Uklady równań liniowych

mgr Zofia Makara

21 marca 2004

1

Uklady równań liniowych

Niech będzie dany układ równań o wszystkich współczynnikach i zmiennych
z określonego ciała K:











a

11

x

1

+

...

+a

1n

x

n

=

b

1

..

a

m1

x

1

+

...

+a

mn

x

n

=

b

m

możemy również zapisać w postaci:






a

11

...

a

1n

..

a

m1

...

a

mn






·






x

1

..

x

m






=






b

1

..

b

m






Definicja 1 Macierz kwadratową A nazywa się:

• osobliwą, jeżeli det A = 0;

• nieosobliwą, jeżeli det A 6= 0

Definicja 2 Układem Cramera nazywa się układ równań liniowych, którego
macierz współczynników A jest kwadratową macierzą nieosobliwą.

Definicja 3 Macierzą uzupełnioną macierzy A danego układu nazywa się
macierz, która ma dodatkową kolumnę - kolumnę wyrazów wolnych.

Macierz uzupełnioną oznacza się jako U = [A|b].

Twierdzenia 1 Układ Cramera ma dokładnie jedno rozwiązanie (x

1

, ..., x

n

)

dane wzorem:

x

j

=

dA

j

dA

,

gdzie dA = [a

kj

]

n×n

jest wyznacznikiem macierzy A danego układu zaś dA

j

jest wyznacznikiem macierzy, w której kolumna j została zastąpiona kolumną
wyrazów wolnych.

1

Własność 1 Jeżeli wszystkie współczynniki wolne w układzie Cramera rów-
ne są 0, wówczas układ nazywa się jednorodnym i ma jedno rozwiązanie -
(0, 0, ..., 0).

Definicja 4 Rzędem macierzy nazywa się ilość jej wektorów liniowo nieza-
leżnych.
Można mówić o:

• rzędzie wierszowym - maksymalna liczba niezależnych wierszy danej

macierzy;

• rzędzie kolumnowym - maksymalna liczba niezależnych kolumn danej

macierzy;

Rząd wierszowy i kolumnowy danej macierzy są równe.

Rząd macierzy można wyznaczyć przez wyszukanie minora stopnia n danej
macierzy różnego od zera, dla którego nie istniej minor tej macierzy stopnia
wyższego niż n. Wówczas n jest rzędem macierzy.
Dla danego układu można zastoswać kryterium zgodności Kroneckera -Cap-
peliego, to jest, jeśli:

• rząd macierzy A jest równy rzędowi macierzy uzupełnionej U = [A|b]

(układ jest zgodny rz A = rz U ), wówczas układ posiada rozwiąza-
nia. Ponadto, jeśli rząd macierzy jest równy ilości niewiadomych, wów-
czas ma dokładnie jedno rozwiązanie, w przeciwnym przypadku (rząd
macierzy jest mniejszy niż ilość niewiadomych w równaniu), wówczas
układ ma nieskończenie rozwiązań (układ nieoznaczony).

• rząd macierzy A jest różny od rzędu macierzy uzupełnionej U = [A|b]

(układ jest sprzeczny), wówczas układ nie posiada rozwiązania.

Inną metodą rozwiązywania kwadatowego układu równań jest metoda

eliminacji Gauss’a, w której stosując przekształcenia macierzy rozszerzonej
[A|b] danego układu:

• przestawienie dwóch wierszy (równań w układzie);

• pomnożeniu przez dowolną liczbę (różną od zero);

• dodanie/odjęcie od siebie dwóch wierszy (równań w układzie);

doprowadza się macierz A (w skończonej ilości kroków) do macierzy diago-
nalnej.

Uwaga 1 W kwadratowym układzie równań w macierzy A na diagonalii
może wystąpić 0, zaś w kolumnie wyrazów wolnych element różny od 0, wów-
czas układ nie ma rozwiązania.

2

Uwaga 2 Jeżeli w kwadratowym układzie równań w jego macierzy A na
diagonalii i w kolumnie wyrazów wolnych wystąpi 0, wówczas układ posiada
nieskończenie wiele rozwiązań.

Uwaga 3 Eliminację Gauss’a można również stosować do prostokątnych
układów równań.

Uwaga 4 Eliminację Gauss’a można również stosować wyznaczania macie-
rzy odwrotnej.

Łatwo zauważyć, że dla danego układu macierzowego AX = I można doko-
nać ciągu przekształceń pozwalającego na wyznaczenie macierzy odwrotnej
A

−1

. Dokonując kolejne przekształcenia można w skończonej ilości kroków

(jeśli macierz A jest kwadratową macierzą nieosobliwą) otrzymać:

• AX = I;

• A

1

X = B

1

;

• ...;

• A

s

X = B

s

;

• IX = A

−1

;

dla dowolnego s ∈ N .
W praktyce nie zapisuje się macierzy X, ale przekształcenia oznacza się jako
[A|I]˜[A

1

|B

1

]˜... [A

s

|B

s

]˜[I|A

−1

].

2

Zadania

Rozwiąż układy równań (i podaj ilość rozwiązań - o ile istnieją, ich macierze
główne i uzupełnione oraz rzędy tych macierzy):

1.

(

3x

1

+ 2x

2

= −1

x

1

+ x

2

= 2

2.

(

x

1

+ 2x

2

= −1

2x

1

+ 4x

2

= 2

3.

(

x

1

+ 2x

2

= −1

−x

1

− 2x

2

= 1

3

4.

(

x

1

+ 2x

2

+ x

3

= −1

2x

1

+ 4x

2

+ 2x

3

= 2

5.











x

1

+ 2x

2

+ x

3

= −1

2x

1

+ 4x

2

+ 2x

3

= 2

3x

1

− x

2

+ 5x

3

= 2

6.











x

1

+ x

2

+ x

3

= 0

2x

1

+ 5x

2

+ 3x

3

= 0

3x

1

− x

2

+ 4x

3

= 0

7.











x

1

+ 2x

2

+ x

3

= 6

2x

1

+ 3x

2

+ 3x

3

= −2

3x

1

+ 5x

2

+ 4x

3

= 4

8.











x

1

+ 2x

2

+ x

3

= 6

2x

1

+ 3x

2

+ 3x

3

= −2

3x

1

+ 5x

2

+ 4x

3

= 5

9.






1

2

−1

0

3

1

−2 1

1






·






x

1

x

2

x

3






=






−1

0
5






10.






1

1

−1

0

3

1

1

4

0






·






x

1

x

2

x

3






=






−1

0

−1






11.






2

2

−1

1

3

1

4

8

1






·






x

1

x

2

x

3






=






−1

0

−1






4

12.






1
2
4






· x +






1

−1

1






· y +






2
2
4






· z =






−1
−4
−2






13.

"

i
i

#

· x +

"

1 − i

0

#

· y =

"

i

1 + i

#

14.

"

2
3

#

· x +

"

5

−8

#

· y +

"

−7

5

#

· z =

"

1
2

#

5