1

WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY

Elektrotechnika
Studia Niestacjonarne

Semestr III

Lista Zadań Nr 15

FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH

POCHODNE CZĄSTKOWE ORAZ EKSTREMA LOKALNE

Zad.1. Wyznaczyć dziedzinę funkcji:

a)

2

2

1

)

,

(

y

x

y

x

f

−

=

b)

y

x

y

x

z

+

+

−

=

1

1

c)

y

x

z

1

arcsin

−

=

d)

)

4

ln(

1

)

,

(

2

2

2

2

y

x

y

x

y

x

g

−

−

+

−

+

=

e)*

)

(

sin

)

,

(

2

2

y

x

y

x

h

+

π

=

f)

2

2

1

1

y

x

y

x

z

−

−

+

−

+

=

g)

)

arccos(

)

,

(

2

2

y

x

y

x

f

+

=

h)

(

)

y

y

x

e

z

x

3

5

4

3

3

4

1

4

+

+

=

+

Zad.2. Wyznaczyć granice funkcji:

a)

y

x

y

x

y

x

+

−

→

4

4

)

0

,

0

(

)

,

(

lim

b)

y

x

y

x

y

x

+

−

−

→

2

2

)

1

,

1

(

)

,

(

lim

c)

y

xy

y

x

)

(

tg

lim

0

3

→

→

d)

2

2

2

2

)

2

,

0

(

)

,

(

)

2

(

1

1

)

2

(

lim

−

+

−

+

−

+

→

y

x

y

x

y

x

e)

2

2

0

0

1

lim

y

x

y

x

+

→

→

f)

2

2

4

3

2

lim

y

x

yx

y

x

+

−

→

→

Zad.3. Dane są funkcje dwóch zmiennych. Znaleźć pochodne cząstkowe I – go rzędu:

a)

2

2

y

x

x

z

+

=

b)

)

ln(

)

,

(

2

2

y

x

x

y

x

f

+

+

=

c)

)

sin

2

2

(cos

2

y

x

xy

z

+

=

d)

y

x

y

x

g

sin

)

,

(

=

e)

1

)

,

(

+













=

y

y

x

y

x

w

f)

2

2

2

2

arcsin

y

x

y

x

z

+

−

=

Zad.4. Obliczyć wartość pochodnych cząstkowych rzędu drugiego funkcji

)

,

(

y

x

f

z =

w punkcie

)

,

(

0

0

0

y

x

P

:

a)













π

=

2

,

0

,

3

sin

e

2

P

y

z

x

b)

)

2

,

3

(

,

)

,

(

2

2

4

−

−

=

P

y

x

x

y

x

f

c)

)

2

,

1

(

,

ln

2

2

P

y

x

z

+

=

d)

)

3

,

2

(

,

1

arctg

)

,

(

P

xy

y

x

y

x

f

−

+

=

Zad.5. Wyznaczyć różniczkę funkcji

)

,

(

y

x

f

z =

w punkcie

)

,

(

y

x

P

dla dowolnych przyrostów

y

x ∆

∆ ,

:

a)

4

2

3

y

x

z =

b)

2

2

1

)

,

(

y

x

y

x

f

+

=

c)

)

3

,

2

(

,

5

2

2

−

+

−

=

P

y

xy

x

z

d)

)

1

,

2

(

,

)

,

(

P

y

x

x

y

x

f

−

=

2

Zad.6. Obliczyć przybliżone wartości:

a)

(

)

96

,

3

08

,

1

b)

(

)

1

97

,

0

02

,

1

ln

3

+

−

c)

(

) (

)

4

3

99

,

0

02

,

1

⋅

c)













− 1

02

,

1

97

,

1

arctg

Zad.7. Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji:

a)

)

2

(

e

)

,

(

2

2

2

x

y

y

x

f

x

−

=

b)

4

3

2

3

11

15

3

3

+

−

−

+

=

x

y

y

x

x

z

c)

y

x

y

x

y

x

g

+

+

=

1

)

,

(

d)

x

y

x

y

x

y

x

h

6

)

,

(

2

+

−

−

=

e)

y

x

y

xy

x

z

ln

10

ln

4

2

2

−

−

+

+

=

f)

y

y

x

y

x

f

e

)

(

)

,

(

2

+

=

g)

2

2

6

3

)

,

(

y

xy

x

y

x

y

x

f

−

−

−

+

=

h)

y

x

xy

z

1

1

4

+

+

=

i)*

5

2

3

5

4

3

)

,

(

y

x

y

x

y

x

g

+

−

+

=

j)

)

2

(

e

)

,

(

2

2

y

x

y

x

f

y

x

−

=

−

k)

x

y

y

x

y

x

h

arctg

)

,

(

+

−

=

l)

20

6

9

2

2

+

−

+

+

−

=

y

x

y

xy

x

z

m)

(

)

x

e

y

x

z

⋅

+

=

2

2

n)

y

y

xy

x

y

x

g

ln

54

)

,

(

2

2

−

+

−

=

Zad.8. Zbadać istnienie ekstremum lokalnego funkcji

ax

y

x

y

x

f

3

)

,

(

3

3

−

+

=

w zależności od parametru

R

a ∈

.

Zad.9. Sprawdzić, czy funkcja:

a)

y

a

x

a

y

xy

x

z

3

3

2

2

+

+

+

+

=

ma minimum w punkcie

3

3

a

y

x

=

=

b)

2

2

4

4

2

4

2

)

,

(

y

xy

x

y

x

y

x

f

−

−

−

+

=

ma maksimum w punkcie

(

)

2

,

2 −

Zad.10. Znaleźć punkty, w których spełniony jest warunek konieczny istnienia ekstremum oraz

0

i

0

>

>

y

x

dla funkcji

)

12

(

)

,

(

2

3

y

x

y

x

y

x

f

−

−

=

.