WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY
Studia Niestacjonarne

Semestr IV

Kierunek: ELEKTROTECHNIKA

Lista zadań Nr 22

ELEMENTY TEORII POLA WEKTOROWEGO

Zad.1. Wyznaczyć gradienty podanych funkcji skalarnych:

a)

(

)

z

y

x

z

y

x

F

2

2

)

,

,

(

+

=

b)

2

2

2

1

)

,

,

(

z

y

x

z

y

x

F

+

+

=

c)

(

)

xyz

z

y

x

z

y

x

F

2

3

1

)

,

,

(

3

3

3

−

+

+

=

d)

x

y

z

z

y

x

F

arctg

)

,

,

(

−

=

e)

z

xy

y

x

x

z

y

x

F

+

−

=

)

,

,

(

f)

y

x

z

z

y

x

z

y

x

F

+

+

+

+

=

arctg

)

(

ln

)

,

,

(

2

2

.

Zad.2. Wyznaczyć długość i cosinusy kierunkowe gradientu funkcji skalarnej:

a)

z

y

x

xy

z

y

x

z

y

x

F

4

2

4

2

3

2

)

,

,

(

2

2

2

−

+

−

+

+

+

=

w punkach:

)

0

,

0

,

0

(

A

,













−

3

2

,

2

5

,

6

B

b)

z

y

x

xy

z

y

x

z

y

x

F

6

2

3

3

2

)

,

,

(

2

2

2

−

−

+

+

+

+

=

w punkach:

)

0

,

1

,

1

(

A

,

)

0

,

0

,

2

(

B

Zad.3. Uzasadnić wzór

(

)

G

F

F

G

G

F

grad

grad

grad

+

=

, jeśli funkcje

)

,

,

(

z

y

x

F

,

)

,

,

(

z

y

x

G

mają gradienty

w obszarze

3

R

⊂

V

.

Zad.4. Wyznaczyć dywergencję pola wektorowego:

a)

(

)

(

)

(

)

k

z

x

y

j

z

x

y

i

y

x

W

r

r

r

r

2

2

2

2

2

+

+

+

+

−

=

b)

[

]

z

y

e

W

xy

2

sin

,

cos

, −

=

r

c)

k

r

z

j

r

y

i

r

x

W

r

r

r

r

+

+

=

, gdzie

2

2

2

z

y

x

r

+

+

=

d)

(

)

k

z

j

x

i

y

x

W

r

r

r

r

2

3

2

+

+

+

=

e)













=

x

z

e

x

W

xyz

arctg

,

,

ln

r

f)

[

]

z

z

y

x

z

y

x

W

−

+

+

+

+

=

,

,

3

2

2

r

Zad.5. Wyznaczyć rotację pola wektorowego:

a)

(

)

(

)

k

z

x

j

xyz

i

z

xy

x

W

r

r

r

r

+

+

+

+

+

=

2

2

b)

[

]

xz

yz

y

x

W

,

2

,

2

3

=

r

c)

k

r

z

j

r

y

i

r

x

W

r

r

r

r

+

+

=

, gdzie

2

2

2

z

y

x

r

+

+

=

d)

(

)

k

j

y

i

z

x

W

r

r

r

r

2

+

−

+

=

e)

(

)

(

)

(

)

k

z

x

j

y

z

i

z

x

W

r

r

r

r

5

4

3

2

+

+

−

+

+

=

f)













−

−

−

=

2

2

2

,

,

2

1

z

x

zy

xy

W

r

Zad.6. Wyznaczyć laplasjan funkcji:

a)

(

)

xyz

z

y

x

z

y

x

F

2

3

1

)

,

,

(

3

3

3

−

+

+

=

b)

)

(

)

,

,

(

z

y

x

xyz

z

y

x

F

+

+

=

c)

y

x

z

z

y

x

z

y

x

F

+

+

+

+

=

arctg

)

(

ln

)

,

,

(

2

2

d)

(

)

2

2

2

2

1

)

,

,

(

z

y

x

z

y

x

F

+

+

=

e)

R

c

b

a

cz

by

ax

z

y

x

F

∈

+

+

=

,

,

,

)

,

,

(

f)

2

2

2

)

,

,

(

z

y

x

z

y

x

F

+

+

=

Zad.7. Sprawdzić, czy podane pola wektorowe są potencjalne, jeśli tak, to wyznaczyć potencjał skalarny.

a)

(

)

(

)

(

)

k

xy

z

j

xz

y

i

yz

x

W

r

r

r

r

−

+

−

+

−

=

2

2

2

b)

(

)

k

j

y

i

z

x

W

r

r

r

r

2

+

−

+

=

c)

k

r

z

j

r

y

i

r

x

W

r

r

r

r

+

+

=

, gdzie

2

2

2

z

y

x

r

+

+

=

d)

[

]

y

x

z

x

z

y

W

+

+

+

=

,

,

r

e)

k

z

xy

j

y

x

z

x

i

z

y

y

W

r

r

r

r

2

2

1

1

−















+

+













+

−

=

f)

[

]

2

2

2

,

,

z

x

y

W

−

=

r

Zad.8. Sprawdzić, czy dane pola wektorowe są solenoidalne i ewentualnie znaleźć ich potencjał wektorowy.

a)

[

]

y

x

x

z

z

y

W

−

−

−

⋅

=

,

,

2

r

b)

[

]

xz

yz

xy

W

,

,

=

r