Denicja 1 Funkcj¦ f : IR n −→ IR okre±lon¡ wzorem f ( x 1 , . . . , xn) = a 1 x 1 + a 2 x 2 + . . . + anxn + a 0 , gdzie a 1 , a 2 , . . . , an, a 0 s¡ staªymi, nazywamy funkcj¡ liniow¡ n zmiennych. Liczby a 1 , a 2 , . . . , an nazywamy wspóªczynnikami, a liczb¦ a 0 wyrazem wolnym.
Przykªad 1 Funkcja f( x) = 2 x + 3 jest funkcj¡ liniow¡ jednej zmiennej, a funkcja f( x, y) = 2 x + 4 y − 5 jest funkcj¡ liniow¡ dwóch zmiennych.
Denicja 2 Równaniem liniowym o n zmiennych (niewiadomych) nazywamy równanie otrzymane przez przyrównanie do zera funkcji liniowej n zmiennych: a 1 x 1 + a 2 x 2 + . . . + anxn + a 0 = 0 .
Równanie liniowe zapisujemy zwykle w postaci
a 1 x 1 + a 2 x 2 + . . . + anxn = b (1)
i nazywamy jednorodnym, gdy b = 0 i niejednorodnycm, gdy b 6= 0. Liczby a 1 , a 2 , . . . , an nazywamy wspóªczynnikami równania, a liczb¦ b wyrazem wolnym.
Denicja 3 Równanie (1) po podstawieniu za zmienne x 1 , x 2 , . . . , xn liczb c 1 , c 2 , . . . , cn staje si¦:
1. zdaniem prawdziwym i wtedy mówimy, »e ci¡g ( c 1 , c 2 , . . . , cn) speªnia równanie (1);
2. zdaniem faªszywym i wtedy mówimy, »e ci¡g ( c 1 , c 2 , . . . , cn) nie speªnia równania (1).
Przykªad 2 Niech 3 x+4 y +3 z = 5. Wtedy ci¡g (1 , − 1 , 2) speªnia to równanie, a ci¡g (1 , 0 , 2) nie speªnia danego równania.
Denicja 4 Rozwi¡zaniem równania (1) nazywamy ka»dy ci¡g liczb rzeczy-wistych ( c 1 , c 2 , . . . , cn), który speªnia równanie (1). Poszczególne liczby nazywamy wspóªrz¦dnymi rozwi¡zania.
Denicja 5 Rozwi¡za¢ równanie oznacza poda¢ wszystkie jego rozwi¡zania lub stwierdzi¢, »e rozwi¡za« nie ma.
Rozwa»my teraz ukªad m równa« o n niewiadomych
a 11 x 1 + a 12 x 2 + . . . + a 1 nxn = b 1
a 21 x 1 + a 22 x 2 + . . . + a 2 nxn = b 2
,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
am 1 x 1 + am 2 x 2 + . . . + amnxn = bm 1
przy czym liczba równa« m mo»e by¢ mniejsza, równa lub wi¦ksza ni» liczba niewiadomych n. Wspóªczynniki ukªadu aij i wyrazy wolne bi, gdzie i =
1 , 2 , . . . , m, j = 1 , 2 , . . . , n uwa»amy za wiadome liczby rzeczywiste lub ze-spolone. Liczby te zapisujemy w postaci macierzy:
a 11
a 12
. . .
a 1 n
b 1
a
b
A =
21
a 22
. . .
a 2 n
2
. . .
. . .
. . .
. . . B = . . . .
am 1 am 2 . . . amn
bm
Niech
a 11
a 12
. . .
a 1 n
b 1
a
( A; B) =
21
a 22
. . .
a 2 n
b 2
. . .
. . .
. . .
. . .
. . . .
am 1 am 2 . . . amn bm
Macierz ( A; B) nazywamy macierz¡ uzupeªnion¡, jest to macierz otrzymana z macierzy A przez dopisanie do macierzy A kolumny wyrazów wolnych.
Denicja 6 Ukªad równa« liniowych nazywamy:
• rozwi¡zalnym, gdy ma co najmniej jedno rozwi¡zanie;
• nierozwi¡zalnym, czyli sprzecznym, gdy nie ma rozwi¡zania.
Denicja 7 Ukªad równa« liniowych nazywamy:
• oznaczonym, gdy ma dokªadnie jedno rozwi¡zanie;
• nieoznaczonym, gdy ma niesko«czenie wiele rozwi¡za«.
Denicja 8 Przeksztaªceniami elementarnymi ukªadu równa« liniowych nazywamy:
(1) przestawienie dwóch równa« ukªadu;
(2) pomno»enie równania przez liczb¦ ró»n¡ od zera;
(3) pomno»enie pewnego równania przez dowoln¡ liczb¦ ró»n¡ od zera i dodanie do innego równania.
Twierdzenie 1 Je±li do danego ukªadu równa« liniowych zastosujemy przeksztaªcenie elementarne, to otrzymany ukªad b¦dzie miaª te same rozwi¡zania.
Uwaga 1 Przeksztaªceniom elementarnym ukªadu równa« odpowiadaj¡ przeksztaªcenia elementarne macierzy:
(1) przestawienie dwóch wierszy;
(2) pomno»enie wiersza przez liczb¦ ró»n¡ od zera;
2
(3) pomno»enie pewnego wiersza przez dowoln¡ liczb¦ ró»n¡ od zera i dodanie do innego wiersza.
Przykªad 3 Niech 2 x + 3 y + 6 z = 5. Je±li to równanie zapiszemy w postaci 3 y + 2 x + 6 z = 5, to aby zapisa¢ to równanie w postaci ax + by + cz = 5
przenumerujemy zmienne w nast¦puj¡cy sposób:
x = y, y = x, z = z.
Wtedy 3 x + 2 y + 6 z = 5.
Twierdzenie 2 Je±li z ukªadu F otrzymujemy ukªad G przez zmian¦ numeracji niewiadomych, to ukªady F G maj¡ ten sam zbiór rozwi¡za«.
Uwaga 2 Zmiana numeracji niewiadowmych powoduje odpowiednie przestawienie kolumn w macierzy wspóªczynników tego ukªadu (kolumna wyrazów wolnych pozostaje na swoim miejscu).
Twierdzenie 3 Dowoln¡ macierz
a 11
a 12
. . .
a 1 n
a
A =
21
a 22
. . .
a 2 n
. . .
. . .
. . .
. . . ,
am 1 am 2 . . . amn
w której nie wszystkie wyrazy aij s¡ zerami, mo»na za pomoc¡ przeksztaªce« elementarnych i przestawiania kolumn sprowadzi¢ do macierzy P zwanej póªnormaln¡:
p 11 p 12 p 13
. . .
p 1 r
p 1 ,r+1
. . . p 1 n
0
p 22 p 23
. . .
p 2 r
p 2 ,r+1
. . . p 2 n
0
0
p 33
. . .
p 3 r p 3 r,r+1 . . . p 3 n
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . .
. . .
P =
,
0
0
0
. . .
prr
pr,r+1
. . . prn
0
0
0
. . .
0
0
. . .
0
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . .
. . .
0
0
0
. . .
0
0
. . .
0
gdzie pii 6= 0 dla i = 1 , 2 , . . . , r, r ≥ 1, r ≤ min {n, m}, a nast¦pnie do macierzy C zwanej macierz¡ normaln¡:
c 11
0
0
. . .
0
c 1 ,r+1
. . . c 1 n
0
c 22
0
. . .
0
c 2 ,r+1
. . . c 2 n
0
0
c 33
. . .
0
c 3 r,r+1 . . . c 3 n
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . .
. . .
C =
,
0
0
0
. . .
crr
cr,r+1
. . . crn
0
0
0
. . .
0
0
. . .
0
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . .
. . .
0
0
0
. . .
0
0
. . .
0
3
gdzie cii 6= 0 dla i = 1 , 2 , . . . r, r ≥ 1, r ≤ min {n, m}.
Uwaga 3 W macierzach P i C liczba r ma t¡ sam¡ warto±¢. Dodatkowo za-uwa»my, »e dziel¡c i-ty wiersz przez cii mo»emy uzyska¢, »e w miejscu cii b¦d¡
jedynki.
Uwaga 4 Je±li r = m, to w macierzach P i C nie ma u doªu wierszy wypeªnionych zerami. Je±li r = n, to r-ta kolumna jest ostatni¡ kolumn¡.
Przykªad 4 Sprowadzi¢ do postaci normalnej macierz:
1
1
− 4
0
3
1 − 1 − 2 − 2 − 2
A =
1 − 3
0
− 4
0 .
0
1
− 1
1
1
4
Twierdzenie 4 Dowolny ukªad równa« liniowych
a 11 x 1 + a 12 x 2 + . . . + a 1 nxn = b 1
a 21 x 1 + a 22 x 2 + . . . + a 2 nxn = b 2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
am 1 x 1 + am 2 x 2 + . . . + amnxn = bm mo»na za pomoc¡ przeksztaªce« elementarnych i zmiany numeracji niewiadomych sprowadzi¢ do ukªadu normalnego:
c 11 x 1 +
c 1 ,r+1 xr+1 + . . . + c 1 nxn = q 1
c 22 x 2 + c 2 ,r+1 xr+1 + . . . + c 2 nxn = q 2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
crrxr + cr,r+1 xr+1 + . . . + crnxn = qr
,
0 = qr+1
. . . . . .
0 = qm
w którym liczby cii dla i = 1 , 2 , . . . , r s¡ ró»ne od zera, a kreski nad niewiadomymi zaznaczaj¡ mo»liwo±¢ zmiany numeracji niewiadomych.
Powy»sze ukªady równa« maj¡ ten sam zbiór rozwi¡za«, tzn rozwi¡zanie jed-nego ukªadu jest rozwi¡zaniem drugiego ukªadu (po uwzgl¦dniemu ewentualnej zmiany numeracji niewiadomych), a je±li jeden ukªad jest sprzeczny, to i drugi ukªad jest sprzeczny.
Twierdzenie 5 Je±li r < m i w±ród liczb qr+1 , . . . , qm istnieje co najmniej jedna liczba ró»na od zera, to ukªad jest sprzeczny.
Je±li r < m i qr+1 = . . . = qm = 0 lub r = m, to ukªad jest rozwi¡zalny.
Je±li ukªad jest rozwi¡zalny i r < m, to zmienne dzielimy na dwie grupy
• zmienne bazowe x 1 , . . . , xr;
• parametry xr+1 , . . . , xn−r.
Zmiennych bazowych jest r, a parametrów jest n − r. Istnieje niesko«czenie wiele rozwi¡za« zale»nych od n − r parametrów.
Je±li ukªad jest rozwi¡zalny i r = n, to ukªad jest oznaczony.
5
Wniosek 1 Ukªad równa« liniowych mo»e by¢
1. oznaczony,
2. nieoznaczony,
3. sprzeczny.
Innych mo»liwo±ci nie ma.
Przykªad 5 Rozwi¡za¢ ukªad równa«
x + y − 4 z = 1
x − y + z = 2
.
3 x − y − 2 z = 6
2 x + 2 y + z = 5
Przykªad 6 Rozwi¡za¢ ukªad równa«
x + y − z = 2
2 x − y + z = 1 .
x − y + 2 z = 2
Przykªad 7 Rozwi¡za¢ ukªad równa«
x + y − 4 z = 1
x − y + z = 2
.
3 x − y − 2 z = 5
6
Rozwa»my ukªad n równa« o n niewiadomych:
a 11 x 1 + a 12 x 2 + . . . + a 1 nxn = b 1
a 21 x 1 + a 22 x 2 + . . . + a 2 nxn = b 2
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
an 1 x 1 + an 2 x 2 + . . . + annxn = bn Z tym ukªadem zwi¡zane s¡ dwie macierze: macierz kwadratowa A wspóªczynników ukªadu i macierz B wyrazów wolnych:
a 11
a 12 . . . a 1 n
b 1
a
b
A =
21
a 22 . . . a 2 n
2
. . .
. . .
. . .
. . . B = . . .
an 1 an 2 . . . ann
bm
oraz n + 1 wyznaczników, a mianowicie wyznacznik macierzy A zwany wyz-nacznikiem ukªadu:
¯
¯
¯
¯
¯ a 11
a 12 . . . a 1 n ¯
¯ a
¯
W = det A = ¯ 21 a 22 . . . a 2 n ¯
¯
¯ ,
¯ . . .
. . .
. . .
. . . ¯
¯ a
¯
n 1
an 2 . . . ann
i n wyznaczników:
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯ b 1
a 12 . . . a 1 n ¯
¯ a 11
b 1
. . . a 1 n ¯
¯ b
¯
¯ a
¯
W
¯
2
a 22 . . . a 2 n ¯
¯
21
b 2
. . . a 2 n ¯
1 = ¯
¯ , W 2 = ¯
¯ , . . . ,
¯ . . .
. . .
. . .
. . . ¯
¯ . . .
. . . . . .
. . . ¯
¯ b
¯
¯
¯
n
an 2 . . . ann
an 1
bn
. . . ann
¯
¯
¯
¯
¯ a 11
a 12 . . .
b 1 ¯
¯ a
¯
W
¯
21
a 22 . . .
b 2 ¯
n = ¯
¯ ,
¯ . . .
. . .
. . . . . . ¯
¯ a
¯
n 1
an 2 . . . bn
które tworzymy z wyznacznika W w nast¦puj¡cy sposób: je±li j jest któr¡kol-wiek z liczb 1 , 2 , . . . , n, to zast¦pujemy j-t¡ kolumn¦ kolumn¡ wyrazów wolnych.
Twierdzenie 6 Je±li W 6= 0, to ten ukªad ma dokªadnie jedno rozwi¡zanie: W
W
W
x
1
2
n
1 =
, x
, . . . , x
.
(2)
W
2 = W
n = W
Denicja 9 Wzory (2) nazywamy wzorami Cramera, a ukªad, którego wyznacznik jest ró»ny od zera nazywamy ukªadem Cramera.
7
Przykªad 8 Rozwi¡za¢ ukªad równa«
5 x + 3 y − z = 3
2 x + y − z = 1
.
3 x − 2 y + 2 z = − 4
Niech
5
3
− 1
A = 2
1
− 1 .
3 − 2
2
Skoro
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯ 5
3
− 1 ¯ ¯ 5
3
− 1 ¯
W
= ¯
¯
¯
¯
¯ 2
1
− 1 ¯ = ¯ − 3 − 2 0 ¯
¯ 3 − 2
2 ¯
¯ 13
4
0 ¯
¯
¯
¯ − 3 − 2 ¯
= ( − 1)( − 1)1+3 ¯
¯
¯ 13
4 ¯ = −( − 12 + 26) = − 14 6= 0 , to rozwi¡zujemy ukªad
5 x + 3 y − z = 3
2 x + y − z = 1
,
3 x − 2 y + 2 z = − 4
który ma dokªadnie jedno rozwi¡zanie. Poniewa» W = − 14, wi¦c wyliczymy Wx, Wy, Wz. Zatem
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯ 3
3
− 1 ¯ ¯ 3 0 − 1 ¯
¯ 3 − 1 ¯
W
¯
¯
¯
¯
¯
¯
x = ¯ 1
1
− 1 ¯ = ¯ 1 0 − 1 ¯ = 2( − 1)5 ¯
¯ = − 2( − 3+1) = 4;
¯
1 − 1
− 4 − 2
2 ¯
¯ − 4 2
2 ¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯ 5
3
− 1 ¯ ¯ − 1 3
2 ¯
¯ − 1
2 ¯
W
¯
¯
¯
¯
¯
¯
y = ¯ 2
1
− 1 ¯ = ¯ 0
1
0 ¯ = 1( − 1)4 ¯
¯ = 2 − 22 = − 20;
¯
11
− 2
3 − 4
2 ¯
¯ 11 − 4 − 2 ¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯ 5
3
3 ¯ ¯ − 1 3 0 ¯
¯ − 1
0 ¯
W
¯
¯
¯
¯
¯
¯
z = ¯ 2
1
1 ¯ = ¯ 0
1
0 ¯ = 1( − 1)4 ¯
¯ = 2 .
¯
7
− 2
3 − 2 − 4 ¯
¯ 7
− 2 2 ¯
St¡d
W
4
2
x =
x =
= − ;
W
− 14
7
W
− 20
10
y =
y =
=
;
W
− 14
7
W
2
1
z =
z =
= − .
W
− 14
7
8
Przykªad 9 Rozwi¡za¢ ukªad równa«
3 x + 2 y − 4 z = 5
2 x + 3 y − 6 z = 5 .
5 x − y + z = 4
Twierdzenie Kroneckera-Cappellego
Twierdzenie 7 (Kroneckera-Capellego). Warunkiem koniecznym i dostatecznym, aby dany ukªad równa« miaª rozwi¡zanie jest równo±¢ rz¦dów macierzy A i macierzy rozszerzonej ( A : B). Niech rz( A) = rz(( A : B)) = r. Gdy r równa si¦ liczbie niewiadomych n, to ukªad ma dokªadnie jedno rozwi¡zanie, gdy r jest mniejszy ni» n, to ukªad ma niesko«czenie wiele rozwi¡za«, które zale»¡ od n−r parametrów.
Przykªad 10 Rozwi¡za¢ ukªad równa«
5 x + 3 y − z = 3
2 x + y − z = 1
.
3 x − 2 y + 2 z = − 4
x − y + 2 z = − 2
Niech
5
3
− 1
5
3
− 1
3
2
1
− 1
2
1
− 1
1
A =
3 − 2
2 , ( A : B) = 3 − 2
2
− 4 .
1 − 1
2
1 − 1
2
− 2
St¡d
5
3
− 1
5
3
− 1
5
3
1
rz
− 3 − 2
0
− 3 − 2
0
− 3 − 2 0
A = rz
3
− 2
2 = rz 13
4
0 = rz 13
4
0
− 2
1
0
− 2
1
0
− 2
1
0
11
0 1
0
0 1
0
0 1
− 7 0 0
− 7 0 0
= rz
21 0 0
21
0 0 = rz 21
0 0 = rz
0
1 0
− 2 1 0
0
1 0
0 0 1
1 0 0
= rz 1 0 0 = rz 0 1 0 = 3
0 1 0
0 0 1
9
5
3
− 1
3
− 1 0
2
3
rz
2
1
− 1
1
0
0
0
1
( A : B) = rz
3 − 2
2
− 4 = rz 11
2 − 2 − 4
1 − 1
2
− 2
5
1
0
− 2
− 1 0
2
0
− 1 0
2
0
0
0
0
1
0
0
0
1
= rz
11 2 − 2 0 = rz 1
0 − 2 0
5
1
0
0
5
1
0
0
− 1 0 2 0
− 1 0 2 0
0
0 0 1
= rz
0
0 0 1
− 1 0 2 0 = rz
5
1 0 0
5
1 0 0
− 1 0 2 0
− 1 0 0
= rz 0
0 0 1 = rz 0
0 1
0
1 0 0
0
1 0
1 0 0
= rz 0 1 0 = 3 .
0 0 1
Poniewa» rz A = rz ( A : B) = 3 i mamy trzy niewiadome, wi¦c ukªad ma dokªadnie jedno rozwi¡zanie. Skoro
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯ 5
3
− 1 ¯ ¯ 5
3
− 1 ¯
¯ − 3 − 2 ¯
W
= ¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯ 2
1
− 1 ¯ = ¯ − 3 − 2 0 ¯ = ( − 1)( − 1)1+3 ¯
¯
¯
13
4
3 − 2
2 ¯
¯ 13
4
0 ¯
= −( − 12 + 26) = − 14 6= 0 ,
to rozwi¡zujemy ukªad
5 x + 3 y − z = 3
2 x + y − z = 1
,
3 x − 2 y + 2 z = − 4
który ma dokªadnie jedno rozwi¡zanie. Poniewa» W = − 14, wi¦c wyliczymy Wx, Wy, Wz. Zatem
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯ 3
3
− 1 ¯ ¯ 3 0 − 1 ¯
¯ 3 − 1 ¯
W
¯
¯
¯
¯
¯
¯
x = ¯ 1
1
− 1 ¯ = ¯ 1 0 − 1 ¯ = 2( − 1)5 ¯
¯ = − 2( − 3+1) = 4;
¯
1 − 1
− 4 − 2
2 ¯
¯ − 4 2
2 ¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯ 5
3
− 1 ¯ ¯ − 1 3
2 ¯
¯ − 1
2 ¯
W
¯
¯
¯
¯
¯
¯
y = ¯ 2
1
− 1 ¯ = ¯ 0
1
0 ¯ = 1( − 1)4 ¯
¯ = 2 − 22 = − 20;
¯
11
− 2
3 − 4
2 ¯
¯ 11 − 4 − 2 ¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯ 5
3
3 ¯ ¯ − 1 3 0 ¯
¯ − 1
0 ¯
W
¯
¯
¯
¯
¯
¯
z = ¯ 2
1
1 ¯ = ¯ 0
1
0 ¯ = 1( − 1)4 ¯
¯ = 2 .
¯
7
− 2
3 − 2 − 4 ¯
¯ 7
− 2 2 ¯
10
W
4
2
x =
x =
= − ;
W
− 14
7
W
− 20
10
y =
y =
=
;
W
− 14
7
W
2
1
z =
z =
= − .
W
− 14
7
Przykªad 11 Rozwi¡za¢ ukªad równa«
3 x + 2 y − 4 z = 5
2 x + 3 y − 6 z = 5 .
5 x − y + 2 z = 4
Przykªad 12 Rozwi¡za¢ ukªad równa«
2 x − 3 y + z − 5 u = 1
x + 2 y − 3 z + 7 u = 2 .
3 x − y − 2 z + 2 u = 4
11