mgr Ewa Pªonkowska

30.11.2008

3 Caªka funkcji zmiennej zespolonej

3.1 Caªka z funkcji zespolonej zmiennej zespolonej

Niech dany b¦dzie luk regularny K = ~

AB

zorientowany zgodnie z parametryzacj¡ regularn¡

~

r :< α, β >3 t → ~

r(t) = [x(t), y(t)] ∈ K ⊂ R

2

Niech D ⊂ C obszar , f : D → C funkcja zespolona ograniczona, K ⊂ D. Chcemy zdeniowa¢ R

K

f (z)dz

Okre±lamy kolejno:

•

podziaª normalny odcinka < α, β > tzn. α = t

0

< t

1

< t

2

< ... < t

n

= β

•

podziaª ªuku K na luki z

k−1

z

k

, k = 1, 2, ..., n, gdzie z

k

= z(t

k

)

.

•

na ka»dym ªuku wybieramy dowolny punkt ξ

k

∈ z

k−1

z

k

∆z

k

= z

k

− z

k−1

•

tworzymy sum¦ caªkow¡ S

n

=

P

n
k=1

f (ξ

k

)∆z

k

Denicja 3.1 Je»eli dla ka»dego normalnego ci¡gu podziaªów przedziaªu < α, β > ci¡g sum cz¦±ciowych
jest zbie»ny do tej samej granicy, niezale»nej od wyboru punktów ξ

k

to granic¦ t¦ nazywamy caªk¡ funkcji

f

wzdªu» ªuku K i oznaczamy R

K

f (z)dz

.

Wªasno±ci
Je»eli funkcje f, g s¡ caªkowalne wzdªu» ªuku K = ~

AB

, liczby a, b ∈ C, to:

1. kombinacja liniowa af + bg jest caªkowalna wzdªu» K oraz
(liniowo±¢) R

K

af (z) + bg(z)dz = a

R

K

f (z) + b

R

K

g(z)dz.

2. R

AB

f (z)dz =

R

BA

f (z)dz

3. Je±li C ∈ ~

AB

to R

AB

f (z)dz =

R

AC

f (z)dz +

R

CB

f (z)dz

(addytywno±¢)

Twierdzenie 3.1 (O zamianie caªki z funkcji zespolonej na caªk¦ oznaczon¡) .
Je»eli f jest ci¡gªa na ªuku gªadkim ~

AB

, z = z(t), t ∈< α, β > skierowanym zgodnie ze wzrostem

parametru, to

Z

AB

f (z)dz =

Z

β

α

f (z(t)) · z

0

(t)dt

Przykªad 3.1 Oblicz R

AB

¯

zdz

, gdzie A=0, B= 1+i.

Rozwi¡zanie:
wprowadzamy parametryzacjie ªuku AB z(t) = x(t) + iy(t) = t + it dla t ∈< 0, 1 >.
Zatem z

0

(t) = 1 + i

oraz f(z(t)) = z(t) = t − it

R

AB

¯

zdz =

R

1

0

f (z(t)) · z

0

(t)dt =

R

1

0

(t − it)(1 + i)dt = (1 + i)(1 − i)

R

1

0

tdt = 2 · 0, 5 = 1

Denicja 3.2 Niech D ⊂ C obszar, f : D → C funkcja zespolona.
Funkcj¦ F : D → C nazywamy funkcj¡ pierwotn¡ funkcji f w obszarze D wtedy i tylko wtedy, gdy dla
∀z ∈ D : F

0

(z) = f (z).

Twierdzenie 3.2 (o funkcji pierwotnej) .
Je»eli F ∈ H(D) i jej pochodna f = F

0

(z) ∈ C(D)

, wtedy dla ka»dej krzywej gªadkiej K ⊂ D o ko«cach

z

1

i z

2

zachodzi

Z

K

f (z)dz = F (z

2

) − F (z

1

)

Wniosek 3.1 :

•

caªka po konturze zamkni¦tym jest równa zero.

•

caªka nie zale»y od drogi caªkowania.

1

http : //www.mini.pw.edu.pl/ ∼ eplonkow/

mgr Ewa Pªonkowska

30.11.2008

3.2 Twierdzenia i wzory caªkowe Cauchy'ego

Twierdzenie 3.3 (podstawowe Cauchy'ego) .
Niech D ⊂ C b¦dzie obszarem jednospójny, a funkcja f ∈ H(D). Wtedy dla ka»dego konturu K ∈ D
(zamkni¦ta krzywa gªadka, bez samoprzeci¦¢, zorientowana dodatnio) zachodzi:

I

K

f (z)dz = 0

Twierdzenie 3.4 (o istnieniu funkcji pierwotnej) .
Je»eli f jest ci¡gªa w obszarze jednospójnym D i dla ka»edego konturu K ⊂ D zachodzi H

K

f (z)dz = 0

to istnieje funkcja F holomorczna w D taka, »e ∀z ∈ D : F

0

(z) = f (z)

.

Twierdzenie 3.5 (uogólnienie tw. Cauchy'ego dla obszarów wielospójnych) .
Domkni¦ty obszar n-spójny mo»na przedstawi¢ jako

D = (D

0

∪ K

0

) −

n−1

[

i=1

D

i

gdzie ∀i 6= j, D

i

∩ D

j

= 0

, ∀i : D

i

⊂ D

0

, ∂D

i

= K

i

, i = 0, 1, ..., n − 1

, K

i

-kontury dodatnio zorientowane

wzgledem D

i

. Je»eli f ∈ H(D) to

Z

K

0

f (z)dz =

n−1

X

i=1

Z

K

i

f (z)dz.

Twierdzenie 3.6 (o wzorze caªkowym Cauchy'ego) .
Je»eli funkcja f jest holomorczna wewn¡trz obszaru jednospójnego D i na jego brzegu ∂D, który jest
konturem, to dla z ∈ D

f (z) =

1

2πi

Z

∂D

f (ξ)

ξ − z

dξ

Przykªad 3.2 Oblicz :

I

|z|=2

z − 2

z + 1

dz

Rozwi¡zanie: Z powy»szego twierdzenia wiemy, »e: R

∂D

f (ξ)

ξ−z

dξ = 2πif (z)

, gdzie z jest punktem nale»¡-

cym do obszaru D.
W przykªadzie obszar D = {z : |z| < 2}, punkt z = −1 ∈ D a funkcja f(ξ) = ξ − 2, zatem

I

|z|=2

z − 2

z + 1

dz =

Z

∂D

f (ξ)

ξ − z

dξ =

Z

∂D

ξ − 2

ξ − (−1)

dξ = 2πi · f (−1) = 2πi · (−1 − 2) = −6πi

Twierdzenie 3.7 (o uogólnionym wzorze caªkowym Cauchy'ego) .
Je»eli funkcja f jest holomorczna wewn¡trz obszaru jednospójnego D i na jego brzegu ∂D, który jest
konturem, to dla z ∈ D

f

(n)

(z) =

n!

2πi

Z

∂D

f (ξ)

(ξ − z)

n+1

dξ

Przykªad 3.3 Oblicz :

I

|z−2i|=2

dz

(z

2

+ 9)

2

dz

Rozwi¡zanie: Z powy»szego twierdzenia wiemy, »e: R

∂D

f (ξ)

(ξ−z)

n+1

dξ =

2πi

n!

f (z)

, gdzie z jest punktem

nale»¡cym do obszaru D.
W przykªadzie obszar D = {z : |z − 2i| < 2}, punkt z = 3i ∈ D a funkcja f(ξ) =

1

(ξ+3i)

2

, funkcja ta jest

holomorczna poniewa» punkt -3i (miejsce zerowania mianownika) nie nale»y do obszaru D. Zatem

I

|z−2i|=2

dz

z

2

+ 9

2

dz =

Z

∂D

f (ξ)

(ξ − z)

n+1

dξ =

Z

∂D

1

(ξ+3i)

2

(ξ − 3i)

2

dξ =

2πi

(2 − 1)!

·f

(1)

(3i) = 2πi·(−2)(3i+3i)

−3

=

π

54

gdy» f

0

(ξ) = (ξ + 3i)

−2

0

= −2(ξ + 3i)

−3

.

2

http : //www.mini.pw.edu.pl/ ∼ eplonkow/

mgr Ewa Pªonkowska

30.11.2008

Twierdzenie 3.8 (odwrotne do podstawowego tw. caªkowego Cauchy'ego(Morery) ) .
Niech D ⊂ C oznacza obszar jednospójny.
Je»eli funkcja f ∈ C(D) i dla ka»dego konturu K ⊂ D zachodzi R

K

f (z)dz = 0

to f ∈ H(D).

3.3 Podstawowe funkcjie zespolone

Denicja 3.3 (Funkcja wykªadnicza e

x

)

∀z ∈ C , e

z

:= e

x

(cos y + i sin y)

Wªasno±ci:

•

funkcja e

z

jest holomorczna dla ∀z ∈ C

• |e

z

| = e

x

• (e

z

)

0

= e

z

• e

z

1

+z

2

= e

z

1

· e

z

2

• ∀z ∈ C funkcjia e

z

6= 0

• e

z+2kπi

= e

z

, gdzie k ∈ Z - funkcja okresowa z T = 2πi

• ∀z ∈ C , e

z

= lim

n→∞

1 +

z

n

n

Denicja 3.4 (Funkcjie trygonometryczne)

∀z ∈ C , cos(z) :=

e

iz

+ e

−iz

2

oraz sin(z) :=

e

iz

− e

−iz

2i

Wªasno±ci:

•

funkcje holomorczne dla ∀z ∈ C

• (cos z)

0

= − sin z

, (sin z)

0

= cos z

• cos

2

z + sin

2

z = 1

•

funkcje okresowa z T = 2π

Denicja 3.5 (Funkcjie hiperboliczne)

∀z ∈ C , ch(z) :=

e

z

+ e

−z

2

oraz sh(z) :=

e

z

− e

−z

2

Wªasno±ci:

•

funkcje holomorczne dla ∀z ∈ C

• cos(iz) = chz

oraz sin(iz) = ish(z)

• (chz)

0

= shz

, (shz)

0

= chz

• ch

2

z − sh

2

z = 1

3

http : //www.mini.pw.edu.pl/ ∼ eplonkow/