Ekstrema funkcji uwikłanej jednej zmiennej

Dane jest równanie funkcyjne postaci
, gdzie
.

(1) Jeżeli
, to
.

(2) Jeżeli
, to
.

Podamy kilka przykładów poszukiwania ekstremów funkcji uwikłanych.

W liczeniu pochodnych pomoże nam kalkulator ClassPad 300 Plus.

Przykład 1. Wyznaczyć ekstrema funkcji uwikłanej
określonej równaniem

Niech
. Wówczas

Wobec (1) mamy

, o ile

Warunkiem koniecznym istnienia ekstremum jest zerowanie się pierwszej pochodnej, a więc

Dla
mamy
, a stąd
. Otrzymaliśmy więc dwa punkty:
oraz
.

Dalej wobec (2) mamy

Dla

Dla

A oto interpretacja graficzna:

Przykład 2. Wyznaczyć ekstrema funkcji uwikłanej
określonej równaniem

Niech
. Wówczas

Wobec (1) mamy

, o ile

Warunkiem koniecznym istnienia ekstremum jest zerowanie się pierwszej pochodnej, a więc

Skoro
, więc

a stąd

Otrzymaliśmy więc następujące warunki:

lub

Pierwszy warunek jest sprzeczny.

Drugi warunek prowadzi do punktu
.

Dalej wobec (2) mamy dla znalezionego punktu

czyli