1
WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY
Studia Niestacjonarne
Semestr II
ELEKTROTECHNIKA
LISTA ZADAŃ Nr 8
REGUŁA de L’HOSPITALA, ELEMENTY PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI
Zad.1. Obliczyć poniższe granice funkcji:
a)
n
n
m
m
a
x
a
x
a
x
−
−
→
lim
b)
4
3
lim
x
e
x
x
+∞
→
c)
x
x
x
)
1
ln(
lim
0
+
→
d)
−
−∞
→
x
xe
x
x
1
lim
e)
−
→
2
0
1
sin
1
lim
x
x
x
x
f)
(
)
x
x
x
−
⋅
π
−
→
1
ln
2
cos
lim
1
g)
(
)
2
cos
1
1
lim
x
x
x
π
−
−
→
h)
(
)
x
x
x
tg
2
sin
lim
−
→
π
i)
−
+
−
π
+∞
→
1
1
ln
2
arctg
2
2
lim
x
x
x
x
j)
4
5
9
10
lim
5
10
1
+
−
+
−
→
x
x
x
x
x
k)
3
0
arctg
lim
x
x
x
x
−
→
l)
−
−
→
x
x
x
ctg
1
lim
0
m)
(
)
x
x
x
ln
0
1
lim
+
+
→
n)
bx
ax
x
cos
1
cos
1
lim
0
−
−
→
o)
x
e
e
x
x
x
2
cos
1
2
lim
0
−
+
+
−
→
p)
x
x
x
5
arcsin
2
arctg
lim
0
→
r)
)
5
ln(sin
)
ln(sin
lim
0
x
x
x
+
→
s)
−
−
+
→
1
ln
1
lim
1
x
x
x
x
t)
x
x
x
π
⋅
−
→
tg
)
1
2
sin(
lim
2
1
u)
x
x
e
x ⋅
+
→
2
0
lim
w)
(
)
x
x
x
e
x
ctg
0
lim
+
→
x)
x
x
x
ln
2
1
6
0
lim
+
→
+
y)
(
)
x
x
x
1
ln
lim
+∞
→
z)
(
)
x
x
x
2
tg
4
tg
lim
π
→
a1)
(
)
(
)
−
−
−
→
e
e
x
x
x
ln
1
ln
cos
lim
1
b1)
x
x
x
x
π
π
+
−
−
→
ctg
2
1
tg
)
1
ln(
lim
1
c1)
x
x
x
+∞
→
1
cos
lim
d1)
−
→
x
x
x
1
sin
1
lim
1
e1)
x
x
x
π
+∞
→
arctg
2
lim
f1)
(
)
(
)
1
ln
1
lim
2
1
+
⋅
+
+
−
→
x
x
x
g1)
a
x
a
x
a
x
2
tg
2
lim
π
→
−
h1)
(
)
5
1
5
6
lim
−
→
−
x
x
x
i1)
−
−
→
x
x
x
ln
2
1
1
3
lim
1
j1)
1
sin
1
tg
lim
2
3
4
−
−
π
→
x
x
x
k1)
2
1
0
sin
lim
x
x
x
x
→
m1)
x
e
x
a
x
sin
1
lim
0
−
→
n1)
(
)
x
x
x
ctg
2
0
cos
lim
+
→
o1)
(
)
x
x
x
ln
arctg
2
lim
⋅
−
π
+∞
→
p1)
−
π
−
π
→
x
x
x
1
sin
1
lim
r1)
)
1
ln(
1
0
lim
−
→
x
e
x
x
Zad.3. Niech
4
)
(
x
x
f
=
,
x
x
g
sin
)
(
=
. Obliczyć
)
(
)
(
lim
0
x
g
x
f
x
′
′
→
.
Zad.4. Niech
1
1
)
(
+
−
=
x
x
x
f
. Obliczyć
(
)
)
(
2
lim
2
x
f
x
x
′
⋅
−
+∞
→
.
Zad.5. Dana jest funkcja
x
x
x
x
g
cos
3
2
2
sin
)
(
+
−
=
.
Czy prawdą jest, że:
a)
)
(
lim
0
x
g
x→
nie istnieje;
b)
16
)
(
lim
0
=
→
x
g
x
;
c)
∞
=
→
)
(
lim
0
x
g
x
.
Zad.6. Dla jakiej wartości parametru
0
>
m
, granica
(
)
x
x
mx
1
0
1
lim
+
→
jest równa 3?
2
Zad.7. Wyznaczyć wszystkie asymptoty wykresu funkcji:
a)
1
)
(
2
−
=
x
x
e
e
x
g
b)
2
1
1
)
(
x
x
g
−
=
c)
1
)
(
2
+
=
x
xe
x
h
d)
+
=
x
e
x
y
1
ln
e)
x
x
x
h
)
5
ln(
)
(
+
=
f)
x
x
x
x
e
e
e
e
x
y
−
−
+
−
=
g)
2
arctg
2
)
(
x
x
x
g
+
=
h)
2
1
)
(
x
xe
x
h
=
i)
(
)
2
4
ln
)
(
x
x
x
k
−
=
j)
x
e
x
x
x
f
1
1
)
(
−
⋅
−
=
k)
)
3
ln(
4
2
)
(
2
−
−
=
x
x
x
h
l)
3
2
3
6
)
(
x
x
x
g
−
=
m)
x
x
x
y
ln
+
=
n)
x
x
x
f
sin
)
(
=
o)
2
1
arctg
)
(
x
x
x
f
⋅
=
p)
x
x
y
arcctg
⋅
=
Zad.8. Niech
( )
( )
6
2
2
log
2
log
)
(
x
x
x
f
−
=
.
Czy: a) funkcja
)
(x
f
posiada asymptotę pionową;
b)
−∞
=
−
→
)
(
lim
0
x
f
x
;
c)
+∞
=
+
→
)
(
lim
0
x
f
x
.
Zad.9. Wyznaczyć (o ile istnieją) asymptoty pionowe i poziome funkcji:
−
⋅
=
x
e
x
x
g
3
1
ln
2
3
)
(
.
Zad.10. Sprawdzić, czy wykres funkcji
x
x
x
f
=
)
(
posiada asymptoty.
Zad.11. Wykazać, że:
a)
funkcja
1
12
3
2
)
(
2
3
+
−
+
=
x
x
x
x
f
jest malejąca w przedziale
(
)
1
,
2
−
;
b)
funkcja
2
2
)
(
t
t
t
g
−
=
jest rosnąca w
( )
1
,
0
, malejąca w
( )
2
,
1
;
c)
funkcja
(
)
1
1
2
arcsin
arctg
2
)
(
2
≥
+
−
=
x
x
x
x
x
h
jest stała;
d)
funkcja
x
x
f
x
−
=
−
3
2
)
(
jest malejąca w
(
)
+∞
∞
− ,
.
Zad.12. Wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji:
a)
5
2
2
4
−
−
=
x
x
y
b)
1
1
)
(
−
=
x
e
x
g
c)
(
)
2
1
ln
)
(
x
x
x
g
+
+
=
d)
t
t
t
h
ln
)
(
=
e)
)
1
ln(
x
x
y
+
−
=
f)
(
)
a
e
a
a
t
⋅
−
=
1
)
(
2
g)
π
∈
+
=
2
,
0
,
2
cos
sin
2
)
(
x
x
x
x
h
h)
2
1
arcsin
)
(
x
x
x
g
−
+
=
i)
3
)
(
x
e
x
f
=
j)
(
)
2
1
ln
)
(
x
x
k
−
=
k)
(
)
x
e
x
y
⋅
+
=
1
2
l)
x
e
x
x
f
−
=
2
)
(
m)
x
x
x
f
−
= arctg
)
(
n)
2
3
4
3
4
)
(
x
x
x
x
g
−
−
=
o)
2
1
)
(
−
⋅
=
x
e
x
x
f
Zad.13. Wyznaczyć (o ile istnieją) ekstrema lokalne funkcji:
a)
x
x
f
x
2
)
(
=
b)
4
)
(
2
+
=
t
t
t
h
c)
3
)
(
2
−
=
x
e
x
g
x
d)
)
1
2
(
)
(
2
+
+
=
x
x
e
x
g
x
e)
x
x
y
ln
2
=
f)
(
)
2
1
ln
)
(
x
x
x
k
+
−
=
g)
2
2
x
e
x
y
−
=
h)
x
x
x
f
1
)
(
=
i)
(
)
z
e
z
z
p
5
)
(
−
=
j)
1
2
)
(
2
2
3
+
−
=
x
x
x
x
h
k)
x
x
x
f
ln
)
(
=
l)
3
)
(
x
x
f
=
m)
x
x
x
f
sin
3
)
(
+
=
n)
x
x
x
f
tg
3
)
(
+
=
o)
2
2
2
+
−
=
x
x
y
r)
x
x
g
ln
1
)
(
=
s)
3
4
5
10
15
6
)
(
x
x
x
x
g
+
−
=
t)
x
e
x
x
h
1
)
(
⋅
=
3
Zad.14. Dane są funkcje
2
1
)
(
,
1
2
)
(
x
x
g
x
x
f
=
−
=
. Sprawdzić, czy:
a) funkcja
[
]
)
(x
f
g
jest funkcją malejącą na całej dziedzinie;
b)
funkcja
)
(
)
(
x
g
x
f
⋅
ma ekstremum w punkcie
3
2
=
x
.
Zad.15. Wyznaczyć parametr p tak, aby funkcja
2
5
)
(
3
−
+
−
=
x
px
x
x
f
osiągała minimum w punkcie
5
=
x
.
Zad.16. Dla jakiej wartości parametru A funkcja
x
x
A
y
3
sin
3
1
sin +
=
ma ekstremum w punkcie
3
π
=
x
.
Ustalić, czy jest to minimum czy maksimum.
Zad.17. Wyznaczyć przedziały wypukłości, wklęsłości oraz (o ile istnieją) punkty przegięcia:
a)
1
6
6
2
4
+
−
−
=
x
x
x
y
b)
)
1
ln(
)
(
−
=
x
x
x
f
c)
t
t
t
g
arctg
)
(
⋅
=
d)
(
)
7
ln
12
4
−
=
x
x
y
e)
8
ln
8
)
(
x
x
x
h
=
f)
x
e
x
x
f
−
⋅
=
3
)
(
g)
3
1
)
(
−
⋅
=
x
x
x
g
h)
(
)
3
2
1
−
=
x
x
y
i)
2
1
)
(
x
e
x
h
−
=
j)
2
)
(
x
e
e
x
f
x
x
−
+
=
−
k)
(
)
x
x
x
g
ln
2
ln
)
(
2
−
=
l)
x
x
y
ln
−
=
Zad.18. Dla jakich wartości parametru m wykres funkcji
1
2
3
4
+
−
+
+
=
x
x
mx
x
y
nie ma punktów
przegięcia?
Zad.19. Wyznaczyć przedział, na którym funkcja
2
)
(
x
e
x
x
f
⋅
=
jest jednocześnie malejąca i wklęsła.
Zad.20. Wyznaczyć przedział, na którym funkcja
x
x
x
g
1
)
(
+
=
jest jednocześnie rosnąca i wypukła.
Zad.21.* Pokazać, że funkcja
+
+
−
+
=
2
2
1
1
1
ln
1
)
(
x
x
x
x
f
jest rosnąca i wklęsła na przedziale
(
)
∞
+
,
0
Zad.22.* Wyznaczyć takie wartości A i B, przy których punkt
2
5
,
2
P
będzie punktem przegięcia krzywej
0
2
=
+
+
By
Ax
y
x
. Czy ta krzywa posiada jeszcze inne punkty przegięcia?
Zad.23. Dla jakich wartości parametrów p i q punkt (1,3) jest punktem przegięcia wykresu funkcji
2
3
)
(
qx
px
x
f
+
=
?
Zad.24. Wymienić własności funkcji, o której wiemy, że:
0
)
(
<
′ x
f
dla
(
)
6
,
6
−
∈
x
,
0
)
0
(
=
′′
f
,
0
)
(
<
′′ x
f
dla
(
)
0
,
6
−
∈
x
oraz
0
)
(
>
′′ x
f
dla
(
)
6
,
0
∈
x
. Narysować jak może przebiegać wykres tej funkcji na
przedziale
(
)
6
,
6
−
.
Zad.25. Zbadać przebieg zmienności funkcji:
a)
2
3
)
1
(
)
(
−
=
x
x
x
f
b)
x
x
x
g
ln
)
(
=
c)
2
1
1
1
)
(
x
x
h
+
⋅
π
=
d)
x
x
y
arctg
2
−
=
e)
)
1
ln(
)
(
x
x
x
f
+
−
=
f)
x
x
x
k
)
3
(
)
(
−
=
g)
a
a
a
p
ln
)
(
=
h)
t
e
t
t
t
f
1
1
)
(
−
−
=
i)
2
x
e
y
−
=
j)
x
e
x
x
f
−
=
4
)
(
k)
π
π
2
,
2
,
sin
1
−
∈
=
x
x
y
m)
2
8
x
x
y
−
=