−
⋅
=
′
+
−
⋅
=
∂
∂
+
+
+
+
x
y
x
e
x
e
x
y
x
e
x
y
x
e
x
f
y
x
y
x
y
x
x
y
x
(
)
[
]
(
)
(
)
(
)
y
x
y
x
e
y
e
x
y
x
e
x
y
x
e
x
y
f
y
x
y
x
y
x
y
y
x
−
+
−
=
−
⋅
+
+
−
⋅
=
′
+
−
⋅
=
∂
∂
∂
+
+
+
+
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
(
)
[
]
(
)
(
)
(
)
1
4
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
−
−
−
=
−
−
+
−
−
⋅
⋅
=
′
−
−
⋅
=
∂
∂
+
+
+
+
y
y
x
e
y
e
y
y
x
e
y
y
x
e
y
f
y
x
y
x
y
x
y
y
x
206
5° Tworzymy wyznacznik:
(
)
(
)
(
)
(
)
1
4
2
2
2
2
2
2
2
2
4
)
,
(
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
−
−
−
−
+
−
−
+
−
+
+
−
=
+
+
+
+
y
y
x
e
y
x
y
x
e
y
x
y
x
e
x
y
x
e
y
x
W
y
x
y
x
y
x
y
x
6° Obliczamy wartości wyznacznika w punktach stacjonarnych, wyznaczamy ewentualne ekstrema:
( )
4
2
0
0
2
)
0
,
0
(
1
−
=
−
=
= W
P
W
.
Ponieważ
( )
0
1
<
P
W
, więc brak ekstremum w punkcie
1
P
.
( )
=
=
−
+
−
+
+
−
+
+
−
+
+
−
=
−
=
−
−
−
−
−
−
−
−
2
2
2
2
2
2
2
2
2
9
30
9
24
9
24
9
30
1
3
16
9
32
9
8
2
3
4
3
4
9
16
9
4
2
3
4
3
4
9
16
9
4
2
2
3
8
9
16
9
4
3
4
,
3
2
e
e
e
e
e
e
e
e
W
P
W
(
)
4
4
2
2
2
2
81
324
576
900
81
1
9
24
9
24
9
30
9
30
−
−
−
−
−
−
=
−
=
⋅
−
⋅
=
e
e
e
e
e
e
Wyznacznik
( )
0
2
>
P
W
, więc funkcja posiada ekstremum lokalne w punkcie
2
P
.
Ponieważ
( )
0
9
30
2
2
2
2
>
=
∂
∂
−
e
P
x
f
, zatem w tym punkcie mamy minimum lokalne.
Wartość funkcji w punkcie ekstremalnym wynosi
2
2
3
4
9
16
9
4
3
4
,
3
2
−
−
−
=
−
=
−
e
e
f
.