306
WYKŁAD Nr 24
ELEMENTY RACHUNKU OPERATOROWEGO
1. PRZEKSZTAŁCENIE LAPLACE’A
Def.1.1. (oryginał)
Funkcję zmiennej rzeczywistej
)
(t
f
nazywamy oryginałem (laplace’owskim), jeśli spełnia następujące
warunki:
1°
0
)
(
0
=
<
∀
t
f
t
2°
)
(t
f
spełnia pierwszy i drugi warunek Dirichleta w każdym skończonym przedziale
T
,
0
,
0
>
T
tj.
•
)
(t
f
przedziałami monotoniczna na przedziale
T
,
0
tj. przedział ten można podzielić na skończoną liczbę podprzedziałów, wewnątrz których
funkcja
)
(t
f
jest monotoniczna;
•
)
(t
f
jest ciągła na przedziale
T
,
0
, z wyjątkiem, co najwyżej skończonej liczby punktów nieciągłości pierwszego rodzaju, przy czym w
każdym punkcie nieciągłości
0
t
spełniony jest warunek:
+
=
+
→
−
→
)
(
lim
)
(
lim
2
1
)
(
0
0
0
t
f
t
f
t
f
t
t
t
t
3°
t
Me
t
f
t
M
ρ
≤
≥
∀
≥
ρ
∃
>
∃
)
(
0
0
0
Przykład: Sprawdzić, czy funkcja
>
=
<
=
0
0
2
1
0
0
)
(
t
e
t
t
t
f
t
jest oryginałem.
Rozwiązanie:
Wykres funkcji przedstawiono na Rys.1 (pogrubiona linia ciągła).
Rys.1.
Podana funkcja spełnia pierwszy i drugi warunek Dirichleta na przedziale
)
∞
+
,
0
. Istnieją również stałe
ρ
,
M
(np.
2
,
1
=
ρ
=
M
), dla których spełniony jest warunek 3° Def.1.1. Ze wzoru funkcji wynika, że dla
0
)
(
0
=
<
t
f
t
.
Def.1.2. (przekształcenie Laplace’a, transformata Laplace’a)
Transformatą Laplace’a
funkcji
)
(t
f
nazywamy funkcję
)
(s
F
zmiennej zespolonej określoną
następująco:
∫
+∞
−
=
0
)
(
)
(
dt
e
t
f
s
F
st
i oznaczamy
L
[
]
)
(t
f
.
t
f
(t)
1
t
e
t
e
2
307
Tw.1.1. (o zbieżności całki Laplace’a)
Całka Laplace’a
∫
+∞
−
0
)
(
dt
e
t
f
st
jest zbieżna dla
ρ
<
x
, natomiast rozbieżna dla
ρ
≥
x
.
Uzasadnienie:
Badamy zbieżność:
∫
∫
∫
β
−
+∞
→
β
β
−
+∞
→
β
+∞
−
⋅
≤
=
0
0
0
)
(
lim
)
(
lim
)
(
dt
e
t
f
dt
e
t
f
dt
e
t
f
st
st
st
Funkcja
)
(t
f
jest oryginałem, więc
t
Me
t
f
ρ
≤
)
(
, ponadto ze wzorów Eulera zakładając
jy
x
s
+
=
mamy
(
)
tx
tx
jty
tx
st
e
ty
j
ty
e
e
e
−
−
−
−
−
=
−
=
=
sin
cos
.
Zatem otrzymamy
(
)
(
)
=
−
ρ
=
=
≤
β
−
ρ
+∞
→
β
β
−
ρ
+∞
→
β
β
−
ρ
+∞
→
β
β
−
+∞
→
β
∫
∫
∫
0
0
0
0
lim
lim
lim
)
(
lim
x
t
x
t
tx
t
st
e
x
M
dt
e
M
dt
e
Me
dt
e
t
f
(
)
(
)
1
lim
−
−
ρ
=
−
ρ
β
+∞
→
β
x
e
x
M
.
Granica ta istnieje przy założeniu, że
0
<
−
ρ
x
, czyli
ρ
>
x
.
Tw.1.2.
Jeżeli
)
(t
f
jest oryginałem, to transformata
)
(s
F
istnieje na półpłaszczyźnie
ρ
>
s
Re
.
Przykład: Wyznaczyć transformatę funkcji:
a) funkcji jednostkowej
>
=
<
=
0
1
0
2
1
0
0
)
(
1
t
t
t
t
b) funkcji wykładniczej
)
(
1 t
e
at
⋅
Rozwiązanie: Korzystamy z Def.1.2.
Ad a)
β
−
+∞
→
β
β
−
+∞
→
β
β
−
+∞
→
β
+∞
−
+∞
−
−
=
−
=
=
⋅
=
⋅
∫
∫
∫
s
st
st
st
st
e
s
s
e
s
dt
e
dt
e
dt
e
t
lim
1
1
1
lim
lim
1
)
(
1
0
0
0
0
Ponieważ
0
Re
gdy
,
0
lim
>
=
β
−
+∞
→
β
s
e
s
(uzasadnienie tego znajduje się poniżej).
Niech
0
, >
+
=
x
jy
x
s
. Stąd
(
)
0
lim
sin
cos
lim
lim
lim
=
=
β
−
β
=
=
β
−
+∞
→
β
β
−
+∞
→
β
β
−
β
−
+∞
→
β
β
−
+∞
→
β
x
x
y
j
x
s
e
y
j
y
e
e
e
Zatem skoro
0
lim
=
β
−
+∞
→
β
s
e
, to
0
lim
=
β
−
+∞
→
β
s
e
.
Ostatecznie:
L
[ ]
s
t
1
)
(
1
=
Ad. b)
(
)
(
)
(
)
(
)
s
a
s
a
t
s
a
t
s
a
t
st
at
e
s
a
a
s
e
s
a
dt
e
dt
e
dt
e
t
e
−
β
+∞
→
β
β
−
+∞
→
β
β
−
+∞
→
β
+∞
−
+∞
−
−
−
−
=
−
=
=
=
⋅
⋅
∫
∫
∫
lim
1
1
1
lim
lim
)
(
1
0
0
0
0
308
Analogicznie jak poprzednio:
(
)
a
s
e
s
a
Re
Re
dla
0
lim
>
=
−
β
+∞
→
β
.
Zatem
L
[
]
a
s
t
e
at
−
=
⋅
1
)
(
1
.
Własności transformacji Laplace’a
Niech
)
(
),
(
t
g
t
f
– oryginały,
b
a
, – dowolne stałe,
0
t
– liczba rzeczywista,
0
s
– liczba zespolona.
Wówczas
1.
L
[
]
=
+
)
(
)
(
t
bg
t
af
a
L
[
]
)
(t
f
+b
L
[
]
)
(t
g
(liniowość przekształcenia Laplace’a)
2. Jeżeli
L
[
]
)
(
)
(
s
F
t
f
=
, to
L
[
]
=
a
s
F
a
at
f
1
)
(
(podobieństwo)
3. Jeżeli
L
[
]
)
(
)
(
s
F
t
f
=
, to
L
[
]
( )
s
F
e
t
t
f
st
0
)
(
0
−
=
−
(przesunięcie w argumencie oryginału)
4. Jeżeli
L
[
]
)
(
)
(
s
F
t
f
=
, to
L
[
]
(
)
0
)
(
0
s
s
F
t
f
e
t
s
−
=
(przesunięcie w argumencie obrazu)
Przykład: Wyznaczyć korzystając z własności:
a)
L
[
]
)
(
1 t
e
at
⋅
b)
L
[
]
t
ω
sin
Rozwiązanie:
Ad. a)
Korzystając z przesunięcie w argumencie obrazu oraz
L
[ ]
s
t
1
)
(
1
=
mamy:
L
[
]
(
)
a
s
a
s
F
t
e
at
−
=
−
=
⋅
1
)
(
1
Ad. b)
Funkcję
t
ω
sin
należy rozumieć jako
)
(
1
sin
t
t
⋅
ω
. Korzystając z liniowości oraz przesunięcia w
argumencie obrazu mamy:
L
[
]
t
ω
sin
=
L
−
ω
−
ω
j
e
e
t
j
t
j
2
=
j
2
1
L
[ ]
−
ωt
j
e
j
2
1
L
[
]
(
)
=
ω
+
ω
+
−
ω
+
=
ω
+
⋅
−
ω
−
⋅
=
ω
−
2
2
2
1
2
1
1
2
1
s
j
j
s
j
s
j
s
j
j
s
j
e
t
j
2
2
ω
+
ω
=
s
.
RÓŻNICZKOWANIE I CAŁKOWANIE ORYGINAŁU I TRANSFORMATY
Tw.1.3. (o różniczkowaniu oryginału)
Jeżeli funkcja
)
(t
f
oraz jej pochodne do rzędu
)
1
( −
n
włącznie są oryginałami, a ponadto istnieje na
przedziale
(
)
∞
+
,
0
ciągła pochodna
( )
)
(t
f
n
, to istnieje transformata Laplace’a tej pochodnej, przy czym
(*)
L
( )
[
]
(
)
( )
∑
=
+
−
−
−
=
n
k
k
k
n
n
n
f
s
s
F
s
t
f
1
1
0
)
(
)
(
,
gdzie
(
)
( )
(
)
( )
t
f
f
k
t
k
1
0
1
lim
0
−
→
+
−
+
=
.
Ze wzoru (*) korzystamy często w przypadkach, gdy
2
lub
1
=
=
n
n
; mamy wówczas:
L
[
]
)
0
(
)
(
)
(
+
−
⋅
=
′
f
s
F
s
t
f
L
[
]
)
0
(
)
0
(
)
(
)
(
2
+
+
′
−
−
⋅
=
′′
f
sf
s
F
s
t
f
309
Tw.1.4. (o różniczkowaniu transformaty)
Jeżeli
L
[
]
)
(
)
(
s
F
t
f
=
, to
L
[
]
( )
n
n
n
n
ds
s
F
d
t
f
t
)
(
1
)
(
⋅
−
=
⋅
dla każdego
N
∈
n
.
Tw.1.5. (o całkowaniu oryginału)
Jeżeli
L
[
]
)
(
)
(
s
F
t
f
=
, to
s
s
F
d
f
t
)
(
)
(
0
=
τ
τ
∫
.
Tw.1.6. (o całkowaniu transformaty)
Jeżeli
L
[
]
)
(
)
(
s
F
t
f
=
, to
L
∫
+∞
=
s
ds
s
F
t
t
f
)
(
)
(
.
Przykład: Wyznaczyć transformaty następujących funkcji:
a)
t
t
t
f
ω
= sin
)
(
b)
t
t
t
f
ω
=
sin
)
(
Rozwiązanie:
Ad. a)
Wiemy, że
L
[
]
t
ω
sin
2
2
)
(
ω
+
ω
=
=
s
s
F
.
Korzystając z twierdzenia o różniczkowaniu transformaty mamy:
L
[
]
( )
(
) (
)
2
2
2
2
2
2
1
2
2
)
(
1
sin
ω
+
ω
=
ω
+
ω
−
−
=
⋅
−
=
ω
⋅
s
s
s
s
s
F
ds
d
t
t
.
Ad. b)
Ponieważ dzieleniu oryginału przez t odpowiada całkowanie transformaty, więc
L
[
]
=
=
ω
+
ω
ω
=
ω
=
ω
=
=
ω
+
ω
=
ω
+
ω
=
ω
ω
β
ω
+∞
→
β
ω
β
ω
+∞
→
β
β
+∞
→
β
∞
+
∫
∫
∫
s
s
s
s
u
u
du
du
ds
u
s
ds
s
ds
s
t
t
arctg
lim
lim
lim
sin
2
2
2
2
2
2
2
2
ω
−
π
=
ω
−
ω
β
=
+∞
→
β
s
s
arctg
2
arctg
arctg
lim
SPLOT FUNKCJI
Def.1.3. (splot funkcji)
Niech
)
(
),
(
2
1
t
f
t
f
będą oryginałami. Splotem funkcji
)
(
i
)
(
2
1
t
f
t
f
nazywamy funkcję
)
(
3
t
f
określoną
wzorem:
∫
τ
τ
−
τ
=
t
d
t
f
f
t
f
0
2
1
3
)
(
)
(
)
(
i oznaczamy
)
(
*
)
(
)
(
2
1
3
t
f
t
f
t
f
=
.
Tw.1.7.
Splot dwóch oryginałów jest oryginałem.
310
Własności splotu funkcji
1. Splot funkcji jest przemienny:
)
(
*
)
(
)
(
*
)
(
1
2
2
1
t
f
t
f
t
f
t
f
=
2. Splot funkcji jest łączny:
[
]
[
]
)
(
*
)
(
*
)
(
)
(
*
)
(
*
)
(
3
2
1
3
2
1
t
f
t
f
t
f
t
f
t
f
t
f
=
3. Rozdzielność splotu względem dodawania:
[
]
)
(
*
)
(
)
(
*
)
(
)
(
)
(
*
)
(
3
1
2
1
3
2
1
t
f
t
f
t
f
t
f
t
f
t
f
t
f
+
=
+
Przykład: Wyznaczyć splot funkcji
t
e
t
f
t
t
f
=
=
)
(
,
)
(
2
1
.
Rozwiązanie:
Korzystając z Def.1.3 mamy:
(
)
(
)
=
−
+
−
=
τ
+
τ
−
=
τ
τ
=
τ
τ
=
τ
τ
=
τ
−
−
τ
−
τ
−
τ
−
τ
−
τ
−
∫
∫
∫
∫
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
e
te
e
d
e
e
e
d
e
e
d
e
e
d
e
e
t
0
0
0
0
0
0
*
(
)
t
t
t
t
e
t
e
te
e
+
−
−
=
+
−
−
=
−
−
1
1
.
Tw.1.8.(tw. Borela)
Jeżeli
)
(
),
(
2
1
t
f
t
f
są oryginałami, to istnieje transformata Laplace’a ich splotu, przy czym:
L
[
]
=
)
(
*
)
(
2
1
t
f
t
f
L
[
]
⋅
)
(
1
t
f
L
[
]
)
(
2
t
f
Przykład: Wyznaczyć transformatę splotu funkcji:
t
e
t
f
t
t
f
=
=
)
(
,
)
(
2
1
.
Rozwiązanie:
Wyznaczamy transformatę:
L
[
]
=
t
e
t
*
L
[ ]
⋅
t
L
[ ]
t
e
.
Korzystając z Tw. o różniczkowaniu transformaty mamy:
L
[ ]
t
=
L
[
]
( )
2
1
1
1
)
(
1
s
s
ds
d
t
t
=
⋅
−
=
⋅
Ponieważ
L
[
]
a
s
t
e
at
−
=
⋅
1
)
(
1
, więc dla
1
=
a
otrzymamy
L
[ ]
t
e
1
1
−
=
s
.
Stąd ostatecznie:
L
[
]
2
3
2
1
1
1
1
*
s
s
s
s
e
t
t
−
=
−
⋅
=
.
TRANSFORMATA FUNKCJI OKRESOWEJ
Tw.1.9. (o transformacie oryginału okresowego)
Jeżeli oryginał
)
(t
f
jest na przedziale
(
)
+∞
,
0
funkcją okresową o okresie T, to jej transformata Laplace’a
jest postaci:
∫
−
−
−
=
T
st
sT
dt
t
f
e
e
s
F
0
)
(
1
1
)
(
311
Przykład: Wyznaczyć transformatę funkcji okresowej
)
(t
f
o okresie T, której wartości w przedziale
T
,
0
dane są wzorem:
<
<
=
<
<
=
=
T
t
T
T
t
A
T
t
A
t
A
t
f
2
1
0
2
1
2
1
2
1
0
0
2
1
)
(
Rozwiązanie:
Na podstawie Tw.1.9 mamy:
L
[
]
=
−
=
⋅
+
−
=
−
=
∫
∫
∫
∫
−
−
−
−
−
−
−
T
st
sT
T
T
st
T
st
sT
T
st
sT
dt
A
e
e
dt
e
dt
A
e
e
dt
t
f
e
e
t
f
2
1
0
2
1
2
1
0
0
1
1
0
1
1
)
(
1
1
)
(
−
⋅
−
=
−
−
=
−
−
−
−
sT
sT
T
st
sT
e
s
A
e
e
s
A
e
2
1
2
1
0
1
1
1
1
1
Przykład: Wyznaczyć transformatę funkcji
t
t
f
ω
= sin
)
(
.
Rozwiązanie:
Funkcja ta jest funkcją okresową o okresie
ω
π . Ponieważ dla
ω
π
≤
≤ t
0
jest
t
t
ω
=
ω
sin
sin
, więc we
wzorze z Tw.1.9 wstawiamy:
t
t
f
T
ω
=
ω
π
=
sin
)
(
,
.
Zatem otrzymamy:
(
)
[
]
=
ω
ω
−
ω
−
ω
+
⋅
−
=
⋅
ω
−
=
ω
π
−
ω
π
−
ω
π
−
ω
π
−
∫
0
2
2
0
cos
sin
1
1
1
sin
1
1
)
(
t
t
s
e
s
e
dt
e
t
e
s
F
st
s
st
s
+
ω
+
ω
⋅
−
=
ω
π
−
ω
π
−
s
s
e
s
e
1
1
1
2
2
2. ODWROTNE PRZEKSZTAŁCENIE LAPLACE’A
WYJAŚNIENIE POJĘCIA
Obok zagadnienia wyznaczania transformat danych funkcji ważnym jest również zagadnienie
znajdowania funkcji, których transformaty są znane
. Zagadnienie to sprowadza się do rozwiązania
równania całkowego postaci
(**)
)
(
)
(
0
s
F
dt
e
t
f
st
=
∫
+∞
−
,
gdzie
)
(s
F
jest daną funkcją, zaś
)
(t
f
jest funkcją niewiadomą.
Równanie całkowe (**) można również zapisać w postaci następującego równania operatorowego
312
(***)
L
[
]
)
(
)
(
s
F
t
f
=
Jeżeli pewna funkcja
)
(t
f
jest rozwiązaniem równania całkowego (**), a tym samym równania
operatorowego (***), to ten fakt ten będziemy zapisywali
(****)
=
)
(t
f
L
[
]
)
(
1
s
F
−
Jak widać jeżeli równanie (***) posiada rozwiązanie dla funkcji
)
(s
F
należących do pewnej klasy, to
wzór (****) określa w tej klasie pewne przekształcenie (niekoniecznie jednoznaczne), które będziemy
nazywać odwrotnym przekształceniem Laplace’a.
Przykłady:
a)
Ponieważ
L
[
]
0
Re
,
1
)
(
>
=
s
s
t
1
, zatem
L
)
(
1
1
t
s
1
=
−
.
b)
Ponieważ
L
[
]
a
s
a
s
t
e
at
Re
Re
,
1
)
(
>
−
=
⋅ 1
, zatem
L
)
(
1
1
t
e
a
s
at
1
⋅
=
−
−
.
Uwaga
: W związku z zagadnieniem wyznaczania transformaty odwrotnej należy rozważyć następujące
problemy:
Dla jakich funkcji istnieje transformata odwrotna (zagadnienie istnienia)?
Czy dla tej samej funkcji może istnieć więcej niż jedna transformata odwrotna (zagadnienie
jednoznaczności)?
W jaki sposób wyznaczyć transformaty odwrotne zadanych funkcji?
Tw.2.1. (o istnieniu odwrotnej transformaty Laplace’a)
Jeżeli funkcja
)
(s
F
określona w półpłaszczyźnie zespolonej
ρ
>
s
Re
spełnia założenia:
1. jest w tej półpłaszczyźnie holomorficzna (tj. w każdym punkcie posiada pochodną
ds
dF ),
2.
0
)
(
lim
Im
=
∞
→
s
F
s
,
3. całka
∫
+∞
∞
−
σ
σ
+
d
j
s
F
)
(
jest zbieżna,
to funkcja
∫
∞
+
∞
−
π
=
j
x
j
x
st
ds
s
F
e
j
t
f
)
(
2
1
)
(
jest transformatą odwrotną funkcji
)
(s
F
. (tzn.
=
)
(t
f
L
[
]
)
(
1
s
F
−
).
Uwaga
:
)
(
,
)
(
lim
)
(
ρ
>
=
∫
∫
+
−
+∞
→
∞
+
∞
−
x
ds
s
F
e
ds
s
F
e
jT
x
jT
x
st
T
j
x
j
x
st
Dwie funkcje
)
(
i
)
(
t
g
t
f
mają tę samą transformatę Laplace’a
L
[
]
=
)
(t
f
L
[
]
)
(t
g
,
ρ
>
s
Re
, wtedy i tylko
wtedy, gdy są sobie równe prawie wszędzie (tzn. z wyjątkiem skończonej liczby punktów) w przedziale
(
)
+∞
,
0
. Jeśli zatem istnieje jedna transformata odwrotna danej funkcji, to istnieje wiele transformat
odwrotnych tej funkcji, ale tylko jedna z nich może należeć do klasy oryginałów.
313
Tw.2.2. (o jednoznaczności odwrotnego przekształcenia Laplace’a)
Jeżeli funkcja
)
(s
F
mająca w każdym skończonym przedziale pochodną przedziałami ciągłą, jest
transformatą pewnej funkcji
)
(t
f
należącej do klasy oryginałów, to funkcja
)
(t
f
jest jedyną funkcją w
klasie oryginałów, której transformatą jest funkcja
)
(s
F
.
Uwaga
: Przez odwrotną transformatę Laplace’a rozumieć będziemy funkcję należącą do klasy
oryginałów. Wobec tego symbol
L
[
]
)
(
1
s
F
−
występujący we wzorze (****) oznaczać będzie odtąd tylko
to rozwiązanie równania (***), które jest oryginałem.
Tak rozumianą transformatę odwrotną danej funkcji
)
(s
F
możemy obliczyć posługując się wzorem
∫
∞
+
∞
−
π
=
j
x
j
x
st
ds
s
F
e
j
t
f
)
(
2
1
)
(
, gdyż obliczając tę całkę otrzymamy: 1°
0
0
)
(
<
=
t
t
f
2°
[
]
R
∈
+
=
+
−
t
t
f
t
f
t
f
,
)
(
)
(
2
1
)
(
WŁASNOŚCI TRANSFORMATY ODWROTNEJ
1. (Addytywność)
Jeżeli istnieją transformaty odwrotne
L
[
]
)
(
1
s
F
−
oraz
L
[
]
)
(
1
s
G
−
to
L
[
]
=
+
−
)
(
)
(
1
s
G
s
F
L
[
]
)
(
1
s
F
−
+
L
[
]
)
(
1
s
G
−
2. (Jednorodność)
Jeżeli istnieje transformata odwrotna
L
[
]
)
(
1
s
F
−
i a jest dowolną liczbą zespoloną, to
L
[
]
⋅
=
⋅
−
a
s
F
a
)
(
1
L
[
]
)
(
1
s
F
−
OBLICZANIE TRANSFORMATY ODWROTNEJ
W praktyce, jeżeli znamy funkcję
)
(t
f
należącą do klasy oryginałów i znamy transformatę Laplace’a tej
funkcji
=
)
(s
F
L
[
]
)
(t
f
, to szukając transformaty odwrotnej
L
[
]
)
(
1
s
F
−
nie stosujemy wzoru
∫
∞
+
∞
−
π
=
j
x
j
x
st
ds
s
F
e
j
t
f
)
(
2
1
)
(
, lecz korzystamy ze związku
=
)
(t
f
L
[
]
)
(
1
s
F
−
.
Uwaga:
Czynność tę ułatwiają nam tablice najczęściej występujących funkcji oraz ich transformat.
Przykład: Wyznaczyć odwrotną transformatę Laplace’a funkcji
(
)
2
1
)
(
2
+
+
=
s
s
s
s
F
.
Rozwiązanie:
Funkcję
(
)
2
1
2
+
+
s
s
s
rozkładamy na ułamki proste:
(
)
2
2
1
2
2
+
+
+
=
+
+
s
C
s
B
s
A
s
s
s
Wyznaczamy współczynniki rozkładu:
(
)
(
)
2
2
2
1
Cs
s
Bs
s
A
s
+
+
+
+
≡
+
(
)
(
)
A
s
B
A
s
C
B
s
2
2
1
2
+
+
+
+
≡
+
314
Stąd
=
=
+
=
+
1
2
1
2
0
A
B
A
C
B
czyli
−
=
=
=
4
1
4
1
2
1
C
B
A
.
Zatem
(
)
2
1
4
1
1
4
1
1
2
1
2
1
2
2
+
⋅
−
⋅
+
⋅
=
+
+
s
s
s
s
s
s
Natomiast
L
[
]
=
−
)
(
1
s
F
L
(
)
=
+
+
−
2
1
2
1
s
s
s
⋅
2
1
L
⋅
+
−
4
1
1
2
1
s
L
⋅
−
−
4
1
1
1
s
L
=
+
−
2
1
1
s
)
(
4
1
4
1
2
1
)
(
4
1
)
(
4
1
)
(
2
1
2
2
t
e
t
t
e
t
t
t
t
t
1
1
1
1
⋅
−
+
=
⋅
−
⋅
+
⋅
=
−
−
.
3. ZASTOSOWANIE TRANSFORMACJI LAPLACE’A DO ROZWIĄZYWANIA RÓWNAŃ
RÓŻNICZKOWYCH ZWYCZAJNYCH O STAŁYCH WSPÓŁCZYNNIKACH, UKŁADÓW
RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH, RÓWNAŃ CAŁKOWYCH I RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWO
CAŁKOWYCH
Metoda przekształcenia Laplace’a korzystna jest przy wyznaczaniu rozwiązań równań różniczkowych
liniowych zwyczajnych zwłaszcza w przypadku, gdy są to równania o stałych współczynnikach.
W zasadzie stosując tę metodę wyznaczamy całkę szczególną równania, spełniającą zadane warunki
początkowe. Jeżeli jako warunki początkowe przyjmiemy dowolne stałe – otrzymujemy całkę ogólną.
ALGORYTM ROZWIĄZYWANIA RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH ZWYCZAJNYCH METODĄ
TRANSFORMACJI LAPLACE’A
1.
Znajdujemy transformaty Laplace’a obu stron równania różniczkowego przy uwzględnieniu
warunków początkowych (ułożenie równania dla obrazu);
2.
Rozwiązujemy otrzymane równanie algebraiczne (wyznaczenie obrazu);
3.
Wyznaczamy transformaty odwrotne (obliczenie oryginału).
Przykład: Wyznaczyć rozwiązanie szczególne równania różniczkowego
t
y
y
sin
=
+
′
przy warunku
początkowym
0
)
0
(
=
+
y
.
Rozwiązanie:
Zakładamy, że równanie to jest tożsamością:
t
t
t
t
y
t
t
y
sin
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
⋅
=
⋅
+
⋅
′
1
1
1
1. Ułożenie równania dla obrazu
Wyznaczając transformaty obu stron mamy:
L
[
]
=
⋅
+
⋅
′
)
(
)
(
)
(
)
(
t
t
y
t
t
y
1
1
L
[
]
t
t
sin
)
( ⋅
1
czyli
L
[
]
+
′
)
(t
y
L
[
]
=
)
(t
y
L
[
]
t
sin
W oparciu o wzór z Tw.1.3 (o różniczkowaniu oryginału) oraz znaną transformatę funkcji sin t mamy:
1
1
)
(
)
0
(
)
(
2
+
=
+
−
+
s
s
Y
y
s
sY
Wstawiamy warunek początkowy i otrzymujemy równanie algebraiczne:
315
1
1
)
(
)
(
2
+
=
+
s
s
Y
s
sY
2. Wyznaczenie obrazu
Rozwiązujemy otrzymane równanie algebraiczne:
(
)
1
1
)
(
1
2
+
=
+
s
s
Y
s
czyli
(
)
)
1
(
1
1
)
(
2
+
+
=
s
s
s
Y
Po rozłożeniu na ułamki proste otrzymamy:
1
1
2
1
1
2
1
1
1
2
1
)
(
2
2
+
⋅
+
+
⋅
−
+
⋅
=
s
s
s
s
s
Y
.
3. Obliczenie oryginału
Stosując odwrotne przekształcenie Laplace’a mamy:
=
⋅
)
(
)
(
t
t
y
1
L
+
⋅
+
+
⋅
−
+
⋅
−
1
1
2
1
1
2
1
1
1
2
1
2
2
1
s
s
s
s
=
⋅
)
(
)
(
t
t
y
1
⋅
2
1
L
⋅
−
+
−
2
1
1
1
1
s
L
⋅
+
+
−
2
1
1
2
1
s
s
L
+
−
1
1
2
1
s
Korzystając z tablic transformat Laplace’a mamy:
)
(
sin
2
1
cos
2
1
2
1
)
(
sin
2
1
)
(
cos
2
1
)
(
2
1
)
(
)
(
t
t
t
e
t
t
t
t
t
e
t
t
y
t
t
1
1
1
1
1
⋅
+
−
=
⋅
+
⋅
−
⋅
=
⋅
−
−
Uwaga
: Rozwiązując równanie różniczkowe metodą operatorową zakładamy na wstępie, że istnieje
rozwiązanie będące oryginałem. Jeżeli po prawej stronie występuje funkcja
)
(t
1
to otrzymane
rozwiązanie istotnie jest oryginałem.(dość często jednak w zapisie pomijamy funkcję jednostkową: np.
t
t
e
t
y
t
sin
2
1
cos
2
1
2
1
)
(
+
−
=
−
).
Uwaga
: W przypadku rozwiązywania metodą operatorową układów równań różniczkowych postępujemy
podobnie; dla każdego równania układamy równanie dla obrazu, rozwiązujemy otrzymany układ równań
algebraicznych (wyznaczamy poszczególne obrazy) a następnie wyznaczamy ich transformaty odwrotne.
METODA OPERATOROWA DLA RÓWNAŃ CAŁKOWYCH I RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWO
CAŁKOWYCH
Równaniem całkowym nazywamy równanie, które zawiera szukaną funkcję pod znakiem całki.
Szczególną rolę w zastosowaniach odgrywają równania całkowe liniowe postaci:
∫
τ
τ
⋅
τ
+
=
⋅
t
t
d
x
t
K
t
f
t
x
a
0
)
(
)
,
(
)
(
)
(
gdzie
)
(t
x
jest szukaną funkcją, zaś
),
(t
f
)
,
( τ
t
K
są funkcjami znanymi,
0
, t
a
to wielkości stałe.
Równanie całkowe tej postaci nazywamy równaniem całkowym Volterry I rodzaju gdy
0
=
a
(niewiadoma występuje tylko pod znakiem całki) i równaniem całkowym Volterry II rodzaju gdy
0
≠
a
(niewiadoma występuje poza całką jako osobny składnik).
Daną funkcję
)
,
( τ
t
K
nazywamy jądrem równania całkowego.
Uwaga
: W poniższych przykładach w zapisie została pominięta funkcja jednostkowa.
316
Przykład: Znaleźć rozwiązanie równania całkowego
∫
τ
τ
⋅
τ
−
−
=
t
d
x
t
t
t
x
0
)
(
)
cos(
2
cos
)
(
, gdzie
)
(t
x
jest
funkcją niewiadomą.
Rozwiązanie:
Obliczamy transformaty obydwu stron równania
L
[
]
=
)
(t
x
L
[
]
2
cos
−
t
L
τ
τ
⋅
τ
−
∫
t
d
x
t
0
)
(
)
(
cos
Korzystając z definicji splotu funkcji mamy
L
[
]
=
)
(t
x
L
[
]
2
cos
−
t
L
[
]
)
(
*
cos
t
x
t
Z tw. Borela o splocie wynika, że
L
[
]
=
)
(t
x
L
[
]
2
cos
−
t
L
[
]
⋅
t
cos
L
[
]
)
(t
x
Stąd
)
(
1
2
1
)
(
2
2
s
X
s
s
s
s
s
X
+
−
+
=
Zatem po przekształceniach równanie obrazu jest następujące:
2
)
1
(
)
(
+
=
s
s
s
X
.
Wyznaczamy oryginał korzystając z transformaty odwrotnej i tablicy transformat
=
)
(t
x
L
t
e
t
s
s
−
−
−
=
+
)
1
(
)
1
(
2
1
.
Ostatecznie
=
)
(t
x
t
e
t
−
− )
1
(
.
Przykład: Rozwiązać równanie różniczkowo – całkowe
[
]
∫
=
τ
τ
−
τ
−
+
t
d
x
t
dt
dx
0
0
)
(
2
)
cos(
, gdy
4
)
0
( =
x
.
Rozwiązanie:
Po przekształceniu równanie ma postać:
∫
∫
=
τ
τ
−
τ
τ
−
τ
+
′
t
t
d
x
d
t
x
t
x
0
0
0
)
(
2
)
cos(
)
(
)
(
Korzystając z definicji splotu mamy
∫
τ
τ
=
+
′
t
d
x
t
t
x
t
x
0
)
(
2
cos
*
)
(
)
(
Obliczamy transformaty obu stron równania
L
[
]
+
′
)
(t
x
L
[
]
2
cos
*
)
(
=
t
t
x
L
τ
τ
∫
t
d
x
0
)
(
Korzystając z tw. Borela, o różniczkowaniu oryginału i o całkowaniu oryginału otrzymujemy
317
s
s
X
s
s
s
X
x
s
sX
)
(
2
1
)
(
)
0
(
)
(
2
=
+
⋅
+
−
+
Po wstawieniu warunku początkowego mamy
)
(
1
2
1
)
(
4
)
(
2
s
X
s
s
s
s
X
s
sX
⋅
=
+
⋅
+
−
4
2
1
)
(
2
=
−
+
+
⋅
s
s
s
s
s
X
Stąd po przekształceniach otrzymujemy następujące równanie obrazu:
2
4
)
(
4
3
−
+
=
s
s
s
s
X
.
Aby skorzystać z tablicy transformat otrzymaną transformatę przedstawiamy następująco
( )
( )
4
4
4
4
4
4
3
2
2
2
1
4
2
4
)
(
−
⋅
+
−
=
s
s
s
s
s
X
Stąd
4
)
( =
t
x
L
( )
2
1
4
2
4
4
4
3
1
⋅
+
−
−
s
s
L
( )
−
−
4
4
4
1
2
2
s
s
(
)
(
)
t
t
t
t
t
x
4
4
4
4
2
cos
2
cosh
2
1
2
4
2
cos
2
cosh
2
1
4
)
(
−
⋅
+
+
⋅
=
Ostatecznie
(
)
(
)
t
t
t
x
4
4
2
cos
2
2
2
cosh
2
2
)
(
−
+
+
=
318
TABLICE PODSTAWOWYCH TRANSFORMAT LAPLACE’A
Lp.
Oryginał
)
(t
f
Transformata
)
(s
F
1.
)
(t
1
s
1
2.
at
e
a
s
−
1
3.
a
t
e
a
−
1
as
+
1
1
4.
n
t
1
!
+
n
s
n
5.
bt
sin
2
2
b
s
b
+
6.
bt
e
at
sin
−
(
)
2
2
b
a
s
b
+
+
7.
bt
sinh
2
2
b
s
b
−
8.
bt
e
at
sinh
−
(
)
2
2
b
a
s
b
−
+
9.
(
)
1
1
−
at
e
a
)
(
1
a
s
s
−
10.
a
t
e
−
−
1
)
1
(
1
as
s
+
11.
at
e
t
2
)
(
1
a
s
−
12.
a
t
e
t
a
−
2
1
2
)
1
(
1
as
+
13.
b
a
e
e
bt
at
−
−
)
)(
(
1
b
s
a
s
−
−
14.
bt
cos
2
2
b
s
s
+
15.
bt
e
at
cos
−
(
)
2
2
b
a
s
a
s
+
+
+
16.
bt
cosh
2
2
b
s
s
−
17.
bt
e
at
cosh
−
(
)
2
2
b
a
s
a
s
−
+
+
18.
at
e
at
)
1
( +
2
)
(
a
s
s
−