TEMAT:
Rachunek całkowy funkcji jednej zmiennej.
Metody całkowania.

 

DEFINICJA 2.1      ( ZBIÓR WYPUKŁY )

 

            IR²  A - wypukły :
 odcinek o końcach x, y zawiera się w A.

 

  

PRZYKŁAD FIGURY NIEWYPUKŁEJ:

 

 

 

                         

                                                                  

DEFINICJA 2.2.     (WYPUKŁOŚĆ WYKRESU FUNKCJI)

               y = f(x)  jest zwrócona wypukłością ku górze : nad krzywą y = f(x)  znajduje się zbiór wypukły.

 

PRZYKŁAD FUNKCJI WYPUKŁEJ KU GÓRZE:

y = f(x) jest zwrócona wypukłością ku dołowi : pod krzywą y = f(x) znajduje się zbiór wypukły.

 

 

 

WNIOSEK 2.1

            Z:      fC¹ (]a,b[)      f: ]a,b[ →IR

 

T:     1^o  f - wypukła ku górze w ]a,b[ 
f(x)>f(x_o)+f ^'(x_o)(x- x_o)

                                                                        

                                                                                                                                            

   (czyli: w każdym punkcie krzywej wykres jest nad styczną poprowadzoną w tym punkcie)

       

 y = f(x_o) + f ^'(x_o)(x- x_o)

 

         2^o  f - wypukła ku dołowi w ]a,b[ 
f(x) < f(x_o) + f ^'(x_o)(x- x_o)

                                                                        

                                                                                                                                               

   (czyli: w każdym punkcie krzywej wykres jest pod styczną poprowadzoną w tym punkcie)

 

 

 

WNIOSEK 2.2

 
            Z:        fC² ]a,b[       f:]a,b[ → IR

 

T:        1^o  
     f ^''(x) > 0  f wypukła ku górze

          

            2^o   
    f ^''(x) < 0  f wypukła ku dołowi

          

 

D:      
,

 

Biorąc rozwinięcie funkcji wg wzoru Taylor'a w otoczeniu x_o , dla n=1

           
    
  _{takie, że:}

 

 

(1)                   f(x) = f(x_o) + f ^'(x_o)(x- x_o) +
 (
)

               

ad. 1^o            
      

 

 

(
)
>0

 

                  

 

                                      f(x) > f(x_o) + f'(x_o)(x-x_o)

  

ad. 2^o            
        

              

(
)
<0

 

                  

                               f(x) < f(x_o) + f'(x_o)(x-x_o)
 

 

 

 

WNIOSEK 2.3         (WARUNEK WYSTARCZAJĄCY EKSTREMUM)

 

Z:
   
              
                  f'(x_o) = 0

 

T:       
 - minimum lokalne

           
 - maksimum lokalne

 

 

 

DEFINICJA 2.3        (PUNKT PRZEGIECIA (p.p.))

 

(x_o,f(x_o))- nazywa się punktem przegięcia wykresu funkcji y = f(x) 

  f - jest wypukła ku górze / dołowi,

oraz w przedziale
  f - jest wypukła ku dołowi / ku górze.

 

 

 

WNIOSEK 2.4

           Z:       
 
- p.p.
 

           T:         f ''(x_o) =0
 
         D:        jest to bezpośredni wniosek z wniosku 2.2. oraz z własności Darboux.

 

 

 

WNIOSEK 2.5

                Z:       
 , 

 



                                              (< 0)                                (>0)

 

T:         (x_o, f(x_o)) - jest punktem przegięcia wykresu y = f(x)

 

 

 

TWIERDZENIE 2.1        (DE L'HOSPITALA)

 

Z:       
             
                 

 

 

(1) 

  

(2) 

 

 

T:       

 

                                                                 

D:      
  ,bo f(x_o) = g(x_o) = 0

 

            dla (1)                                                      

                                                                  

         f, g - spełniają założenia twierdzenia Cauchy'ego 
                     
     

 

 

             
       

 

 

          

RACHUNEK CAŁKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ

 

            f: IR→IR

 

DEFINICJA 2.4      (FUNKCJA PIERWOTNA)

            F :  IR→IR  -  pierwotna do f na U  IR :

 

 

 

DEFINICJA 2.5      (CAŁKOWALNOŚĆ W SENSIE NEWTONA)

 

f - całkowalna w sensie Newtona na U:  f posiada funkcję pierwotną na U.

 

 

 

LEMAT 2.1

 

Z:        f - całkowalna w sensie Newtona na U

F,G - funkcje pierwotne do f na U

 

T:       
F(b) - F(a) = G(b) - G(a)
 

D:      
 F(x)=G(x)+C  F(b)-F(a)=G(b)+C-(G(a)+C)=G(b)-G(a)

 

 

 

 

DEFINICJA 2.6      (CAŁKA NEWTONA)

 

f - całkowalna w sensie Newtona, F - pierwotna do f na [a.b]

 

 

całka Newtona to całka oznaczona.

 

 

 

DEFINICJA 2.7       (CAŁKA NIEOZNACZONA)

 

            f - całkowalna w sensie Newtona, F - pierwotna do f.

 

 

 

 

METODY CAŁKOWANIA

 

TWIERDZENIE 2.2

 

Z:        f, g - całkowalne w sensie Newtona na przedziale U

 

T:       
 -  całkowalna na U

oraz   

 

Dygresja:

           

Koniec dygresji.

 

 

         (I)               CAŁKOWANIE PRZEZ PODSTAWIENIE

 

Z:       

              f - całkowalna na V

T:       

 

D:       Niech

                            
       

                    
 

                                                                                                                                                

           
            Pokazaliśmy, że F((t)) jest pierwotną do

 

 (w naszej tezie)

                

 

 

PRZYKŁAD 2.1

 

            

 

 

 

PRZYKŁAD 2.2

           
=
=

 

 

 

      (nie może się zdarzyć, aby dwie zmienne występowały naraz pod całką)

 

 

 

PRZYKŁAD 2.3

     
=(*)
(*)=
 =

                            

 

    

 

                                 (zła metoda!!!)

(**) dla dobra przykładu nie piszemy

 

=

komentarz :

 

=
=   ((x  sint  t=arcsinx))   =

 

 

 

           (II)             CAŁKOWANIE PRZEZ CZĘŚCI

 

Z:        f, g 

T:       

D:       T

            

 

 

           Typ 1.

 

       
=(całkujemy tak, żeby obniżać stopień wielomianu)

             

 

 

 

 

 

 

PRZYKŁAD 2.4

=

 

=
=

 

=
-
=

 

=
-

 

 

         Typ 2.

 

            
=
=

 

               

 

 

 

PRZYKŁAD 2.5

 
=
=

 
=

 

 

ostatecznie:

 

 

         Typ 3.

 

 - całkujemy dwukrotnie przez części - całka dwumienna         

 

 

=

=

  

  

I=

2I=

I=

 

 

         (III)          CAŁKOWANIE FUNKCJI WYMIERNYCH

 

1^o n
 m to
=

 

2^o n <  m

 

 

Każdy wielomian o współczynnikach rzeczywistych daje się rozłożyć na iloczyn wielomianów stopnia co najwyżej drugiego.

 

                                                     dla   
          

= → rozkładamy na ułamki proste :

 

            =
+...+

                               

                                    

              ułamki proste I-go rodzaju

                       od 1 do k potęg

 

           

     

                 ułamki proste II-go rodzaju

      

 

 

PRZYKŁAD 2.6

 

I=
               st. licznika < st. mianownika

 

 

 

(przyrównujemy współczynniki przy odpowiednich potęgach po lewej i prawej stronie równania)

 

                                              

 

 

 

 

         a)    CAŁKOWANIE UŁAMKÓW PROSTYCH I-GO RODZAJU

 

=

 

             (dla k>1)

 

 

 

 

         b)    CAŁKOWANIE UŁAMKÓW PROSTYCH II-GO RODZAJU

 

=
=

=
=

=

 

 

Ostatecznie:

             I=

 

---