113
WYKŁAD Nr 8
REGUŁA de L’HOSPITALA
ELEMENTY BADANIA PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI
REGUŁA de L’HOSPITALA
Omówione poniżej twierdzenie nosi nazwę reguły de L’ Hospitala. Wykorzystujemy je bezpośrednio do
obliczania granic funkcji prowadzących do symboli nieoznaczonych typu
∞
∞
,
0
0
. W przypadku granic
funkcji prowadzących do pozostałych symboli nieoznaczonych:
[
] [
]
[ ] [ ] [ ]
0
0
0
,
,
1
,
0
,
∞
∞
⋅
∞
−
∞
∞
należy
uprzednio poprzez odpowiednie przekształcenia sprowadzić je do symboli
∞
∞
,
0
0
, a następnie
zastosować regułę de L’Hospitala.
Tw.8.1. (reguła de L’Hospitala)
Jeżeli :
1.
funkcje
)
(
)
(
,
)
(
)
(
x
g
x
f
x
g
x
f
′
′
będą określone w pewnym sąsiedztwie punktu
0
x
(tj.
( )
0
x
S
x ∈
);
2.
a)
0
)
(
lim
)
(
lim
0
0
=
=
→
→
x
g
x
f
x
x
x
x
lub
b)
(
)
∞
±
∞
=
=
→
→
)
(
lim
)
(
lim
0
0
x
g
x
f
x
x
x
x
;
3.
istnieje granica (właściwa lub niewłaściwa) ilorazu pochodnych:
)
(
)
(
lim
0
x
g
x
f
x
x
′
′
→
to istnieje również granica:
)
(
)
(
lim
0
x
g
x
f
x
x→
,
przy czym
)
(
)
(
lim
)
(
)
(
lim
0
0
x
g
x
f
x
g
x
f
x
x
x
x
′
′
=
→
→
.
Uwaga: Powyższe twierdzenie jest również prawdziwe dla granic jednostronnych oraz dla granic w ∞
±
.
Przykłady: Obliczyć następujące granice funkcji:
a)
1
1
lim
2
3
1
−
−
→
x
x
x
b)
x
x
x
ln
lim
+∞
→
c)
x
x
x
sin
lim
0
→
d)
+
−
+∞
→
x
x
x
1
1
ln
arctg
2
lim
π
e)
x
e
x
x
ctg
lim
1
0
−
→
−
f)
2
ctg
)
1
ln(
lim
1
x
x
x
π
−
+
→
Rozwiązanie:
a)
(
)
(
)
2
3
1
2
1
3
2
3
lim
1
1
lim
0
0
1
1
1
1
1
1
lim
2
2
1
2
3
1
2
3
2
3
1
−
=
⋅
⋅
−
=
−
=
′
−
′
−
=
=
−
−
=
−
−
→
→
→
x
x
x
x
x
x
x
x
H
x
114
b)
(
)
(
)
( )
0
2
2
lim
2
lim
2
lim
2
1
1
lim
ln
lim
ln
ln
lim
=
∞
+
=
=
⋅
=
=
=
′
′
=
∞
+
∞
+
=
∞
+
∞
+
=
+∞
→
+∞
→
+∞
→
+∞
→
+∞
→
+∞
→
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
H
x
c)
(
)
( )
1
1
1
1
0
cos
1
cos
lim
sin
lim
0
0
0
0
sin
sin
lim
0
0
0
=
=
=
=
′
′
=
=
=
→
→
→
x
x
x
x
x
x
x
H
x
d)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( )
2
1
2
2
2
lim
2
2
1
2
lim
2
2
1
2
lim
2
1
lim
2
1
lim
2
1
2
lim
1
1
2
lim
1
1
1
1
1
2
lim
1
1
ln
arctg
2
lim
0
0
0
1
ln
2
2
1
1
ln
arctg
2
1
1
ln
arctg
2
lim
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
=
⋅
=
=
′
′
+
=
∞
+
∞
+
=
=
+
=
′
+
′
+
=
∞
+
∞
+
=
+
+
=
+
−
+
−
=
+
−
+
−
=
=
−
⋅
+
+
−
=
′
+
′
−
=
=
+
⋅
−
=
∞
+
+
∞
+
−
=
+
−
+∞
→
+∞
→
+∞
→
+∞
→
+∞
→
+∞
→
+∞
→
+∞
→
+∞
→
+∞
→
x
x
H
x
x
H
x
x
x
x
x
H
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
π
π
π
π
π
e)
(
)
(
)
[
]
−∞
=
∞
+
⋅
−
=
=
=
=
⋅
−
=
=
⋅
−
=
⋅
−
=
−
⋅
=
′
′
=
∞
−
∞
+
=
−
−
−
−
−
−
−
→
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
1
}
1
sin
lim
również
zatem
,
1
sin
lim
ż
e
wiemy,
{
sin
lim
sin
lim
sin
lim
sin
1
1
lim
ctg
lim
ctg
lim
2
0
0
1
2
0
1
2
2
0
2
1
2
0
2
1
2
0
1
0
1
0
x
x
x
x
e
x
x
e
x
x
x
e
x
x
e
x
x
e
x
e
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
H
x
x
f)
(
)
(
) (
)
[
]
+∞
=
∞
−
⋅
∞
−
=
∞
−
⋅
=
=
∞
−
=
=
−
−
−
+
+
→
+
0
1
ny}
nieoznaczo
symbol
jest
nie
to
{
0
2
ctg
0
ln
2
ctg
)
1
ln(
lim
1
π
π
x
x
x
Uwaga: Nie każdą granicę funkcji możemy obliczyć korzystając z reguły de L’Hospitala !
Przykład: Obliczyć granicę:
x
x
x
x
x
sin
sin
lim
−
+
+∞
→
. Czy można tutaj zastosować regułę de L’Hospitala?
Rozwiązanie:
Sprawdzamy symbol:
∞
+
∞
+
=
−
∈
∀
−
∈
−
∞
+
+
∞
+
=
−
+
+∞
→
1
,
1
sin
ponieważ
,
1
,
1
gdzie
,
sin
sin
lim
x
x
k
k
k
x
x
x
x
x
.
Obliczamy
(
)
(
)
−
∈
∀
−
∈
−
+
=
−
+
=
′
−
′
+
+∞
→
+∞
→
1
,
1
cos
ponieważ
,
1
,
1
gdzie
,
1
1
cos
1
cos
1
lim
sin
sin
lim
x
x
k
k
k
x
x
x
x
x
x
x
x
115
Powyższa granica nie istnieje, co można wykazać korzystając z definicji granicy funkcji według Heinego
(patrz Wykład Nr 7), dobierając dwa różne ciągi spełniające założenia, dla których otrzymamy dwie
różne granice funkcji.
Zatem nie jest spełnione założenie reguły o istnieniu granicy ilorazu pochodnych, więc w tym przypadku
nie możemy zastosować reguły de L’Hospitala.
Wiedząc, że
{
sin
1
lim
sin
lim
=
⋅
=
+∞
→
+∞
→
x
x
x
x
x
x
funkcja sinus jest funkcją ograniczoną, natomiast
0
1
→
x
przy
∞
→
x
}, zatem mamy:
0
sin
1
lim
sin
lim
=
⋅
=
+∞
→
+∞
→
x
x
x
x
x
x
.
Obliczamy podaną granicę funkcji bez korzystania z reguły de L’Hospitala:
1
0
1
0
1
sin
1
sin
1
lim
sin
1
sin
1
lim
sin
sin
lim
=
−
+
=
−
+
=
−
+
=
−
+
+∞
→
+∞
→
+∞
→
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
GRANICE FUNKCJI PROWADZĄCE DO SYMBOLI NIEOZNACZONYCH INNYCH TYPÓW
A) Symbol
[
]
∞
⋅
0
Symbol ten sprowadzamy do symbolu
∞
∞
lub
0
0
stosując tożsamość:
)
(
1
)
(
)
(
)
(
x
g
x
f
x
g
x
f
=
⋅
lub
)
(
1
)
(
)
(
)
(
x
f
x
g
x
g
x
f
=
⋅
Przykład: Obliczyć:
(
) (
)
x
x
x
−
−
−
→
1
ln
1
lim
1
.
Rozwiązanie:
(
) (
)
{
}
(
)
[
]
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
0
1
lim
1
1
lim
)
1
(
1
1
)
1
(
1
1
lim
1
1
1
ln
lim
1
1
1
ln
lim
0
0
ln
0
1
ln
1
lim
1
2
1
2
1
1
1
1
=
−
−
=
−
−
−
=
=
−
⋅
−
−
−
⋅
−
=
′
−
′
−
=
∞
+
∞
−
=
−
−
=
∞
−
⋅
=
⋅
=
−
−
−
−
−
−
−
−
→
→
→
→
→
+
+
→
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
H
x
x
B) Symbol
[
]
∞
−
∞
Stosując tożsamość
)
(
)
(
1
)
(
1
)
(
1
)
(
1
1
)
(
1
1
)
(
)
(
x
g
x
f
x
f
x
g
x
g
x
f
x
g
x
f
−
=
−
=
−
sprowadzamy do symbolu
0
0
.
Uwaga: Jeżeli funkcje są w postaci ilorazów, sprowadzamy do wspólnego mianownika tj.
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
x
w
x
g
x
h
x
g
x
f
x
w
x
w
x
h
x
g
x
f
−
=
−
116
Przykład: Obliczyć granicę lewostronną funkcji
1
1
1
−
−
=
x
e
x
y
w punkcie
0
0
=
x
.
Rozwiązanie:
(
)
{
}
[
]
}
mianownika
wspólnego
do
y
sprowadzam
{
1
1
0
1
1
1
1
lim
0
0
=
∞
+
∞
−
=
∞
−
−
∞
−
=
−
−
=
−
−
−
−
−
→
e
e
x
x
x
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
1
2
1
lim
2
lim
lim
1
1
lim
0
0
1
1
lim
1
1
lim
0
0
1
1
0
0
1
1
1
1
lim
0
0
0
0
0
0
0
=
+
=
+
=
+
+
=
=
′
+
−
′
−
=
=
+
−
−
=
′
−
′
−
−
=
=
−
−
−
=
−
−
−
=
−
−
−
−
−
−
−
→
→
→
→
→
→
→
x
x
e
e
xe
e
e
e
xe
e
e
xe
e
e
e
x
x
e
e
x
x
e
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
H
x
x
x
x
x
x
x
H
x
x
x
C) Symbole
[ ] [ ] [ ]
0
0
0
,
,
1
∞
∞
Symbole te możemy otrzymać w przypadku granicy funkcji postaci:
[
]
0
)
(
,
)
(
)
(
>
x
f
x
f
x
g
.
Do każdego z tych trzech symboli stosujemy tożsamość:
[
]
[
]
[
]
)
(
ln
)
(
)
(
ln
)
(
)
(
)
(
x
f
x
g
x
f
x
g
e
e
x
f
x
g
=
=
Następnie obliczając granicę mamy:
[
]
[
]
[
]
α
e
e
e
x
f
x
f
x
g
x
f
x
g
x
x
x
g
x
x
x
x
=
=
=
→
→
→
)
(
ln
)
(
lim
)
(
ln
)
(
)
(
0
0
0
lim
)
(
lim
,
gdzie
[
]
)
(
ln
)
(
lim
0
x
f
x
g
x
x→
=
α
{granica ta prowadzi do symbolu
[
]
∞
⋅
0
; patrz podpunkt A) }
Przykład: Obliczyć granicę funkcji
x
x
x
h
+
=
1
sin
1
)
(
przy
+∞
→
x
.
Rozwiązanie:
(
)
{
}
[ ]
α
e
e
e
e
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
=
=
=
=
=
=
+
=
∞
+
+
=
+
+
+
+∞
→
+
+∞
→
∞
∞
+
∞
+
+∞
→
+∞
→
1
sin
1
ln
lim
1
sin
1
ln
1
sin
1
ln
lim
lim
1
0
sin
1
1
sin
1
1
sin
1
lim
{
}
[
]
1
1
1
0
sin
1
0
cos
1
sin
1
1
cos
lim
1
1
1
cos
1
sin
1
1
lim
1
1
sin
1
ln
lim
0
0
1
1
sin
1
ln
lim
0
1
ln
1
sin
1
ln
lim
2
2
=
=
+
=
+
=
−
−
⋅
⋅
+
=
=
′
′
+
=
=
+
=
⋅
∞
=
⋅
∞
+
=
+
=
+∞
→
+∞
→
+∞
→
+∞
→
+∞
→
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
H
x
x
α
Zatem
1
=
α
.
117
Stąd ostatecznie otrzymujemy:
[ ]
e
e
e
x
x
x
=
=
=
=
+
∞
+∞
→
1
1
1
sin
1
lim
α
Uwaga: Analogicznie postępujemy, gdy otrzymamy symbol
[ ]
0
∞
, czy też
[ ]
0
0 .
ELEMENTY BADANIA PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI
A) ASYMPTOTY FUNKCJI
Def.8.1. (asymptota pionowa)
Prosta
0
x
x =
jest asymptotą pionową lewostronną funkcji f, jeśli
)
(
)
(
lim
0
±∞
∞
=
−
→
x
f
x
x
.
Prosta
0
x
x =
jest asymptotą pionową prawostronną funkcji f, jeśli
)
(
)
(
lim
0
±∞
∞
=
+
→
x
f
x
x
.
W przypadku, gdy prosta
0
x
x =
jest jednocześnie asymptotą pionową lewostronną i prawostronną
funkcji f to mówimy, że jest ona asymptotą pionową obustronną.
Poniższe rysunki przedstawiają przykładowe asymptoty pionowe, przy czym Rys.1a przedstawia
asymptotę pionową lewostronną, Rys.1b – asymptotę pionową prawostronną, natomiast Rys.1c –
asymptotę pionową obustronną.
Rys.1a
Rys.1b
Rys.1c
Def.8.2. (asymptota ukośna)
Prostą o równaniu
b
ax
y
+
=
nazywamy asymptotą ukośną funkcji f w
∞
+
(analogicznie w ∞
−
) jeżeli
[
]
0
)
(
)
(
lim
=
+
−
+∞
→
b
ax
x
f
x
[
]
=
+
−
−∞
→
0
)
(
)
(
lim
b
ax
x
f
x
x
y
0
x
x =
y
x
y
0
x
x =
x
0
x
x =
118
Rys.2a przedstawia przykładową asymptotę ukośną w
∞
+
, Rys.2b – asymptotę ukośną w ∞
−
.
Rys.2a
Rys.2b
Tw.8.2. (warunek istnienia asymptoty ukośnej)
Prostą o równaniu
b
ax
y
+
=
jest asymptotą ukośną funkcji f w
∞
+
(analogicznie w
∞
−
) ⇔
[
]
ax
x
f
b
x
x
f
a
x
x
−
=
=
+∞
→
+∞
→
)
(
lim
,
)
(
lim
[
]
−
=
=
−∞
→
−∞
→
ax
x
f
b
x
x
f
a
x
x
)
(
lim
,
)
(
lim
.
Def.8.3. (asymptota pozioma)
Prostą
b
y =
nazywamy asymptotą poziomą funkcji f w
∞
+
(analogicznie w ∞
−
) jeżeli
b
x
f
x
=
+∞
→
)
(
lim
,
=
−∞
→
b
x
f
x
)
(
lim
.
Prosta
b
y =
przedstawiona na Rys.3 jest przykładową asymptotę poziomą w
∞
+
i w ∞
−
.
Rys.3.
Uwaga: Asymptota pozioma jest szczególnym przypadkiem asymptoty ukośnej (
0
=
a
).
Przykład: Wyznaczyć wszystkie asymptoty wykresu funkcji:
2
3
4
)
(
x
x
x
f
−
=
.
Rozwiązanie:
1) Wyznaczamy dziedzinę funkcji:
0
4
:
2
≠
− x
D
(
)(
)
2
2
0
2
2
−
≠
∧
≠
≠
+
−
x
x
x
x
Stąd
(
) (
) (
)
∞
+
∪
−
∪
−
∞
−
∈
,
2
2
,
2
2
,
x
b
ax
y
+
=
x
y
)
(x
f
y =
b
ax
y
+
=
x
y
)
(x
f
y =
b
y =
x
y
)
(x
f
y =
119
2) Badamy granice na „krańcach” określoności dziedziny:
+∞
=
−
∞
−
=
−
=
−
=
∞
−
∞
−
=
−
=
−∞
→
−∞
→
−∞
→
−∞
→
2
2
3
lim
2
3
lim
4
lim
)
(
lim
2
2
3
x
x
x
x
x
x
f
x
x
H
x
x
Wniosek: brak asymptoty poziomej w ∞
−
, należy zbadać istnienie asymptoty ukośnej w ∞
−
.
−∞
=
−
∞
+
=
−
=
−
=
∞
−
∞
+
=
−
=
+∞
→
+∞
→
+∞
→
+∞
→
2
2
3
lim
2
3
lim
4
lim
)
(
lim
2
2
3
x
x
x
x
x
x
f
x
x
H
x
x
Wniosek: brak asymptoty poziomej w
∞
+
, należy zbadać istnienie asymptoty ukośnej w
∞
+
.
−∞
=
−
=
−
=
+∞
=
−
=
−
=
+
−
→
−
→
−
−
→
−
→
+
+
−
−
0
8
4
lim
)
(
lim
0
8
4
lim
)
(
lim
2
3
2
2
2
3
2
2
x
x
x
f
x
x
x
f
x
x
x
x
2
−
=
x
jest asymptotą pionową obustronną
−∞
=
=
−
=
+∞
=
=
−
=
−
→
→
+
→
→
+
+
−
−
0
8
4
lim
)
(
lim
0
8
4
lim
)
(
lim
2
3
2
2
2
3
2
2
x
x
x
f
x
x
x
f
x
x
x
x
2
=
x
jest asymptotą pionową obustronną
3) Badamy istnienie asymptoty ukośnej:
Niech
b
ax
y
+
=
asymptota ukośna w
∞
+
(
)
1
6
6
lim
3
4
3
lim
4
lim
4
lim
)
(
lim
2
2
3
3
2
3
−
=
−
=
∞
−
∞
+
=
−
=
∞
−
∞
+
=
−
=
∞
−
∞
+
=
−
=
=
+∞
→
+∞
→
+∞
→
+∞
→
+∞
→
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
a
x
H
x
H
x
x
x
czyli
1
−
=
a
.
[
]
0
4
2
4
lim
4
4
lim
4
4
lim
4
lim
)
1
(
4
lim
)
(
lim
2
2
3
3
2
3
2
3
=
∞
−
−
=
−
−
=
∞
−
∞
−
=
=
−
−
=
−
−
−
=
+
−
=
⋅
−
−
−
=
−
=
+∞
→
+∞
→
+∞
→
+∞
→
+∞
→
+∞
→
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
ax
x
f
b
x
H
x
x
x
x
x
czyli
0
=
b
.
Stąd równanie asymptoty ukośnej w
∞
+
:
x
y
−
=
.
Analogicznie badamy istnienie asymptoty ukośnej w ∞
−
.
Niech
b
ax
y
+
=
asymptota ukośna w ∞
−
(
)
1
6
6
lim
3
4
3
lim
4
lim
4
lim
)
(
lim
2
2
3
3
2
3
−
=
−
=
∞
−
∞
+
=
−
=
∞
+
∞
−
=
−
=
∞
+
∞
−
=
−
=
=
−∞
→
−∞
→
−∞
→
−∞
→
−∞
→
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
a
x
H
x
H
x
x
x
czyli
1
−
=
a
[
]
0
4
2
4
lim
4
4
lim
4
4
lim
4
lim
)
1
(
4
lim
)
(
lim
2
2
3
3
2
3
2
3
=
∞
+
−
=
−
−
=
∞
−
∞
+
=
=
−
−
=
−
−
−
=
+
−
=
⋅
−
−
−
=
−
=
−∞
→
−∞
→
−∞
→
−∞
→
−∞
→
−∞
→
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
ax
x
f
b
x
H
x
x
x
x
x
120
czyli
0
=
b
.
Stąd równanie asymptoty ukośnej w ∞
−
:
x
y
−
=
.
Ostatecznie równania asymptot wykresu funkcji
2
3
4
)
(
x
x
x
f
−
=
przedstawiają się następująco:
•
2
−
=
x
asymptota pionowa obustronna
•
2
=
x
asymptota pionowa obustronna
•
x
y
−
=
asymptota ukośna w ∞
±
.
B) MONOTONICZNOŚĆ I EKSTRMA LOKALNE FUNKCJI
Tw.8.3. (warunki wystarczające monotoniczności funkcji)
Niech X oznacza dowolny przedział. Funkcja f jest różniczkowalna na tym przedziale.
Jeżeli dla każdego
X
∈
x
funkcja f spełnia warunek:
1.
0
)
(
=
′ x
f
to funkcja jest stała na X
2.
0
)
(
>
′ x
f
to funkcja jest rosnąca na X
3.
0
)
( ≥
′ x
f
to funkcja jest niemalejąca na X
4.
0
)
( <
′ x
f
to funkcja jest malejąca na X
5.
0
)
( ≤
′ x
f
to funkcja jest nierosnąca na X
Uwaga: Przedziałami monotoniczności funkcji będą te przedziały, w których pierwsza pochodna
)
(x
f ′
zachowuje stały znak.
Przykład: Wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji:
x
x
x
f
sin
2
)
(
−
=
dla
π
∈
2
,
0
x
.
Rozwiązanie:
W naszym przypadku dziedziną tej funkcji jest przedział
π
2
,
0
.
Funkcja
x
x
x
f
sin
2
)
(
−
=
jest funkcją różniczkowalną dla każdego x.
Obliczamy pierwszą pochodną:
x
x
f
cos
2
1
)
(
−
=
′
Wyznaczamy przedziały, w których
)
(x
f ′
ma stały znak:
a)
0
)
(
>
′ x
f
b)
0
)
( <
′ x
f
π
π
∈
π
∈
∧
<
>
−
3
5
,
3
2
,
0
2
1
cos
0
cos
2
1
x
x
x
x
π
π
∪
π
∈
π
∈
∧
>
<
−
2
,
3
5
3
,
0
2
,
0
2
1
cos
0
cos
2
1
x
x
x
x
Stąd na przedziale
π
π
3
5
,
3
funkcja
x
x
x
f
sin
2
)
(
−
=
jest funkcją rosnącą, natomiast na przedziałach
π
π
π
2
,
3
5
;
3
,
0
jest funkcją malejącą.
121
Def.8.4. (minimum oraz maksimum lokalne funkcji)
Niech
)
(x
f
y =
będzie określona na pewnym otoczeniu
( )
0
x
U
. Mówimy, że funkcja
)
(x
f
y =
posiada
w punkcie
0
x
minimum (analogicznie maksimum) lokalne, jeżeli istnieje takie sąsiedztwo
( )
0
x
S
, że
( )
( )
)
(
0
0
x
f
x
f
x
S
x
<
∈
∀
( )
( )
(
)
)
(
0
0
x
f
x
f
x
S
x
>
∈
∀
Uwaga: Minimum lub maksimum funkcji nazywamy ekstremum funkcji.
Poniższe rysunki przedstawiają ilustrację graficzną ekstremów lokalnych funkcji, odpowiednio Rys.4a –
minimum lokalne, Rys.4b. – maksimum lokalne.
Rys.4a
Rys.4b
Tw.8.4. (Tw. Fermata, warunek konieczny istnienia ekstremum lokalnego funkcji)
Jeżeli funkcja f ma ekstremum lokalne w punkcie
0
x
, istnieje
( )
0
x
f ′
to
( )
0
0
=
′ x
f
Uwaga: Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe, co zostanie zilustrowane prostym przykładem.
Funkcja
3
)
(
x
x
f
=
w punkcie
0
0
=
x
spełnia warunek:
( )
0
0
=
′ x
f
, gdyż
( )
2
0
0
3x
x
f
=
′
. Natomiast
funkcja ta nie posiada ekstremum lokalnego w tym punkcie (patrz Rys.5).
Rys.5. Wykres funkcji
3
)
(
x
x
f
=
( )
0
x
f
( )
0
x
S
)
(x
f
x
y
0
x
x
max
( )
0
x
f
( )
0
x
S
)
(x
f
x
y
0
x
x
min
3
x
y =
x
y
0
122
Uwaga: Funkcja może mieć ekstrema lokalne tylko w tych punktach, w których zeruje się pierwsza
pochodna, bądź pierwsza pochodna nie istnieje.
WARUNKI DOSTATECZNE na to, aby funkcja różniczkowalna
)
(x
f
miała w punkcie
0
x
ekstremum
lokalne.
Tw.8.5. (pierwszy warunek dostateczny istnienia ekstremum)
Jeżeli
( )
0
0
=
′ x
f
i w pewnym
( )
0
x
S
pierwsza pochodna
( )
x
f ′
zmienia znak, przy czym, jeśli:
1°
( )
( )
∈
>
′
∈
<
′
+
−
0
0
dla
0
)
(
dla
0
)
(
x
S
x
x
f
x
S
x
x
f
to funkcja ma minimum lokalne w punkcie
0
x
2°
( )
( )
∈
<
′
∈
>
′
+
−
0
0
dla
0
)
(
dla
0
)
(
x
S
x
x
f
x
S
x
x
f
to funkcja ma maksimum lokalne w punkcie
0
x
Tw.8.6. (drugi warunek dostateczny istnienia ekstremum)
Jeśli funkcja
)
(x
f
ma w pewnym
( )
0
x
U
drugą pochodną
( )
x
f ′′
, która jest ciągła w punkcie
0
x
, a
ponadto
( )
0
0
=
′ x
f
oraz
( )
0
0
≠
′′ x
f
to funkcja ma w punkcie
0
x
minimum lokalne, gdy
( )
0
0
>
′′ x
f
,
natomiast maksimum lokalne, gdy
( )
0
0
<
′′ x
f
.
Przykład: Wyznaczyć przedziały monotoniczności oraz ekstrema lokalne funkcji:
x
e
x
x
f
1
)
(
⋅
=
.
Rozwiązanie:
1) Wyznaczamy dziedzinę funkcji: D :
0
≠
x
2) Obliczamy
( )
x
f ′
:
−
⋅
=
−
⋅
=
−
⋅
⋅
+
=
′
⋅
=
′
x
x
e
x
e
x
e
x
e
e
x
x
f
x
x
x
x
x
1
1
1
1
)
(
1
1
2
1
1
1
.
3) Warunek konieczny istnienia ekstremum:
( )
0
=
′ x
f
czyli
0
1
1
=
−
⋅
x
x
e
x
Ponieważ
0
1
>
∈
∀
x
e
D
x
, więc miejsca zerowe i znak
( )
x
f ′
zależą od czynnika:
−
x
x
1
.
Zatem
0
1
=
−
x
x
stąd
1
=
x
(punkt stacjonarny tj. punkt, w którym może być
ekstremum).
4) Korzystamy z pierwszego warunku dostatecznego, badamy znak
( )
x
f ′
:
a)
( )
0
1
czyli
0
>
−
>
′
x
x
x
f
stąd
0
)
1
(
>
−
x
x
czyli
(
) (
)
+∞
∪
∞
−
∈
,
1
0
,
x
+
x
0
1
+
123
b)
( )
0
1
czyli
0
<
−
<
′
x
x
x
f
stąd
0
)
1
(
<
−
x
x
czyli
( )
1
,
0
∈
x
5) Sporządzamy tabelkę:
x
(
)
0
,
∞
−
0
( )
1
,
0
1
(
)
∞
+
,
1
( )
x
f ′
+
–
0
+
( )
x
f
rosnąca
malejąca
e
min
lokalne
rosnąca
Obliczamy wartość funkcji:
( )
e
e
f
f
=
⋅
=
=
1
min
1
1
C) WKLĘSŁOŚĆ, WYPUKŁOŚĆ ORAZ PUNKTY PRZEGIĘCIA WYKRESU FUNKCJI
Def.8.5. (wklęsłość, wypukłość funkcji)
Mówimy, że krzywa
)
(x
f
y =
jest wypukła (wklęsła) w pewnym
( )
0
x
S
, jeżeli wykres tej krzywej
znajduje się nad (pod) styczną do krzywej
)
(x
f
y =
w punkcie
( )
(
)
0
0
0
,
x
f
x
P
.
Rys.6a. przedstawia funkcję wypukłą, natomiast Rys.6b. przedstawia funkcję wklęsłą.
Rys.6a
Rys.6b
Tw.8.7. (warunek wystarczający wypukłości, wklęsłości)
Jeżeli
( )
0
>
′′ x
f
dla każdego
X
∈
x
, to funkcja f jest wypukła na X, natomiast jeżeli
( )
0
<
′′ x
f
dla
każdego
X
∈
x
, to funkcja f jest wypukła na X.
Def.8.6. (punkt przegięcia wykresu funkcji)
Niech funkcja f będzie określona przynajmniej na
( )
0
x
U
. Punkt
( )
(
)
0
0
0
,
x
f
x
P
nazywamy punktem
przegięcia
wykresu funkcji
)
(x
f
y =
(w skrócie p.p), jeżeli istnieje takie
( )
0
x
S
, że funkcja
)
(x
f
y =
jest
wypukła na
( )
0
x
S
−
i wklęsła na
( )
0
x
S
+
lub też funkcja
)
(x
f
y =
jest wklęsła na
( )
0
x
S
−
i wypukła na
( )
0
x
S
+
.
x
0
1
–
styczna
0
x
x
y
)
(x
f
y =
0
x
x
y
)
(x
f
y =
styczna
124
Tw.8.8. (warunek konieczny istnienia punktu przegięcia)
Jeżeli funkcja f ma drugą pochodną w
( )
0
x
U
,
( )
x
f ′′
jest ciągła w punkcie
0
x
oraz
( )
(
)
0
0
0
,
x
f
x
P
jest
punktem przegięcia wykresu funkcji
)
(x
f
y =
to
( )
0
0
=
′′ x
f
.
Uwaga: Zerowanie się drugiej pochodnej funkcji f w punkcie
0
x
nie jest warunkiem wystarczającym na
to, aby punkt
( )
(
)
0
0
0
,
x
f
x
P
był punktem przegięcia krzywej
)
(x
f
y =
, czego dowodem jest poniższy
przykład.
Funkcja
4
)
(
x
x
f
=
w punkcie
0
0
=
x
spełnia warunek:
( )
0
0
=
′′ x
f
, gdyż
( )
2
0
0
12x
x
f
=
′′
. Natomiast ten
punkt nie jest punktem przegięcia krzywej (patrz Rys.7)
Rys.7. Wykres funkcji
4
)
(
x
x
f
=
Uwaga: Funkcja może mieć punkty przegięcia tylko w punktach, w których zeruje się druga pochodna,
bądź druga pochodna nie istnieje.
Tw.8.9. (warunek dostateczny istnienia punktu przegięcia)
Jeżeli funkcja f jest różniczkowalna w
( )
0
x
U
i dwukrotnie różniczkowalna w
( )
0
x
S
oraz:
1°
( )
( )
∈
>
′′
∈
<
′′
+
−
0
0
dla
0
)
(
dla
0
)
(
x
S
x
x
f
x
S
x
x
f
lub
2°
( )
( )
∈
<
′′
∈
>
′′
+
−
0
0
dla
0
)
(
dla
0
)
(
x
S
x
x
f
x
S
x
x
f
to funkcja w punkcie
( )
(
)
0
0
0
,
x
f
x
P
ma punkt przegięcia.
Przykład: Wyznaczyć przedziały wklęsłości, wypukłości oraz (o ile istnieją) punkty przegięcia wykresu
funkcji:
(
)
7
ln
12
)
(
4
−
=
x
x
x
f
.
Rozwiązanie:
1) Wyznaczamy dziedzinę funkcji: D :
0
>
x
.
2) Obliczamy
( )
x
f ′
:
(
)
[
]
(
)
(
)
(
)
(
)
1
ln
3
16
4
ln
12
4
3
7
ln
12
4
12
7
ln
12
4
7
ln
12
)
(
3
3
3
4
3
4
−
=
=
−
=
+
−
=
⋅
+
−
=
′
−
=
′
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
przy czym dziedzina
( )
x
f ′
jest taka sama jak dziedzina funkcji tj.
0
>
x
.
4
x
y =
x
y
0
125
3) Obliczamy
( )
x
f ′′
:
(
)
[
]
(
)
(
)
(
)
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
ln
3
48
1
1
ln
3
48
48
1
ln
3
48
3
16
1
ln
3
48
1
ln
3
16
)
(
2
2
2
2
3
2
3
⋅
=
=
+
−
=
+
−
=
⋅
+
−
=
′
−
=
′′
przy czym dziedzina
( )
x
f ′′
jest taka sama jak dziedzina funkcji tj.
0
>
x
.
4) Warunek konieczny istnienia p.p. :
( )
0
=
′′ x
f
czyli
0
ln
3
48
2
=
⋅
x
x
Ponieważ
0
48
3
2
>
⋅
∈
∀
x
D
x
, więc miejsca zerowe i znak
( )
x
f ′′
zależą od czynnika:
x
ln .
Zatem
0
ln =
x
stąd
1
=
x
(punkt, w którym może być punkt przegięcia)
5) Korzystamy z warunku dostatecznego, badamy znak
( )
x
f ′′
:
a)
( )
0
>
′′ x
f
czyli
0
ln >
x
stąd
1
ln
ln >
x
zatem
D
x
x
∈
∧
>
1
czyli ostatecznie
(
)
∞
+
∈
,
1
x
b)
( )
0
<
′′ x
f
czyli
0
ln <
x
stąd
1
ln
ln <
x
zatem
D
x
x
∈
∧
<
1
czyli ostatecznie
(
)
1
,
0
∈
x
6) Sporządzamy tabelkę:
x
( )
1
,
0
1
(
)
∞
+
,
1
( )
x
f ′′
–
0
+
( )
x
f
wklęsła
–7
p.p.
wypukła
Obliczamy wartość funkcji:
( )
(
)
7
7
1
ln
12
1
1
.
−
=
−
⋅
=
= f
f
p
p
.
126
SCHEMAT BADANIA PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI
I. ANALIZA NA PODSTAWIE WZORU FUNKCJI
)
(x
f
y =
:
1)
dziedzina funkcji;
2)
wyznaczamy granice na „końcach” określoności dziedziny;
3)
na podstawie tych granic wnioskujemy o asymptotach pionowych i poziomych, wyznaczamy
ewentualne asymptoty ukośne;
4)
wyznaczamy punkty przecięcia wykresu funkcji z osiami układu współrzędnych;
5)
badamy parzystość, nieparzystość, okresowość funkcji;
II. ANALIZA NA PODSTAWIE PIERWSZEJ POCHODNEJ
( )
x
f ′
:
1)
obliczamy
( )
x
f ′
;
2)
wyznaczamy dziedzinę pierwszej pochodnej;
3)
wyznaczamy miejsca zerowe
( )
x
f ′
;
4)
badamy znak
( )
x
f ′
;
5)
sporządzamy tabelkę pomocniczą i na jej podstawie wnioskujemy o przedziałach monotoniczności
oraz ekstremach lokalnych funkcji;
III. ANALIZA NA PODSTAWIE DRUGIEJ POCHODNEJ
( )
x
f ′′
:
1)
obliczamy
( )
x
f ′′
;
2)
wyznaczamy dziedzinę drugiej pochodnej;
3)
wyznaczamy miejsca zerowe
( )
x
f ′′
;
4)
badamy znak
( )
x
f ′′
;
5)
sporządzamy tabelkę pomocniczą i na jej podstawie wnioskujemy o przedziałach wypukłości,
wklęsłości oraz punktach przegięcia wykresu funkcji;
IV. TABELA postaci:
tutaj zaznaczamy przedziały wyznaczone przez dziedzinę
funkcji, dziedzinę pierwszej i drugiej pochodnej oraz miejsca
zerowe
( )
x
f ′
i
( )
x
f ′′
x
...
)
(x
f ′
...
)
(x
f ′′
...
)
(x
f
...
V. WYKRES FUNKCJI:
Uwaga: W pierwszej kolejności przy kreśleniu wykresu funkcji należy narysować asymptoty funkcji,
zaznaczyć punkty przecięcia wykresu funkcji z osiami układu współrzędnych oraz punkty, w których
występują ekstrema lokalne funkcji oraz punkty przegięcia jej wykresu.