281
WYKŁAD Nr 22
ELEMENTY TEORII POLA WEKTOROWEGO
Def.1.1. (pole skalarne)
Niech
3
R
⊂
V
.
Jeżeli każdemu punktowi
(
)
V
z
y
x
M
∈
,
,
przyporządkowany jest skalar, tzn. liczba
)
(M
F
to mówimy, że w
obszarze V określone jest pole skalarne.
Zatem, każdą funkcję
R
→
V
F
:
nazywamy polem skalarnym określonym w obszarze V. Zamiast
)
(M
F
możemy zapisać
)
,
,
(
z
y
x
F
.
Def.1.2. (pole skalarne ciągłe, gładkie)
Pole skalarne F jest polem ciągłym, gdy funkcja
(
)
z
y
x
F
,
,
jest funkcją klasy
0
C
(tj. funkcją ciągłą). Pole
skalarne F jest polem gładkim, gdy funkcja
(
)
z
y
x
F
,
,
jest funkcją klasy
1
C
(tj. funkcja ta ma ciągłe
pochodne cząstkowe I – go rzędu).
Uwaga: Możemy również mówić o polu skalarnym klasy
n
C
, jeśli funkcja
(
)
z
y
x
F
,
,
jest funkcją klasy
n
C
(tj. funkcja ta ma ciągłe pochodne cząstkowe do rzędu n – tego włącznie).
Def.1.3. (funkcja wektorowa)
Funkcją wektorową jednej zmiennej nazywamy odwzorowanie
3
:
R
→
I
r
r
, gdzie I oznacza przedział na
prostej. Funkcje wektorowe zapisujemy w postaci:
[
]
I
t
t
z
t
y
t
x
t
r
∈
=
,
)
(
),
(
),
(
)
(
r
.
Funkcją wektorową dwóch zmiennych nazywamy odwzorowanie
3
:
R
→
∆
r
r
, gdzie
∆ oznacza obszar na
płaszczyźnie. Funkcje wektorowe zapisujemy w postaci:
[
]
∆
∈
=
)
,
(
,
)
,
(
),
,
(
),
,
(
)
,
(
v
u
v
u
z
v
u
y
v
u
x
v
u
r
r
.
Mówimy, że funkcja wektorowa jest ciągła, różniczkowalna, całkowalna na pewnym przedziale I (na
pewnym obszarze
∆ ), jeśli funkcje:
)
(
),
(
),
(
t
z
t
y
t
x
, (
)
,
(
),
,
(
),
,
(
v
u
z
v
u
y
v
u
x
) są ciągłe, różniczkowalne,
całkowalne na I (na
∆ ).
Def.1.4. (pole wektorowe)
Mówimy, że w obszarze przestrzennym V określone jest pole wektorowe, jeżeli każdemu punktowi
(
)
z
y
x
M
,
,
z tego obszaru V przyporządkowany jest pewien wektor
[
]
)
,
,
(
),
,
,
(
),
,
,
(
z
y
x
R
z
y
x
Q
z
y
x
P
W
=
r
.
Współrzędne wektora
W
r
są funkcjami punktu
(
)
z
y
x
M
,
,
.
W
r
jest symbolem funkcji wektorowej.
Pole wektorowe wyznaczone jest, zatem przez podanie trzech funkcji:
)
,
,
(
),
,
,
(
),
,
,
(
z
y
x
R
z
y
x
Q
z
y
x
P
określonych w pewnym obszarze V, co możemy zapisać:
k
z
y
x
R
j
z
y
x
Q
i
z
y
x
P
W
r
r
r
r
⋅
+
⋅
+
⋅
=
)
,
,
(
)
,
,
(
)
,
,
(
,
gdzie
V
z
y
x
∈
)
,
,
(
,
)
,
,
(
R
Q
P
W
r
lub też
)
,
,
(
z
y
x
W
r
282
Def.1.5. (pole wektorowe ciągłe, różniczkowalne, klasy
n
C
)
Pole wektorowe
)
,
,
(
z
y
x
W
r
nazywamy polem ciągłym, różniczkowalnym, jeżeli współrzędne wektora pola są
funkcjami ciągłymi, różniczkowalnymi.
Pole wektorowe
)
,
,
(
z
y
x
W
r
jest klasy
n
C
, jeśli jego współrzędne są funkcjami klasy
n
C
.
Def.1.6. (pole wektorowe jednostajne)
Pole wektorowe nazywamy polem jednostajnym, jeśli wszystkie wektory tego pola są równe, tj. mają ten
sam kierunek, zwrot i długość.
Def.1.7. (linia pola wektorowego)
Linią pola wektorowego nazywamy taką krzywą, która jest styczna w każdym swym punkcie do wektora
pola odpowiadającemu temu punktowi.
Przykłady pól wektorowych: pole elektryczne, pole grawitacyjne.
Def.1.8. (operator Hamiltona, nabla)
Operatorem wektorowym nabla (operatorem Hamiltona) oznaczanym
∇ , nazywamy wektor symboliczny o
składowych symbolicznych:
z
y
x
∂
∂
∂
∂
∂
∂
,
,
. Jest to operator różniczkowania rzędu pierwszego.
Zatem
(1)
k
z
j
y
i
x
r
r
r
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
∇
lub
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
∇
z
y
x
,
,
Uwaga: Działanie nabli na pole skalarne lub wektorowe polega na tym, że nablę traktujemy jako wektor, a
wynikiem „mnożenia” np.
x
∂
∂
przez funkcję
)
,
,
(
z
y
x
F
jest pochodna cząstkowa
x
F
∂
∂
.
Def.1.9. (gradient funkcji skalarnej)
Niech funkcja
)
,
,
(
z
y
x
F
posiada pochodne cząstkowe I – go rzędu w obszarze
3
R
⊂
V
.
Gradientem funkcji skalarnej
)
,
,
(
z
y
x
F
nazywamy wektor o składowych:
z
F
y
F
x
F
∂
∂
∂
∂
∂
∂
,
,
. Gradient
funkcji F oznaczamy:
F
grad
.
Zatem
(2)
k
z
F
j
y
F
i
x
F
F
r
r
r
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
grad
lub
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
z
F
y
F
x
F
F
,
,
grad
Uwaga: Wykorzystując operator Hamiltona możemy zapisać:
F
F
∇
=
grad
.
Fakt 1.1. (własności gradientu funkcji skalarnej)
Niech
3
R
⊂
V
,
R
∈
β
α
,
oraz funkcje
)
,
,
(
z
y
x
F
,
)
,
,
(
z
y
x
G
mają gradienty w obszarze V.
Wówczas:
1.
(
)
G
F
G
F
grad
grad
grad
β
α
β
α
+
=
+
;
2.
(
)
G
F
F
G
G
F
grad
grad
grad
+
=
;
283
3.
2
grad
grad
grad
G
G
F
F
G
G
F
−
=
, gdzie
0
)
,
,
(
≠
z
y
x
G
;
4.
const
)
,
,
(
grad
=
⇔
=
z
y
x
F
F
0
r
.
Przykład: Wyznaczyć gradient funkcji skalarnej
2
2
2
)
,
,
(
z
y
x
z
y
x
F
+
+
=
.
Rozwiązanie:
Funkcja
2
2
2
)
,
,
(
z
y
x
z
y
x
F
+
+
=
ma pochodne cząstkowe rzędu I – go w obszarze
(
)
{
}
0
,
0
,
0
\
3
R
=
V
.
Wyznaczamy pochodne cząstkowe I –go rzędu funkcji F:
2
2
2
2
2
2
2
2
1
z
y
x
x
x
z
y
x
x
F
+
+
=
⋅
+
+
=
∂
∂
,
2
2
2
z
y
x
y
y
F
+
+
=
∂
∂
,
2
2
2
z
y
x
z
z
F
+
+
=
∂
∂
.
Zatem
k
z
y
x
z
j
z
y
x
y
i
z
y
x
x
F
r
r
r
2
2
2
2
2
2
2
2
2
grad
+
+
+
+
+
+
+
+
=
lub
+
+
+
+
+
+
=
2
2
2
2
2
2
2
2
2
,
,
grad
z
y
x
z
z
y
x
y
z
y
x
x
F
.
Def.1.10. (dywergencja pola wektorowego)
Niech będzie dane pole wektorowe
)
,
,
(
R
Q
P
W
r
różniczkowalne w sposób ciągły w obszarze
3
R
⊂
V
.
Dywergencją pola wektorowego
)
,
,
(
R
Q
P
W
r
oznaczaną
W
r
div
nazywamy funkcję skalarną określoną
wzorem:
(3)
W
W
r
o
r
∇
=
div
lub
z
R
y
Q
x
P
W
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
r
div
Def.1.11. (pole bezźródłowe)
Pole wektorowe
)
,
,
(
R
Q
P
W
r
nazywamy polem bezźródłowym, jeżeli w każdym jego punkcie zachodzi
warunek:
0
div
=
W
r
.
Fakt.1.2. (własności dywergencji)
Niech
3
R
⊂
V
,
R
∈
β
α
,
, funkcja
)
,
,
(
z
y
x
F
ma gradient w obszarze V oraz pola wektorowe
)
,
,
(
1
1
1
1
R
Q
P
W
r
,
)
,
,
(
2
2
2
2
R
Q
P
W
r
są różniczkowalne w sposób ciągły w tym obszarze.
Wówczas:
1.
(
)
2
1
2
1
div
div
div
W
W
W
W
r
r
r
r
β
α
β
α
+
=
+
;
2.
(
)
(
)
1
1
1
div
grad
div
W
F
W
F
W
F
r
r
o
r
+
=
.
Uzasadnienie własności 2.:
Niech
)
,
,
(
z
y
x
F
,
)
,
,
(
1
1
1
1
R
Q
P
W
r
. Wówczas:
(
)
(
)
(
)
(
)
+
∂
∂
⋅
+
⋅
∂
∂
+
∂
∂
⋅
+
⋅
∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
y
Q
F
Q
y
F
x
P
F
P
x
F
R
F
z
Q
F
y
P
F
x
W
F
1
1
1
1
1
1
1
1
div
r
284
[
]
(
)
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
div
grad
,
,
,
,
W
F
W
F
z
R
y
Q
x
P
F
R
Q
P
z
F
y
F
x
F
z
R
F
y
Q
F
x
P
F
R
z
F
Q
y
F
P
x
F
z
R
F
R
z
F
r
r
o
o
+
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
⋅
+
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
=
∂
∂
⋅
+
∂
∂
⋅
+
∂
∂
⋅
+
⋅
∂
∂
+
⋅
∂
∂
+
⋅
∂
∂
=
∂
∂
⋅
+
⋅
∂
∂
+
Przykład: Wyznaczyć dywergencję pola wektorowego:
k
yz
j
y
x
i
xz
W
r
r
r
r
2
4
2
3
5
2
+
+
=
.
Rozwiązanie:
W rozważanym przypadku mamy:
.
5
)
,
,
(
,
2
)
,
,
(
,
)
,
,
(
2
4
2
3
yz
z
y
x
R
y
x
z
y
x
Q
xz
z
y
x
P
=
=
=
Stąd
yz
z
R
y
x
y
Q
z
x
P
10
,
8
,
3
2
3
=
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
.
Zatem
yz
y
x
z
W
10
8
div
3
2
3
+
+
=
r
.
Def.1.12. (rotacja pola wektorowego)
Niech
)
,
,
(
R
Q
P
W
r
pole wektorowe różniczkowalne w sposób ciągły w obszarze
3
R
⊂
V
.
Rotacją pola wektorowego
)
,
,
(
R
Q
P
W
r
, którą oznaczamy symbolem
W
r
rot
, nazywamy wektor będący
iloczynem wektorowym wektora symbolicznego nabla
∇ i wektora pola
W
r
:
(4)
W
W
r
r
×
∇
=
rot
.
Korzystając z definicji iloczynu wektorowego dwóch wektorów możemy zapisać:
(5)
R
Q
P
z
y
x
k
j
i
W
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
r
r
r
r
rot
.
Uwaga: Rozwijając powyższy wyznacznik według pierwszego wiersza otrzymamy składowe rotacji wzdłuż
osi układu, a mianowicie:
k
y
P
x
Q
j
x
R
z
P
i
z
Q
y
R
W
r
r
r
r
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
−
∂
∂
=
rot
.
Def.1.13. (pole bezwirowe)
Pole wektorowe
)
,
,
(
R
Q
P
W
r
nazywamy polem bezwirowym, jeżeli w każdym jego punkcie
0
r
r
=
W
rot
.
Fakt 1.3. (własności rotacji)
Niech
3
R
⊂
V
,
R
∈
β
α
,
, funkcja
)
,
,
(
z
y
x
F
ma gradient w obszarze V oraz pola wektorowe
)
,
,
(
1
1
1
1
R
Q
P
W
r
,
)
,
,
(
2
2
2
2
R
Q
P
W
r
są różniczkowalne w tym obszarze.
Wówczas:
1.
(
)
2
1
2
1
rot
rot
rot
W
W
W
W
r
r
r
r
β
α
β
α
+
=
+
;
2.
(
)
(
)
1
1
1
rot
grad
rot
W
F
W
F
W
F
r
r
r
+
×
=
.
Przykład: Wyznaczyć rotację pola wektorowego:
[
]
y
x
z
W
cos
,
cos
,
cos
=
r
.
285
Rozwiązanie:
W naszym przypadku mamy:
.
cos
)
,
,
(
,
cos
)
,
,
(
,
cos
)
,
,
(
y
z
y
x
R
x
z
y
x
Q
z
z
y
x
P
=
=
=
Stąd na podstawie (7) mamy:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
k
x
i
z
i
y
k
z
y
x
x
j
y
x
z
z
i
x
z
y
y
y
x
z
z
y
x
k
j
i
W
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
⋅
−
+
⋅
−
+
⋅
−
=
∂
∂
−
∂
∂
+
+
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
−
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
sin
sin
sin
cos
cos
cos
cos
cos
cos
cos
cos
cos
rot
Ostatecznie:
[
]
x
z
y
W
sin
,
sin
,
sin
rot
−
−
−
=
r
.
Def.1.14. (laplasjan funkcji skalarnej)
Laplasjanem funkcji skalarnej
)
,
,
(
z
y
x
F
oznaczanym symbolem
F
2
∇
, nazywamy funkcję skalarną
określoną wzorem:
(6)
2
2
2
2
2
2
2
z
F
y
F
x
F
F
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
∇
.
Przykład: Wyznaczyć laplasjan funkcji:
x
y
z
z
y
x
F
arctg
)
,
,
(
−
=
.
Rozwiązanie:
Funkcja określona na obszarze przestrzennym
{
}
R
R
∈
∧
∈
∧
≠
=
z
y
x
z
y
x
V
0
:
)
,
,
(
.
Obliczamy kolejno pochodne cząstkowe I – go rzędu:
2
2
2
2
1
1
y
x
y
x
y
x
y
x
F
+
=
−
⋅
+
−
=
∂
∂
,
2
2
2
1
1
1
y
x
x
x
x
y
y
F
+
−
=
⋅
+
−
=
∂
∂
,
1
=
∂
∂
z
F
.
Obliczamy pochodne cząstkowe II go rzędu (czyste):
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
y
x
xy
x
y
x
y
x
F
+
−
=
⋅
+
−
=
∂
∂
,
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
y
x
xy
y
y
x
x
y
F
+
=
⋅
+
−
−
=
∂
∂
,
0
2
2
=
∂
∂
z
F
Stąd, na podstawie (6) otrzymujemy:
(
) (
)
0
2
2
2
2
2
2
2
2
2
+
+
+
+
−
=
∇
y
x
xy
y
x
xy
F
.
Zatem ostatecznie:
0
2
=
∇ F
.
286
Def.1.15. (potencjał skalarny pola wektorowego)
Niech
3
R
⊂
V
oraz
R
→
V
F
:
.
Potencjałem skalarnym pola wektorowego
)
,
,
(
R
Q
P
W
r
nazywamy taką funkcję skalarną
)
,
,
(
z
y
x
F
, której
gradient równa się wektorowi pola, tj.
(7)
W
F
r
=
grad
.
Równanie (7) jest równoważne trzem równaniom postaci:
(8)
)
,
,
(
z
y
x
P
x
F
=
∂
∂
,
)
,
,
(
z
y
x
Q
y
F
=
∂
∂
,
)
,
,
(
z
y
x
R
z
F
=
∂
∂
.
Def.1.16. (pole potencjalne)
Pole wektorowe posiadające potencjał skalarny nazywamy polem potencjalnym.
Tw.1.1. (warunek konieczny i wystarczający na potencjalne pole wektorowe)
Niech
3
R
⊂
V
będzie obszarem jednospójnym,
)
,
,
(
R
Q
P
W
r
– polem wektorowym określonym w tym
obszarze,
)
,
,
(
z
y
x
F
– funkcją dwukrotnie różniczkowalną na tym obszarze przestrzennym.
Warunkiem koniecznym i wystarczającym, aby pole wektorowe
)
,
,
(
R
Q
P
W
r
było potencjalne jest, aby
rotacja tego pola w każdym punkcie obszaru V była wektorem zerowym, tj.
0
r
r
=
W
rot
.
Uwaga: Wyznaczanie potencjału skalarnego pola wektorowego jest równoważne całkowaniu różniczki
zupełnej
dz
z
y
x
R
dy
z
y
x
Q
dx
z
y
x
P
)
,
,
(
)
,
,
(
)
,
,
(
+
+
, gdyż wyznaczyć potencjał pola wektorowego
)
,
,
(
R
Q
P
W
r
oznacza znaleźć funkcję pierwotną
)
,
,
(
z
y
x
F
układu trzech funkcji:
)
,
,
(
z
y
x
P
,
)
,
,
(
z
y
x
Q
,
)
,
,
(
z
y
x
R
.
Przykład: Sprawdzić, czy pole wektorowe
[
]
2
2
2
,
2
2
,
2
x
y
xy
yz
xz
y
W
−
−
−
−
=
r
jest potencjalne. Jeśli tak,
wyznaczyć jego potencjał skalarny.
Rozwiązanie:
Pole wektorowe
[
]
2
2
2
,
2
2
,
2
x
y
xy
yz
xz
y
W
−
−
−
−
=
r
jest określone w całej przestrzeni trójwymiarowej.
W rozważanym przypadku mamy:
2
2
2
)
,
,
(
,
2
2
)
,
,
(
,
2
)
,
,
(
x
y
z
y
x
R
xy
yz
z
y
x
Q
xz
y
z
y
x
P
−
=
−
=
−
−
=
.
Obliczamy rotację podanego pola wektorowego:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
0
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
=
⋅
+
−
+
⋅
+
−
+
⋅
−
=
=
−
−
∂
∂
−
−
∂
∂
+
+
−
∂
∂
−
−
−
∂
∂
+
+
−
∂
∂
−
−
∂
∂
=
−
−
−
−
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
k
y
y
i
x
x
i
y
y
k
xz
y
y
xy
yz
x
j
x
y
x
xz
y
z
i
xy
yz
z
x
y
y
x
y
xy
yz
xz
y
z
y
x
k
j
i
W
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
rot
2
2
2
2
2
2
2
2
2
Zatem
3
)
,
,
(
R
∈
∀
z
y
x
0
r
r
=
W
rot
.
Wobec tego pole to jest polem potencjalnym.
287
Wyznaczamy teraz funkcję
)
,
,
(
z
y
x
F
będącą potencjałem tego pola. Zgodnie z Def.1.15. i wzorem (8)
mamy:
(1)
xz
y
x
F
2
2
−
−
=
∂
∂
,
(2)
xy
yz
y
F
2
2
−
=
∂
∂
,
(3)
2
2
x
y
z
F
−
=
∂
∂
.
Całkujemy (1) względem zmiennej x, traktując zmienne y, z jako stałe:
(4)
)
,
(
)
,
,
(
2
2
z
y
z
x
y
x
z
y
x
F
ϕ
+
−
−
=
,
gdzie
)
,
(
z
y
ϕ
jest dowolną funkcją różniczkowalną pełniącą rolę stałej całkowania.
Różniczkujemy (4) względem zmiennej y i otrzymany wynik porównujemy z (2):
(5)
y
xy
y
F
∂
∂
+
−
=
∂
∂
ϕ
2
po porównaniu otrzymujemy:
(6)
xy
yz
y
xy
2
2
2
−
=
∂
∂
+
−
ϕ
Stąd
(7)
yz
y
2
=
∂
∂
ϕ
Całkujemy (7) względem zmiennej y, traktując z jako stałą, wówczas:
(8)
)
(
)
,
(
2
z
y
z
z
y
φ
ϕ
+
=
,
gdzie
)
(z
φ
dowolna funkcja różniczkowalna pełniąca rolę stałej całkowania.
Wstawiamy (8) do (4):
(9)
)
(
)
,
,
(
2
2
2
z
y
z
z
x
y
x
z
y
x
F
φ
+
+
−
−
=
Różniczkujemy (9) względem zmiennej z, a następnie porównujemy z (3).
Stąd
(10)
)
(
2
2
z
y
x
z
F
φ
′
+
+
−
=
∂
∂
więc:
2
2
2
2
)
(
x
y
z
y
x
−
=
′
+
+
−
φ
Zatem
(11)
0
)
(
=
′ z
φ
Całkując (11) względem z:
(12)
C
z
=
)
(
φ
,
gdzie C – dowolna stała.
Wstawiając (12) do (9) otrzymujemy szukany potencjał danego pola wektorowego:
288
(13)
C
y
z
z
x
y
x
z
y
x
F
+
+
−
−
=
2
2
2
)
,
,
(
.
Uwaga: Wyznaczając w obszarze jednospójnym V potencjał skalarny pola wektorowego
)
,
,
(
R
Q
P
W
r
możemy korzystać ze wzoru:
C
dz
z
y
x
R
dy
z
y
x
Q
dx
z
y
x
P
z
y
x
F
z
z
y
y
x
x
+
+
+
=
∫
∫
∫
0
0
0
)
,
,
(
)
,
,
(
)
,
,
(
)
,
,
(
0
0
0
,
gdzie
(
)
0
0
0
0
,
,
z
y
x
M
jest dowolnym punktem obszaru V, w którym pole wektorowe jest różniczkowalne, a C
– dowolną stałą.
Tw.1.2.
Jeżeli pole wektorowe
)
,
,
(
R
Q
P
W
r
posiada potencjał skalarny
)
,
,
(
z
y
x
F
w obszarze
3
R
⊂
V
, funkcja
R
→
V
F
:
jest dwukrotnie różniczkowalna w sposób ciągły na tym obszarze, to dywergencja gradientu
potencjału równa się laplasjanowi potencjału, tj.
(
)
F
F
2
grad
div
∇
=
.
Tw.1.3.
Jeżeli funkcja
R
→
V
F
:
jest dwukrotnie różniczkowalna w sposób ciągły na obszarze
3
R
⊂
V
, to rotacja
gradientu tej funkcji jest wektorem zerowym, tj.
(
)
0
r
=
F
grad
rot
.
Tw.1.4.
Jeżeli pole wektorowe
)
,
,
(
R
Q
P
W
r
jest dwukrotnie różniczkowalne w sposób ciągły na obszarze
3
R
⊂
V
, to
dywergencja rotacji tego pola wektorowego równa się zeru, tj.
(
)
0
rot
div
=
W
r
.
Def.1.17. (potencjał wektorowy pola wektorowego)
Potencjałem wektorowym pola wektorowego
W
r
nazywamy każde pole wektorowe a
r
spełniające warunek:
(9)
W
a
r
r
=
rot
.
Def.1.18. (pole solenoidalne)
Pole wektorowe posiadające potencjał wektorowy nazywamy polem solenoidalnym.
Tw.1.5.
Niech
)
,
,
(
R
Q
P
W
r
różniczkowalne pole wektorowe w obszarze przestrzennym V.
Pole wektorowe
W
r
jest solenoidalne wtedy i tylko wtedy, gdy
0
div
=
W
r
(pole bezźródłowe). Potencjał
wektorowy pola solenoidalnego W
r
wyraża się wzorem:
(10)
F
dy
z
y
x
P
dx
z
y
x
Q
k
dx
z
y
x
R
j
a
y
y
x
x
x
x
grad
)
,
,
(
)
,
,
(
)
,
,
(
0
0
0
0
+
+
−
+
=
∫
∫
∫
r
r
r
,
gdzie
(
)
0
0
0
0
,
,
z
y
x
M
jest dowolnym punktem obszaru V, w którym pole wektorowe W
r
jest
różniczkowalne, a F – dowolne pole skalarne klasy
2
C
.
289
Przykład: Sprawdzić, czy pole wektorowe
[
]
xz
yz
yz
xy
xy
xz
W
−
−
−
=
,
,
r
jest solenoidalne i ewentualnie
znaleźć jego potencjał wektorowy.
Rozwiązanie:
Sprawdzamy, czy
0
div
=
W
r
?
Ponieważ
(
) (
) (
)
0
div
=
−
+
−
+
−
=
x
y
z
x
y
z
W
r
, więc dane pole wektorowe jest polem solenoidalnym.
Wyznaczamy jego potencjał wektorowy, przyjmując
(
)
0
,
0
,
0
0
M
i dowolną funkcję klasy
2
C
:
)
,
,
(
z
y
x
F
.
Wówczas zgodnie z (10) mamy:
∂
∂
+
−
∂
∂
+
−
∂
∂
=
=
∂
∂
∂
∂
∂
∂
+
+
−
+
−
=
+
+
+
−
+
+
−
=
+
⋅
−
⋅
+
−
−
+
−
=
∫
∫
∫
z
F
y
x
xyz
y
F
z
x
xyz
x
F
z
F
y
F
x
F
xyz
y
x
k
z
x
xyz
j
F
xyz
y
x
k
z
x
xyz
j
F
dy
y
z
dx
yz
xy
k
dx
xz
yz
j
a
x
x
y
x
x
2
2
2
2
0
2
0
2
0
0
0
2
1
,
2
1
,
,
,
2
1
2
1
grad
0
2
1
2
1
grad
)
0
0
(
)
(
)
(
r
r
r
r
r
r
r
Ostatecznie potencjałem wektorowym danego pola wektorowego jest każdy wektor postaci:
∂
∂
+
−
∂
∂
+
−
∂
∂
=
z
F
y
x
xyz
y
F
z
x
xyz
x
F
a
2
2
2
1
,
2
1
,
r
,
gdzie
)
,
,
(
z
y
x
F
– dowolna funkcja skalarne klasy
2
C
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Microsoft Word L22 elementy teorii pola wektorowego
Microsoft Word W25 elementy rach operatorowego
Elementy teorii pola
Microsoft Word W24 Elementy rachunku operatorowego
Nowy element Dokument Microsoft Word
Nowy element Dokument Microsoft Word
Microsoft Word W8 Regula dH Elementy przebiegu
md elementy teorii liczb
Microsoft Word W14 Szeregi Fouriera
Poetyka - strukturalizm II, FILOLOGIA POLSKA, Poetyka z elementami teorii literatury
New Microsoft Word Document (2)
Nauka?ministracji z elementami teorii zarządzania Wykłady 11 2013
Nowy Dokument programu Microsoft Word (5)
Nowy Dokument programu Microsoft Word
Nowy Dokument programu Microsoft Word
Microsoft Word zrodla infor I czesc pprawiona 2 do wydr
Nauka administracji z elementami teorii zarządzania Wykłady 14 11 2013
Microsoft Word PARAMETRY KOMPUTERÓW mój
więcej podobnych podstron