WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY
ELEKTROTECHNIKA
Studia Niestacjonarne
Semestr IV
Lista nr 23
FUNKCJE ZESPOLONE
Zad.1. Jaką linię przedstawia równanie:
a)
2
1
),
1
(
2
≤
≤
+
+
+
=
t
t
j
t
z
b)
∞
<
≤
+
=
t
jt
t
z
0
,
4
2
c)
1
0
,
1
2
≤
≤
−
+
=
t
t
j
t
z
d)
π
≤
≤
π
−
+
=
2
1
2
1
,
sin
sin
t
t
j
t
z
Zad.2. Napisać równanie prostej przechodzącej przez punkty:
a)
j
z
j
z
+
=
+
=
2
,
1
2
1
b)
j
z
j
z
5
1
,
2
1
+
=
=
c)
j
z
j
z
3
4
,
3
4
2
1
−
=
+
=
Zad.3. Napisać równanie stycznej do krzywej
)
(t
z
z =
w punkcie
0
t
:
a)
0
,
cos
)
(
0
=
+
=
t
jt
t
t
z
b)
4
,
tg
)
(
0
2
π
=
+
=
t
t
j
t
t
z
c)
1
,
)
(
0
3
=
+
=
t
je
e
t
z
t
t
Zad.4. Obliczyć podane całki:
a)
∫
π
2
0
dt
e
jt
b)
(
)
∫
π
+
2
0
2
sin
2
cos
dt
t
j
t
c)
∫
+
1
0
10
)
2
(
dt
jt
d)
(
)
∫
−
−
1
1
1
dt
je
t
e)
∫
π
0
2
dt
te
jt
Zad.5.* Obliczyć
∫
π
′
2
0
)
(
dt
t
z
, jeżeli
t
j
t
t
z
3
3
sin
cos
)
(
+
=
. Podać interpretację geometryczną wyniku.
Zad.6. Wyznaczyć część rzeczywistą i część urojoną funkcji
)
(z
f
:
a)
3
)
(
z
z
f
=
b)
1
)
(
2
+
+
=
z
z
z
f
c)
z
e
z
f
1
)
(
=
d)
z
z
f
sin
)
(
=
e)
z
z
f
cos
)
(
=
Uwaga
:
(
)
(
)
jz
jz
jz
jz
e
e
z
e
e
j
z
−
−
+
=
−
=
2
1
cos
,
2
1
sin
Zad.7. Obliczyć
)
(z
f ′
, jeżeli:
a)
z
e
z
f
=
)
(
b)
(
)
z
e
z
z
f
1
)
(
2
−
=
c)
1
)
(
2
2
+
−
=
z
z
z
z
f
Zad.8. Wykazać, że funkcja
(
)
(
)
x
y
j
y
x
x
z
f
−
+
+
−
=
1
2
2
)
(
2
jest holomorficzna na płaszczyźnie zespolonej Z.
Obliczyć
)
(z
f ′
oraz
)
(z
f ′
′
.
Zad.9. Znaleźć funkcję holomorficzną
)
,
(
)
,
(
)
(
y
x
jv
y
x
u
z
f
+
=
, jeśli dana jest:
a)
1
2
3
)
,
(
2
3
+
−
−
=
x
xy
x
y
x
u
b)
2
2
)
,
(
y
x
x
y
x
v
+
=
c)
y
y
e
y
x
u
x
+
=
cos
)
,
(
d)
2
2
2
2
sin
)
,
(
y
x
y
e
y
x
v
x
−
+
=
e)
(
)
2
2
4
)
,
(
y
x
xy
y
x
v
−
=
f)
y
x
y
x
u
cos
sinh
)
,
(
=
Uwaga
: Funkcję
)
(z
f
przedstawić jako funkcję zmiennej z.
Zad.10. Obliczyć:
a)
(
)
j
5
5
ln
+
b)
(
)
j
8
3
8
ln
−
c)
( )
1
ln −
d)
+ j
3
cos
π
e)
j
ctg
f)
j
+
1
1
Ln
