Lista nr 5

EiT, sem.III, studia zaoczne, 2006/07.

Elementy teorii pola.

1. Dane jest pole wektorowe

a) ~

F =

x

2

yz, xy

2

z, xyz

2

;

b) ~

F =

ln x

2

+ y

2

z

, xyz, arctg

x

x

2

+ z

2

;

c) F =

x

r

~i +

y

r

~j +

z

r

~

k, gdzie r =

p

x

2

+ y

2

+ z

2

.

Znaleźć: rot ~

F , div ~

F , grad(div ~

F ), rot(grad ~

F ).

2. Sprawdzić czy dane pole wektorowe jest potencjalne. Jeśli tak, to znaleźć potencjał.

a) ~

F =

−y

2

− 2xz, 2yz − 2xy, y

2

− x

2

;

b) ~

F = [x + z, −y, 2] ;

c) ~

F =

1 −

1

y

+

y

z

~i +

x

z

+

x

y

2

~j −

xy

z

~

k.

3. Korzystając ze wzoru Gaussa-Ostrogradskiego obliczyć

a)

Z Z

S

4x

3

dydz + 4y

3

dzdx − 6z

4

dxdy gdzie S jest całkowitą zewnętrzną powierzchnią walca x

2

+ y

2

= 4, zawartą między

płaszczyznami z = 0 i z = 1;

b)

Z Z

S

z

2

dxdy gdzie S jest elipsoidą x

2

+ y

2

+ 2z

2

= 2 zorientowaną wewnętrznie;

c)

Z Z

S

xdydz + ydzdx + zdxdy gdzie S jest wewnętrzną powierzchnią sześcianu 0 ¬ x ¬ 1, 0 ¬ y ¬ 1, 0 ¬ z ¬ 1;

d)

Z Z

S

x

2

dydz + y

2

dzdx + z

2

dxdy gdzie S jest zewnętrzną stroną powierzchni x

2

+ y

2

= z

2

, 0 ¬ z ¬ h.

4. Obliczyć strumień pola wektorowego

a) ~

F = x~i − y

2

~j + x

2

+ y

2

~

k przez powierzchnię

x

2

a

2

+

y

2

b

2

+

z

2

c

2

= 1;

b) ~

F = 2~i − x~j + 5z~

k przez górną powierzchnię trójkąta wyciętego płaszczyznami układu współrzędnych z płaszczyzny

x + 2y + 3z = 6;
c) ~

F = x~i + y~j + z~

k przez wewnętrzną stronę powierzchni bocznej stożka x

2

+ y

2

¬ 4z

2

dla 0 ¬ z ¬ 1.

5. Stosując twierdzenie Stokesa obliczyć

a)

I

Γ

(2x + y) dx − 2ydy gdzie Γ jest obwodem trójkąta zorientowanym ujemnie o wierzchołkach A (0, −1), B (2, 0), C (0, 2);

b)

I

Γ

xdx + xzdy + zdz gdzie Γ jest dodatnio zorientowanym okręgiem x

2

+ y

2

= 1, z = 1;

c)

I

Γ

y

2

dx − 2x

2

dy + z

2

dz gdzie Γ jest dodatnio zorientowaną krawędzią przecięcia powierzchni y = 1 − x

2

− z

2

z płasz-

czyznami układu współrzędnych.