Microsoft Word W24 Elementy rachunku operatorowego

background image

306

WYKŁAD Nr 24

ELEMENTY RACHUNKU OPERATOROWEGO

1. PRZEKSZTAŁCENIE LAPLACE’A

Def.1.1. (oryginał)

Funkcję zmiennej rzeczywistej

)

(t

f

nazywamy oryginałem (laplace’owskim), jeśli spełnia następujące

warunki:

0

)

(

0

=

<

t

f

t

)

(t

f

spełnia pierwszy i drugi warunek Dirichleta w każdym skończonym przedziale

T

,

0

,

0

>

T

tj.

)

(t

f

przedziałami monotoniczna na przedziale

T

,

0

tj. przedział ten można podzielić na skończoną liczbę podprzedziałów, wewnątrz których

funkcja

)

(t

f

jest monotoniczna;

)

(t

f

jest ciągła na przedziale

T

,

0

, z wyjątkiem, co najwyżej skończonej liczby punktów nieciągłości pierwszego rodzaju, przy czym w

każdym punkcie nieciągłości

0

t

spełniony jest warunek:





+

=

+

)

(

lim

)

(

lim

2

1

)

(

0

0

0

t

f

t

f

t

f

t

t

t

t

t

Me

t

f

t

M

ρ

ρ

>

)

(

0

0

0

Przykład: Sprawdzić, czy funkcja



>

=

<

=

0

0

2

1

0

0

)

(

t

e

t

t

t

f

t

jest oryginałem.

Rozwiązanie:
Wykres funkcji przedstawiono na Rys.1 (pogrubiona linia ciągła).













Rys.1.

Podana funkcja spełnia pierwszy i drugi warunek Dirichleta na przedziale

)

+

,

0

. Istnieją również stałe

ρ

,

M

(np.

2

,

1

=

ρ

=

M

), dla których spełniony jest warunek 3° Def.1.1. Ze wzoru funkcji wynika, że dla

0

)

(

0

=

<

t

f

t

.

Def.1.2. (przekształcenie Laplace’a, transformata Laplace’a)

Transformatą Laplace’a

funkcji

)

(t

f

nazywamy funkcję

)

(s

F

zmiennej zespolonej określoną

następująco:

+∞

=

0

)

(

)

(

dt

e

t

f

s

F

st

i oznaczamy

L

[

]

)

(t

f

.

t

f

(t)

1

t

e

t

e

2

background image

307

Tw.1.1. (o zbieżności całki Laplace’a)

Całka Laplace’a

+∞

0

)

(

dt

e

t

f

st

jest zbieżna dla

ρ

<

x

, natomiast rozbieżna dla

ρ

x

.

Uzasadnienie:

Badamy zbieżność:

β

+∞

β

β

+∞

β

+∞

=

0

0

0

)

(

lim

)

(

lim

)

(

dt

e

t

f

dt

e

t

f

dt

e

t

f

st

st

st

Funkcja

)

(t

f

jest oryginałem, więc

t

Me

t

f

ρ

)

(

, ponadto ze wzorów Eulera zakładając

jy

x

s

+

=

mamy

(

)

tx

tx

jty

tx

st

e

ty

j

ty

e

e

e

=

=

=

sin

cos

.

Zatem otrzymamy

(

)

(

)

=

ρ

=

=

β

ρ

+∞

β

β

ρ

+∞

β

β

ρ

+∞

β

β

+∞

β

0

0

0

0

lim

lim

lim

)

(

lim

x

t

x

t

tx

t

st

e

x

M

dt

e

M

dt

e

Me

dt

e

t

f

(

)

(

)

1

lim

ρ

=

ρ

β

+∞

β

x

e

x

M

.

Granica ta istnieje przy założeniu, że

0

<

ρ

x

, czyli

ρ

>

x

.


Tw.1.2.

Jeżeli

)

(t

f

jest oryginałem, to transformata

)

(s

F

istnieje na półpłaszczyźnie

ρ

>

s

Re

.


Przykład: Wyznaczyć transformatę funkcji:

a) funkcji jednostkowej



>

=

<

=

0

1

0

2

1

0

0

)

(

1

t

t

t

t

b) funkcji wykładniczej

)

(

1 t

e

at

Rozwiązanie: Korzystamy z Def.1.2.
Ad a)

β

+∞

β

β

+∞

β

β

+∞

β

+∞

+∞

=

=

=

=

s

st

st

st

st

e

s

s

e

s

dt

e

dt

e

dt

e

t

lim

1

1

1

lim

lim

1

)

(

1

0

0

0

0

Ponieważ

0

Re

gdy

,

0

lim

>

=

β

+∞

β

s

e

s

(uzasadnienie tego znajduje się poniżej).

Niech

0

, >

+

=

x

jy

x

s

. Stąd

(

)

0

lim

sin

cos

lim

lim

lim

=

=

β

β

=

=

β

+∞

β

β

+∞

β

β

β

+∞

β

β

+∞

β

x

x

y

j

x

s

e

y

j

y

e

e

e

Zatem skoro

0

lim

=

β

+∞

β

s

e

, to

0

lim

=

β

+∞

β

s

e

.

Ostatecznie:

L

[ ]

s

t

1

)

(

1

=

Ad. b)

(

)

(

)

(

)

(

)

s

a

s

a

t

s

a

t

s

a

t

st

at

e

s

a

a

s

e

s

a

dt

e

dt

e

dt

e

t

e

β

+∞

β

β

+∞

β

β

+∞

β

+∞

+∞

=

=

=

=

lim

1

1

1

lim

lim

)

(

1

0

0

0

0

background image

308

Analogicznie jak poprzednio:

(

)

a

s

e

s

a

Re

Re

dla

0

lim

>

=

β

+∞

β

.

Zatem

L

[

]

a

s

t

e

at

=

1

)

(

1

.


Własności transformacji Laplace’a

Niech

)

(

),

(

t

g

t

f

– oryginały,

b

a

, – dowolne stałe,

0

t

– liczba rzeczywista,

0

s

– liczba zespolona.

Wówczas

1.

L

[

]

=

+

)

(

)

(

t

bg

t

af

a

L

[

]

)

(t

f

+b

L

[

]

)

(t

g

(liniowość przekształcenia Laplace’a)

2. Jeżeli

L

[

]

)

(

)

(

s

F

t

f

=

, to

L

[

]

=

a

s

F

a

at

f

1

)

(

(podobieństwo)

3. Jeżeli

L

[

]

)

(

)

(

s

F

t

f

=

, to

L

[

]

( )

s

F

e

t

t

f

st

0

)

(

0

=

(przesunięcie w argumencie oryginału)

4. Jeżeli

L

[

]

)

(

)

(

s

F

t

f

=

, to

L

[

]

(

)

0

)

(

0

s

s

F

t

f

e

t

s

=

(przesunięcie w argumencie obrazu)


Przykład: Wyznaczyć korzystając z własności:

a)

L

[

]

)

(

1 t

e

at

b)

L

[

]

t

ω

sin

Rozwiązanie:
Ad. a)

Korzystając z przesunięcie w argumencie obrazu oraz

L

[ ]

s

t

1

)

(

1

=

mamy:

L

[

]

(

)

a

s

a

s

F

t

e

at

=

=

1

)

(

1

Ad. b)
Funkcję

t

ω

sin

należy rozumieć jako

)

(

1

sin

t

t

ω

. Korzystając z liniowości oraz przesunięcia w

argumencie obrazu mamy:

L

[

]

t

ω

sin

=

L

ω

ω

j

e

e

t

j

t

j

2

=

j

2

1

L

[ ]

ωt

j

e

j

2

1

L

[

]

(

)

=

ω

+

ω

+

ω

+

=

ω

+

ω

=

ω

2

2

2

1

2

1

1

2

1

s

j

j

s

j

s

j

s

j

j

s

j

e

t

j

2

2

ω

+

ω

=

s

.


ŻNICZKOWANIE I CAŁKOWANIE ORYGINAŁU I TRANSFORMATY

Tw.1.3. (o różniczkowaniu oryginału)

Jeżeli funkcja

)

(t

f

oraz jej pochodne do rzędu

)

1

( −

n

włącznie są oryginałami, a ponadto istnieje na

przedziale

(

)

+

,

0

ciągła pochodna

( )

)

(t

f

n

, to istnieje transformata Laplace’a tej pochodnej, przy czym

(*)

L

( )

[

]

(

)

( )

=

+

=

n

k

k

k

n

n

n

f

s

s

F

s

t

f

1

1

0

)

(

)

(

,

gdzie

(

)

( )

(

)

( )

t

f

f

k

t

k

1

0

1

lim

0

+

+

=

.


Ze wzoru (*) korzystamy często w przypadkach, gdy

2

lub

1

=

=

n

n

; mamy wówczas:

L

[

]

)

0

(

)

(

)

(

+

=

f

s

F

s

t

f

L

[

]

)

0

(

)

0

(

)

(

)

(

2

+

+

=

′′

f

sf

s

F

s

t

f

background image

309

Tw.1.4. (o różniczkowaniu transformaty)

Jeżeli

L

[

]

)

(

)

(

s

F

t

f

=

, to

L

[

]

( )

n

n

n

n

ds

s

F

d

t

f

t

)

(

1

)

(

=

dla każdego

N

n

.


Tw.1.5. (o całkowaniu oryginału)

Jeżeli

L

[

]

)

(

)

(

s

F

t

f

=

, to

s

s

F

d

f

t

)

(

)

(

0

=

τ

τ

.


Tw.1.6. (o całkowaniu transformaty)

Jeżeli

L

[

]

)

(

)

(

s

F

t

f

=

, to

L

+∞

=

s

ds

s

F

t

t

f

)

(

)

(

.

Przykład: Wyznaczyć transformaty następujących funkcji:

a)

t

t

t

f

ω

= sin

)

(

b)

t

t

t

f

ω

=

sin

)

(

Rozwiązanie:

Ad. a)

Wiemy, że

L

[

]

t

ω

sin

2

2

)

(

ω

+

ω

=

=

s

s

F

.

Korzystając z twierdzenia o różniczkowaniu transformaty mamy:

L

[

]

( )

(

) (

)

2

2

2

2

2

2

1

2

2

)

(

1

sin

ω

+

ω

=

ω

+

ω

=

=

ω

s

s

s

s

s

F

ds

d

t

t

.


Ad. b)

Ponieważ dzieleniu oryginału przez t odpowiada całkowanie transformaty, więc

L

[

]

=

=

ω

+

ω

ω

=

ω

=

ω

=

=

ω

+

ω

=

ω

+

ω

=





ω

ω

β

ω

+∞

β

ω

β

ω

+∞

β

β

+∞

β

+

s

s

s

s

u

u

du

du

ds

u

s

ds

s

ds

s

t

t

arctg

lim

lim

lim

sin

2

2

2

2

2

2

2

2

ω

π

=





ω

ω

β

=

+∞

β

s

s

arctg

2

arctg

arctg

lim



SPLOT FUNKCJI

Def.1.3. (splot funkcji)

Niech

)

(

),

(

2

1

t

f

t

f

będą oryginałami. Splotem funkcji

)

(

i

)

(

2

1

t

f

t

f

nazywamy funkcję

)

(

3

t

f

określoną

wzorem:

τ

τ

τ

=

t

d

t

f

f

t

f

0

2

1

3

)

(

)

(

)

(

i oznaczamy

)

(

*

)

(

)

(

2

1

3

t

f

t

f

t

f

=

.


Tw.1.7.

Splot dwóch oryginałów jest oryginałem.

background image

310

Własności splotu funkcji

1. Splot funkcji jest przemienny:

)

(

*

)

(

)

(

*

)

(

1

2

2

1

t

f

t

f

t

f

t

f

=


2. Splot funkcji jest łączny:

[

]

[

]

)

(

*

)

(

*

)

(

)

(

*

)

(

*

)

(

3

2

1

3

2

1

t

f

t

f

t

f

t

f

t

f

t

f

=


3. Rozdzielność splotu względem dodawania:

[

]

)

(

*

)

(

)

(

*

)

(

)

(

)

(

*

)

(

3

1

2

1

3

2

1

t

f

t

f

t

f

t

f

t

f

t

f

t

f

+

=

+

Przykład: Wyznaczyć splot funkcji

t

e

t

f

t

t

f

=

=

)

(

,

)

(

2

1

.

Rozwiązanie:

Korzystając z Def.1.3 mamy:

(

)

(

)

=





+

=



τ

+

τ

=

τ

τ

=

τ

τ

=

τ

τ

=

τ

τ

τ

τ

τ

τ

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

t

e

te

e

d

e

e

e

d

e

e

d

e

e

d

e

e

t

0

0

0

0

0

0

*

(

)

t

t

t

t

e

t

e

te

e

+

=

+

=

1

1

.


Tw.1.8.(tw. Borela)

Jeżeli

)

(

),

(

2

1

t

f

t

f

są oryginałami, to istnieje transformata Laplace’a ich splotu, przy czym:

L

[

]

=

)

(

*

)

(

2

1

t

f

t

f

L

[

]

)

(

1

t

f

L

[

]

)

(

2

t

f


Przykład: Wyznaczyć transformatę splotu funkcji:

t

e

t

f

t

t

f

=

=

)

(

,

)

(

2

1

.

Rozwiązanie:

Wyznaczamy transformatę:

L

[

]

=

t

e

t

*

L

[ ]

t

L

[ ]

t

e

.

Korzystając z Tw. o różniczkowaniu transformaty mamy:

L

[ ]

t

=

L

[

]

( )

2

1

1

1

)

(

1

s

s

ds

d

t

t

=

=

Ponieważ

L

[

]

a

s

t

e

at

=

1

)

(

1

, więc dla

1

=

a

otrzymamy

L

[ ]

t

e

1

1

=

s

.

Stąd ostatecznie:

L

[

]

2

3

2

1

1

1

1

*

s

s

s

s

e

t

t

=

=

.



TRANSFORMATA FUNKCJI OKRESOWEJ

Tw.1.9. (o transformacie oryginału okresowego)

Jeżeli oryginał

)

(t

f

jest na przedziale

(

)

+∞

,

0

funkcją okresową o okresie T, to jej transformata Laplace’a

jest postaci:

=

T

st

sT

dt

t

f

e

e

s

F

0

)

(

1

1

)

(

background image

311

Przykład: Wyznaczyć transformatę funkcji okresowej

)

(t

f

o okresie T, której wartości w przedziale

T

,

0

dane są wzorem:

<

<

=

<

<

=

=

T

t

T

T

t

A

T

t

A

t

A

t

f

2

1

0

2

1

2

1

2

1

0

0

2

1

)

(

Rozwiązanie:
Na podstawie Tw.1.9 mamy:

L

[

]

=

=

+

=

=

T

st

sT

T

T

st

T

st

sT

T

st

sT

dt

A

e

e

dt

e

dt

A

e

e

dt

t

f

e

e

t

f

2

1

0

2

1

2

1

0

0

1

1

0

1

1

)

(

1

1

)

(

=





=

sT

sT

T

st

sT

e

s

A

e

e

s

A

e

2

1

2

1

0

1

1

1

1

1


Przykład: Wyznaczyć transformatę funkcji

t

t

f

ω

= sin

)

(

.

Rozwiązanie:

Funkcja ta jest funkcją okresową o okresie

ω

π . Ponieważ dla

ω

π

t

0

jest

t

t

ω

=

ω

sin

sin

, więc we

wzorze z Tw.1.9 wstawiamy:

t

t

f

T

ω

=

ω

π

=

sin

)

(

,

.

Zatem otrzymamy:

(

)

[

]

=

ω

ω

ω

ω

+

=

ω

=

ω

π

ω

π

ω

π

ω

π

0

2

2

0

cos

sin

1

1

1

sin

1

1

)

(

t

t

s

e

s

e

dt

e

t

e

s

F

st

s

st

s

+

ω

+

ω

=

ω

π

ω

π

s

s

e

s

e

1

1

1

2

2



2. ODWROTNE PRZEKSZTAŁCENIE LAPLACE’A

WYJAŚNIENIE POJĘCIA

Obok zagadnienia wyznaczania transformat danych funkcji ważnym jest również zagadnienie
znajdowania funkcji, których transformaty są znane

. Zagadnienie to sprowadza się do rozwiązania

równania całkowego postaci

(**)

)

(

)

(

0

s

F

dt

e

t

f

st

=

+∞

,

gdzie

)

(s

F

jest daną funkcją, zaś

)

(t

f

jest funkcją niewiadomą.

Równanie całkowe (**) można również zapisać w postaci następującego równania operatorowego

background image

312


(***)

L

[

]

)

(

)

(

s

F

t

f

=


Jeżeli pewna funkcja

)

(t

f

jest rozwiązaniem równania całkowego (**), a tym samym równania

operatorowego (***), to ten fakt ten będziemy zapisywali

(****)

=

)

(t

f

L

[

]

)

(

1

s

F


Jak widać jeżeli równanie (***) posiada rozwiązanie dla funkcji

)

(s

F

należących do pewnej klasy, to

wzór (****) określa w tej klasie pewne przekształcenie (niekoniecznie jednoznaczne), które będziemy
nazywać odwrotnym przekształceniem Laplace’a.


Przykłady:

a)

Ponieważ

L

[

]

0

Re

,

1

)

(

>

=

s

s

t

1

, zatem

L

)

(

1

1

t

s

1

=





.

b)

Ponieważ

L

[

]

a

s

a

s

t

e

at

Re

Re

,

1

)

(

>

=

1

, zatem

L

)

(

1

1

t

e

a

s

at

1

=





.


Uwaga

: W związku z zagadnieniem wyznaczania transformaty odwrotnej należy rozważyć następujące

problemy:

Dla jakich funkcji istnieje transformata odwrotna (zagadnienie istnienia)?

Czy dla tej samej funkcji może istnieć więcej niż jedna transformata odwrotna (zagadnienie
jednoznaczności)?

W jaki sposób wyznaczyć transformaty odwrotne zadanych funkcji?


Tw.2.1. (o istnieniu odwrotnej transformaty Laplace’a)

Jeżeli funkcja

)

(s

F

określona w półpłaszczyźnie zespolonej

ρ

>

s

Re

spełnia założenia:

1. jest w tej półpłaszczyźnie holomorficzna (tj. w każdym punkcie posiada pochodną

ds

dF ),

2.

0

)

(

lim

Im

=

s

F

s

,

3. całka

+∞

σ

σ

+

d

j

s

F

)

(

jest zbieżna,

to funkcja

+

π

=

j

x

j

x

st

ds

s

F

e

j

t

f

)

(

2

1

)

(

jest transformatą odwrotną funkcji

)

(s

F

. (tzn.

=

)

(t

f

L

[

]

)

(

1

s

F

).

Uwaga

:

)

(

,

)

(

lim

)

(

ρ

>

=

+

+∞

+

x

ds

s

F

e

ds

s

F

e

jT

x

jT

x

st

T

j

x

j

x

st


Dwie funkcje

)

(

i

)

(

t

g

t

f

mają tę samą transformatę Laplace’a

L

[

]

=

)

(t

f

L

[

]

)

(t

g

,

ρ

>

s

Re

, wtedy i tylko

wtedy, gdy są sobie równe prawie wszędzie (tzn. z wyjątkiem skończonej liczby punktów) w przedziale

(

)

+∞

,

0

. Jeśli zatem istnieje jedna transformata odwrotna danej funkcji, to istnieje wiele transformat

odwrotnych tej funkcji, ale tylko jedna z nich może należeć do klasy oryginałów.

background image

313

Tw.2.2. (o jednoznaczności odwrotnego przekształcenia Laplace’a)

Jeżeli funkcja

)

(s

F

mająca w każdym skończonym przedziale pochodną przedziałami ciągłą, jest

transformatą pewnej funkcji

)

(t

f

należącej do klasy oryginałów, to funkcja

)

(t

f

jest jedyną funkcją w

klasie oryginałów, której transformatą jest funkcja

)

(s

F

.


Uwaga

: Przez odwrotną transformatę Laplace’a rozumieć będziemy funkcję należącą do klasy

oryginałów. Wobec tego symbol

L

[

]

)

(

1

s

F

występujący we wzorze (****) oznaczać będzie odtąd tylko

to rozwiązanie równania (***), które jest oryginałem.

Tak rozumianą transformatę odwrotną danej funkcji

)

(s

F

możemy obliczyć posługując się wzorem

+

π

=

j

x

j

x

st

ds

s

F

e

j

t

f

)

(

2

1

)

(

, gdyż obliczając tę całkę otrzymamy: 1°

0

0

)

(

<

=

t

t

f

[

]

R

+

=

+

t

t

f

t

f

t

f

,

)

(

)

(

2

1

)

(


WŁASNOŚCI TRANSFORMATY ODWROTNEJ

1. (Addytywność)
Jeżeli istnieją transformaty odwrotne

L

[

]

)

(

1

s

F

oraz

L

[

]

)

(

1

s

G

to

L

[

]

=

+

)

(

)

(

1

s

G

s

F

L

[

]

)

(

1

s

F

+

L

[

]

)

(

1

s

G

2. (Jednorodność)
Jeżeli istnieje transformata odwrotna

L

[

]

)

(

1

s

F

i a jest dowolną liczbą zespoloną, to

L

[

]

=

a

s

F

a

)

(

1

L

[

]

)

(

1

s

F



OBLICZANIE TRANSFORMATY ODWROTNEJ

W praktyce, jeżeli znamy funkcję

)

(t

f

należącą do klasy oryginałów i znamy transformatę Laplace’a tej

funkcji

=

)

(s

F

L

[

]

)

(t

f

, to szukając transformaty odwrotnej

L

[

]

)

(

1

s

F

nie stosujemy wzoru

+

π

=

j

x

j

x

st

ds

s

F

e

j

t

f

)

(

2

1

)

(

, lecz korzystamy ze związku

=

)

(t

f

L

[

]

)

(

1

s

F

.

Uwaga:

Czynność tę ułatwiają nam tablice najczęściej występujących funkcji oraz ich transformat.

Przykład: Wyznaczyć odwrotną transformatę Laplace’a funkcji

(

)

2

1

)

(

2

+

+

=

s

s

s

s

F

.

Rozwiązanie:

Funkcję

(

)

2

1

2

+

+

s

s

s

rozkładamy na ułamki proste:

(

)

2

2

1

2

2

+

+

+

=

+

+

s

C

s

B

s

A

s

s

s

Wyznaczamy współczynniki rozkładu:

(

)

(

)

2

2

2

1

Cs

s

Bs

s

A

s

+

+

+

+

+

(

)

(

)

A

s

B

A

s

C

B

s

2

2

1

2

+

+

+

+

+

background image

314

Stąd

=

=

+

=

+

1

2

1

2

0

A

B

A

C

B

czyli

=

=

=

4

1

4

1

2

1

C

B

A

.

Zatem

(

)

2

1

4

1

1

4

1

1

2

1

2

1

2

2

+

+

=

+

+

s

s

s

s

s

s

Natomiast

L

[

]

=

)

(

1

s

F

L

(

)

=

+

+

2

1

2

1

s

s

s

2

1

L

+





4

1

1

2

1

s

L





4

1

1

1

s

L

=





+

2

1

1

s

)

(

4

1

4

1

2

1

)

(

4

1

)

(

4

1

)

(

2

1

2

2

t

e

t

t

e

t

t

t

t

t

1

1

1

1





+

=

+

=

.


3. ZASTOSOWANIE TRANSFORMACJI LAPLACE’A DO ROZWIĄZYWANIA RÓWNAŃ
ŻNICZKOWYCH ZWYCZAJNYCH O STAŁYCH WSPÓŁCZYNNIKACH, UKŁADÓW
RÓWNA
ŃŻNICZKOWYCH, RÓWNAŃ CAŁKOWYCH I RÓWNAŃŻNICZKOWO
CAŁKOWYCH

Metoda przekształcenia Laplace’a korzystna jest przy wyznaczaniu rozwiązań równań różniczkowych
liniowych zwyczajnych zwłaszcza w przypadku, gdy są to równania o stałych współczynnikach.
W zasadzie stosując tę metodę wyznaczamy całkę szczególną równania, spełniającą zadane warunki
początkowe. Jeżeli jako warunki początkowe przyjmiemy dowolne stałe – otrzymujemy całkę ogólną.

ALGORYTM ROZWIĄZYWANIA RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH ZWYCZAJNYCH METODĄ
TRANSFORMACJI LAPLACE’A

1.

Znajdujemy transformaty Laplace’a obu stron równania różniczkowego przy uwzględnieniu

warunków początkowych (ułożenie równania dla obrazu);

2.

Rozwiązujemy otrzymane równanie algebraiczne (wyznaczenie obrazu);

3.

Wyznaczamy transformaty odwrotne (obliczenie oryginału).


Przykład: Wyznaczyć rozwiązanie szczególne równania różniczkowego

t

y

y

sin

=

+

przy warunku

początkowym

0

)

0

(

=

+

y

.

Rozwiązanie:
Zakładamy, że równanie to jest tożsamością:

t

t

t

t

y

t

t

y

sin

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

=

+

1

1

1

1. Ułożenie równania dla obrazu
Wyznaczając transformaty obu stron mamy:

L

[

]

=

+

)

(

)

(

)

(

)

(

t

t

y

t

t

y

1

1

L

[

]

t

t

sin

)

( ⋅

1

czyli

L

[

]

+

)

(t

y

L

[

]

=

)

(t

y

L

[

]

t

sin

W oparciu o wzór z Tw.1.3 (o różniczkowaniu oryginału) oraz znaną transformatę funkcji sin t mamy:

1

1

)

(

)

0

(

)

(

2

+

=

+

+

s

s

Y

y

s

sY

Wstawiamy warunek początkowy i otrzymujemy równanie algebraiczne:

background image

315

1

1

)

(

)

(

2

+

=

+

s

s

Y

s

sY

2. Wyznaczenie obrazu

Rozwiązujemy otrzymane równanie algebraiczne:

(

)

1

1

)

(

1

2

+

=

+

s

s

Y

s

czyli

(

)

)

1

(

1

1

)

(

2

+

+

=

s

s

s

Y

Po rozłożeniu na ułamki proste otrzymamy:

1

1

2

1

1

2

1

1

1

2

1

)

(

2

2

+

+

+

+

=

s

s

s

s

s

Y

.

3. Obliczenie oryginału
Stosując odwrotne przekształcenie Laplace’a mamy:

=

)

(

)

(

t

t

y

1

L





+

+

+

+

1

1

2

1

1

2

1

1

1

2

1

2

2

1

s

s

s

s

=

)

(

)

(

t

t

y

1

2

1

L





+

2

1

1

1

1

s

L

+





+

2

1

1

2

1

s

s

L





+

1

1

2

1

s

Korzystając z tablic transformat Laplace’a mamy:

)

(

sin

2

1

cos

2

1

2

1

)

(

sin

2

1

)

(

cos

2

1

)

(

2

1

)

(

)

(

t

t

t

e

t

t

t

t

t

e

t

t

y

t

t

1

1

1

1

1





+

=

+

=


Uwaga

: Rozwiązując równanie różniczkowe metodą operatorową zakładamy na wstępie, że istnieje

rozwiązanie będące oryginałem. Jeżeli po prawej stronie występuje funkcja

)

(t

1

to otrzymane

rozwiązanie istotnie jest oryginałem.(dość często jednak w zapisie pomijamy funkcję jednostkową: np.

t

t

e

t

y

t

sin

2

1

cos

2

1

2

1

)

(

+

=

).


Uwaga

: W przypadku rozwiązywania metodą operatorową układów równań różniczkowych postępujemy

podobnie; dla każdego równania układamy równanie dla obrazu, rozwiązujemy otrzymany układ równań
algebraicznych (wyznaczamy poszczególne obrazy) a następnie wyznaczamy ich transformaty odwrotne.


METODA OPERATOROWA DLA RÓWNAŃ CAŁKOWYCH I RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWO
CAŁKOWYCH

Równaniem całkowym nazywamy równanie, które zawiera szukaną funkcję pod znakiem całki.
Szczególną rolę w zastosowaniach odgrywają równania całkowe liniowe postaci:

τ

τ

τ

+

=

t

t

d

x

t

K

t

f

t

x

a

0

)

(

)

,

(

)

(

)

(

gdzie

)

(t

x

jest szukaną funkcją, zaś

),

(t

f

)

,

( τ

t

K

są funkcjami znanymi,

0

, t

a

to wielkości stałe.


Równanie całkowe tej postaci nazywamy równaniem całkowym Volterry I rodzaju gdy

0

=

a

(niewiadoma występuje tylko pod znakiem całki) i równaniem całkowym Volterry II rodzaju gdy

0

a

(niewiadoma występuje poza całką jako osobny składnik).

Daną funkcję

)

,

( τ

t

K

nazywamy jądrem równania całkowego.

Uwaga

: W poniższych przykładach w zapisie została pominięta funkcja jednostkowa.

background image

316

Przykład: Znaleźć rozwiązanie równania całkowego

τ

τ

τ

=

t

d

x

t

t

t

x

0

)

(

)

cos(

2

cos

)

(

, gdzie

)

(t

x

jest

funkcją niewiadomą.

Rozwiązanie:
Obliczamy transformaty obydwu stron równania

L

[

]

=

)

(t

x

L

[

]

2

cos

t

L



τ

τ

τ

t

d

x

t

0

)

(

)

(

cos

Korzystając z definicji splotu funkcji mamy

L

[

]

=

)

(t

x

L

[

]

2

cos

t

L

[

]

)

(

*

cos

t

x

t

Z tw. Borela o splocie wynika, że

L

[

]

=

)

(t

x

L

[

]

2

cos

t

L

[

]

t

cos

L

[

]

)

(t

x

Stąd

)

(

1

2

1

)

(

2

2

s

X

s

s

s

s

s

X

+

+

=

Zatem po przekształceniach równanie obrazu jest następujące:

2

)

1

(

)

(

+

=

s

s

s

X

.

Wyznaczamy oryginał korzystając z transformaty odwrotnej i tablicy transformat

=

)

(t

x

L

t

e

t

s

s

=

+

)

1

(

)

1

(

2

1

.


Ostatecznie

=

)

(t

x

t

e

t

− )

1

(

.

Przykład: Rozwiązać równanie różniczkowo – całkowe

[

]

=

τ

τ

τ

+

t

d

x

t

dt

dx

0

0

)

(

2

)

cos(

, gdy

4

)

0

( =

x

.

Rozwiązanie:
Po przekształceniu równanie ma postać:

=

τ

τ

τ

τ

τ

+

t

t

d

x

d

t

x

t

x

0

0

0

)

(

2

)

cos(

)

(

)

(

Korzystając z definicji splotu mamy

τ

τ

=

+

t

d

x

t

t

x

t

x

0

)

(

2

cos

*

)

(

)

(

Obliczamy transformaty obu stron równania

L

[

]

+

)

(t

x

L

[

]

2

cos

*

)

(

=

t

t

x

L



τ

τ

t

d

x

0

)

(

Korzystając z tw. Borela, o różniczkowaniu oryginału i o całkowaniu oryginału otrzymujemy

background image

317

s

s

X

s

s

s

X

x

s

sX

)

(

2

1

)

(

)

0

(

)

(

2

=

+

+

+

Po wstawieniu warunku początkowego mamy

)

(

1

2

1

)

(

4

)

(

2

s

X

s

s

s

s

X

s

sX

=

+

+

4

2

1

)

(

2

=

+

+

s

s

s

s

s

X

Stąd po przekształceniach otrzymujemy następujące równanie obrazu:

2

4

)

(

4

3

+

=

s

s

s

s

X

.

Aby skorzystać z tablicy transformat otrzymaną transformatę przedstawiamy następująco

( )

( )

4

4

4

4

4

4

3

2

2

2

1

4

2

4

)

(

+

=

s

s

s

s

s

X

Stąd

4

)

( =

t

x

L

( )

2

1

4

2

4

4

4

3

1

+



s

s

L

( )



4

4

4

1

2

2

s

s

(

)

(

)

t

t

t

t

t

x

4

4

4

4

2

cos

2

cosh

2

1

2

4

2

cos

2

cosh

2

1

4

)

(

+

+

=

Ostatecznie

(

)

(

)

t

t

t

x

4

4

2

cos

2

2

2

cosh

2

2

)

(

+

+

=





















background image

318

TABLICE PODSTAWOWYCH TRANSFORMAT LAPLACE’A


Lp.

Oryginał

)

(t

f

Transformata

)

(s

F

1.

)

(t

1

s

1

2.

at

e

a

s

1

3.

a

t

e

a

1

as

+

1

1

4.

n

t

1

!

+

n

s

n

5.

bt

sin

2

2

b

s

b

+

6.

bt

e

at

sin

(

)

2

2

b

a

s

b

+

+

7.

bt

sinh

2

2

b

s

b

8.

bt

e

at

sinh

(

)

2

2

b

a

s

b

+

9.

(

)

1

1

at

e

a

)

(

1

a

s

s

10.

a

t

e

1

)

1

(

1

as

s

+

11.

at

e

t

2

)

(

1

a

s

12.

a

t

e

t

a

2

1

2

)

1

(

1

as

+

13.

b

a

e

e

bt

at

)

)(

(

1

b

s

a

s

14.

bt

cos

2

2

b

s

s

+

15.

bt

e

at

cos

(

)

2

2

b

a

s

a

s

+

+

+

16.

bt

cosh

2

2

b

s

s

17.

bt

e

at

cosh

(

)

2

2

b

a

s

a

s

+

+

18.

at

e

at

)

1

( +

2

)

(

a

s

s



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Microsoft Word W25 elementy rach operatorowego
Microsoft Word W24 Funkcje zespolone
Microsoft Word L22 elementy teorii pola wektorowego
Microsoft Word W22 Elementy teorii pola wektorowego
Nowy element Dokument Microsoft Word
Nowy element Dokument Microsoft Word
Microsoft Word W8 Regula dH Elementy przebiegu
Microsoft Word W14 Szeregi Fouriera
referat koszty wytworzenia Word 97 gotowe, Rachunkowosc zarzadcza
New Microsoft Word Document (2)
Nowy Dokument programu Microsoft Word (5)
Nowy Dokument programu Microsoft Word
Nowy Dokument programu Microsoft Word
Microsoft Word zrodla infor I czesc pprawiona 2 do wydr
Microsoft Word PARAMETRY KOMPUTERÓW mój
Nowy Dokument programu Microsoft Word

więcej podobnych podstron