1
WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY
Studia Niestacjonarne
Semestr II
ELEKTROTECHNIKA
LISTA ZADAŃ Nr 8
REGUŁA de L’HOSPITALA, ELEMENTY PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI
Zad.1. Obliczyć poniższe granice funkcji:
a)
n
n
m
m
a
x
a
x
a
x
−
−
→
lim
b)
4
3
lim
x
e
x
x
+∞
→
c)
x
x
x
)
1
ln(
lim
0
+
→
d)
−
−∞
→
x
xe
x
x
1
lim
e)
−
→
2
0
1
sin
1
lim
x
x
x
x
f)
(
)
x
x
x
−
⋅
π
−
→
1
ln
2
cos
lim
1
g)
(
)
2
cos
1
1
lim
x
x
x
π
−
−
→
h)
(
)
x
x
x
tg
2
sin
lim
−
→
π
i)
−
+
−
π
+∞
→
1
1
ln
2
arctg
2
2
lim
x
x
x
x
j)
4
5
9
10
lim
5
10
1
+
−
+
−
→
x
x
x
x
x
k)
3
0
arctg
lim
x
x
x
x
−
→
l)
−
−
→
x
x
x
ctg
1
lim
0
m)
(
)
x
x
x
ln
0
1
lim
+
+
→
n)
bx
ax
x
cos
1
cos
1
lim
0
−
−
→
o)
x
e
e
x
x
x
2
cos
1
2
lim
0
−
+
+
−
→
p)
x
x
x
5
arcsin
2
arctg
lim
0
→
r)
)
5
ln(sin
)
ln(sin
lim
0
x
x
x
+
→
s)
−
−
+
→
1
ln
1
lim
1
x
x
x
x
t)
x
x
x
π
⋅
−
→
tg
)
1
2
sin(
lim
2
1
u)
x
x
e
x ⋅
+
→
2
0
lim
w)
(
)
x
x
x
e
x
ctg
0
lim
+
→
x)
x
x
x
ln
2
1
6
0
lim
+
→
+
y)
(
)
x
x
x
1
ln
lim
+∞
→
z)
(
)
x
x
x
2
tg
4
tg
lim
π
→
a1)
(
)
(
)
−
−
−
→
e
e
x
x
x
ln
1
ln
cos
lim
1
b1)
x
x
x
x
π
π
+
−
−
→
ctg
2
1
tg
)
1
ln(
lim
1
c1)
x
x
x
+∞
→
1
cos
lim
d1)
−
→
x
x
x
1
sin
1
lim
1
e1)
x
x
x
π
+∞
→
arctg
2
lim
f1)
(
)
(
)
1
ln
1
lim
2
1
+
⋅
+
+
−
→
x
x
x
g1)
a
x
a
x
a
x
2
tg
2
lim
π
→
−
h1)
(
)
5
1
5
6
lim
−
→
−
x
x
x
i1)
−
−
→
x
x
x
ln
2
1
1
3
lim
1
j1)
1
sin
1
tg
lim
2
3
4
−
−
π
→
x
x
x
k1)
2
1
0
sin
lim
x
x
x
x
→
m1)
x
e
x
a
x
sin
1
lim
0
−
→
n1)
(
)
x
x
x
ctg
2
0
cos
lim
+
→
o1)
(
)
x
x
x
ln
arctg
2
lim
⋅
−
π
+∞
→
p1)
−
π
−
π
→
x
x
x
1
sin
1
lim
r1)
)
1
ln(
1
0
lim
−
→
x
e
x
x
Zad.3. Niech
4
)
(
x
x
f
=
,
x
x
g
sin
)
(
=
. Obliczyć
)
(
)
(
lim
0
x
g
x
f
x
′
′
→
.
Zad.4. Niech
1
1
)
(
+
−
=
x
x
x
f
. Obliczyć
(
)
)
(
2
lim
2
x
f
x
x
′
⋅
−
+∞
→
.
Zad.5. Dana jest funkcja
x
x
x
x
g
cos
3
2
2
sin
)
(
+
−
=
.
Czy prawdą jest, że:
a)
)
(
lim
0
x
g
x→
nie istnieje;
b)
16
)
(
lim
0
=
→
x
g
x
;
c)
∞
=
→
)
(
lim
0
x
g
x
.
Zad.6. Dla jakiej wartości parametru
0
>
m
, granica
(
)
x
x
mx
1
0
1
lim
+
→
jest równa 3?
2
Zad.7. Wyznaczyć wszystkie asymptoty wykresu funkcji:
a)
1
)
(
2
−
=
x
x
e
e
x
g
b)
2
1
1
)
(
x
x
g
−
=
c)
1
)
(
2
+
=
x
xe
x
h
d)
+
=
x
e
x
y
1
ln
e)
x
x
x
h
)
5
ln(
)
(
+
=
f)
x
x
x
x
e
e
e
e
x
y
−
−
+
−
=
g)
2
arctg
2
)
(
x
x
x
g
+
=
h)
2
1
)
(
x
xe
x
h
=
i)
(
)
2
4
ln
)
(
x
x
x
k
−
=
j)
x
e
x
x
x
f
1
1
)
(
−
⋅
−
=
k)
)
3
ln(
4
2
)
(
2
−
−
=
x
x
x
h
l)
3
2
3
6
)
(
x
x
x
g
−
=
m)
x
x
x
y
ln
+
=
n)
x
x
x
f
sin
)
(
=
o)
2
1
arctg
)
(
x
x
x
f
⋅
=
p)
x
x
y
arcctg
⋅
=
Zad.8. Niech
( )
( )
6
2
2
log
2
log
)
(
x
x
x
f
−
=
.
Czy: a) funkcja
)
(x
f
posiada asymptotę pionową;
b)
−∞
=
−
→
)
(
lim
0
x
f
x
;
c)
+∞
=
+
→
)
(
lim
0
x
f
x
.
Zad.9. Wyznaczyć (o ile istnieją) asymptoty pionowe i poziome funkcji:
−
⋅
=
x
e
x
x
g
3
1
ln
2
3
)
(
.
Zad.10. Sprawdzić, czy wykres funkcji
x
x
x
f
=
)
(
posiada asymptoty.
Zad.11. Wykazać, że:
a)
funkcja
1
12
3
2
)
(
2
3
+
−
+
=
x
x
x
x
f
jest malejąca w przedziale
(
)
1
,
2
−
;
b)
funkcja
2
2
)
(
t
t
t
g
−
=
jest rosnąca w
( )
1
,
0
, malejąca w
( )
2
,
1
;
c)
funkcja
(
)
1
1
2
arcsin
arctg
2
)
(
2
≥
+
−
=
x
x
x
x
x
h
jest stała;
d)
funkcja
x
x
f
x
−
=
−
3
2
)
(
jest malejąca w
(
)
+∞
∞
− ,
.
Zad.12. Wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji:
a)
5
2
2
4
−
−
=
x
x
y
b)
1
1
)
(
−
=
x
e
x
g
c)
(
)
2
1
ln
)
(
x
x
x
g
+
+
=
d)
t
t
t
h
ln
)
(
=
e)
)
1
ln(
x
x
y
+
−
=
f)
(
)
a
e
a
a
t
⋅
−
=
1
)
(
2
g)
π
∈
+
=
2
,
0
,
2
cos
sin
2
)
(
x
x
x
x
h
h)
2
1
arcsin
)
(
x
x
x
g
−
+
=
i)
3
)
(
x
e
x
f
=
j)
(
)
2
1
ln
)
(
x
x
k
−
=
k)
(
)
x
e
x
y
⋅
+
=
1
2
l)
x
e
x
x
f
−
=
2
)
(
m)
x
x
x
f
−
= arctg
)
(
n)
2
3
4
3
4
)
(
x
x
x
x
g
−
−
=
o)
2
1
)
(
−
⋅
=
x
e
x
x
f
Zad.13. Wyznaczyć (o ile istnieją) ekstrema lokalne funkcji:
a)
x
x
f
x
2
)
(
=
b)
4
)
(
2
+
=
t
t
t
h
c)
3
)
(
2
−
=
x
e
x
g
x
d)
)
1
2
(
)
(
2
+
+
=
x
x
e
x
g
x
e)
x
x
y
ln
2
=
f)
(
)
2
1
ln
)
(
x
x
x
k
+
−
=
g)
2
2
x
e
x
y
−
=
h)
x
x
x
f
1
)
(
=
i)
(
)
z
e
z
z
p
5
)
(
−
=
j)
1
2
)
(
2
2
3
+
−
=
x
x
x
x
h
k)
x
x
x
f
ln
)
(
=
l)
3
)
(
x
x
f
=
m)
x
x
x
f
sin
3
)
(
+
=
n)
x
x
x
f
tg
3
)
(
+
=
o)
2
2
2
+
−
=
x
x
y
r)
x
x
g
ln
1
)
(
=
s)
3
4
5
10
15
6
)
(
x
x
x
x
g
+
−
=
t)
x
e
x
x
h
1
)
(
⋅
=
3
Zad.14. Dane są funkcje
2
1
)
(
,
1
2
)
(
x
x
g
x
x
f
=
−
=
. Sprawdzić, czy:
a) funkcja
[
]
)
(x
f
g
jest funkcją malejącą na całej dziedzinie;
b)
funkcja
)
(
)
(
x
g
x
f
⋅
ma ekstremum w punkcie
3
2
=
x
.
Zad.15. Wyznaczyć parametr p tak, aby funkcja
2
5
)
(
3
−
+
−
=
x
px
x
x
f
osiągała minimum w punkcie
5
=
x
.
Zad.16. Dla jakiej wartości parametru A funkcja
x
x
A
y
3
sin
3
1
sin +
=
ma ekstremum w punkcie
3
π
=
x
.
Ustalić, czy jest to minimum czy maksimum.
Zad.17. Wyznaczyć przedziały wypukłości, wklęsłości oraz (o ile istnieją) punkty przegięcia:
a)
1
6
6
2
4
+
−
−
=
x
x
x
y
b)
)
1
ln(
)
(
−
=
x
x
x
f
c)
t
t
t
g
arctg
)
(
⋅
=
d)
(
)
7
ln
12
4
−
=
x
x
y
e)
8
ln
8
)
(
x
x
x
h
=
f)
x
e
x
x
f
−
⋅
=
3
)
(
g)
3
1
)
(
−
⋅
=
x
x
x
g
h)
(
)
3
2
1
−
=
x
x
y
i)
2
1
)
(
x
e
x
h
−
=
j)
2
)
(
x
e
e
x
f
x
x
−
+
=
−
k)
(
)
x
x
x
g
ln
2
ln
)
(
2
−
=
l)
x
x
y
ln
−
=
Zad.18. Dla jakich wartości parametru m wykres funkcji
1
2
3
4
+
−
+
+
=
x
x
mx
x
y
nie ma punktów
przegięcia?
Zad.19. Wyznaczyć przedział, na którym funkcja
2
)
(
x
e
x
x
f
⋅
=
jest jednocześnie malejąca i wklęsła.
Zad.20. Wyznaczyć przedział, na którym funkcja
x
x
x
g
1
)
(
+
=
jest jednocześnie rosnąca i wypukła.
Zad.21.* Pokazać, że funkcja
+
+
−
+
=
2
2
1
1
1
ln
1
)
(
x
x
x
x
f
jest rosnąca i wklęsła na przedziale
(
)
∞
+
,
0
Zad.22.* Wyznaczyć takie wartości A i B, przy których punkt
2
5
,
2
P
będzie punktem przegięcia krzywej
0
2
=
+
+
By
Ax
y
x
. Czy ta krzywa posiada jeszcze inne punkty przegięcia?
Zad.23. Dla jakich wartości parametrów p i q punkt (1,3) jest punktem przegięcia wykresu funkcji
2
3
)
(
qx
px
x
f
+
=
?
Zad.24. Wymienić własności funkcji, o której wiemy, że:
0
)
(
<
′ x
f
dla
(
)
6
,
6
−
∈
x
,
0
)
0
(
=
′′
f
,
0
)
(
<
′′ x
f
dla
(
)
0
,
6
−
∈
x
oraz
0
)
(
>
′′ x
f
dla
(
)
6
,
0
∈
x
. Narysować jak może przebiegać wykres tej funkcji na
przedziale
(
)
6
,
6
−
.
Zad.25. Zbadać przebieg zmienności funkcji:
a)
2
3
)
1
(
)
(
−
=
x
x
x
f
b)
x
x
x
g
ln
)
(
=
c)
2
1
1
1
)
(
x
x
h
+
⋅
π
=
d)
x
x
y
arctg
2
−
=
e)
)
1
ln(
)
(
x
x
x
f
+
−
=
f)
x
x
x
k
)
3
(
)
(
−
=
g)
a
a
a
p
ln
)
(
=
h)
t
e
t
t
t
f
1
1
)
(
−
−
=
i)
2
x
e
y
−
=
j)
x
e
x
x
f
−
=
4
)
(
k)
π
π
2
,
2
,
sin
1
−
∈
=
x
x
y
m)
2
8
x
x
y
−
=
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Microsoft Word W8 Regula dH Elementy przebiegu
Microsoft Word, NOWY Regulamin praktyk wakacyjnych 18 09 20
Microsoft Word NOWY Regulamin praktyk wakacyjnych 18 09 20
Microsoft Word W15 funkcje 2 zmiennych i ekstrema
Microsoft Word L15 funkcje 2 zmiennych i ekstrema
Microsoft Word REGULAMIN Katedra Podstaw Elektroniki2005
Microsoft Word L16 pochodne f zlozonej 2 zmiennych
Microsoft Word W14 Szeregi Fouriera
New Microsoft Word Document (2)
Nowy Dokument programu Microsoft Word (5)
Nowy Dokument programu Microsoft Word
Nowy Dokument programu Microsoft Word
Microsoft Word zrodla infor I czesc pprawiona 2 do wydr
Microsoft Word PARAMETRY KOMPUTERÓW mój
AMI 21 Przebieg zmiennosci fun Nieznany (2)
Nowy Dokument programu Microsoft Word
więcej podobnych podstron