Modułem liczby zespolonej z=x+iy, nazywamy liczbę rzeczywistą r=|z|= √x²+y² | , z*ź=(x+iy)(x-iy)=(x²-i²y²)=x²+y². Argumentem liczby zespolonej z=x+iy≠0, nazywamy każdą liczbę rzeczywistą &=Argz spełniającą układ równań:

{cos&=x/r

{sin&=y/r

Każda liczba zespolona z≠0 ma nieskończenie wiele argumentów, które różnią się o wielokrotność 2kπ. Argument liczby z≠0 z przedziału <0;2π> nazywamy argumentem głównym i oznaczamy przez argument z (argz), zatem każdy argument liczbyz≠0 ma postać Argz=argz+2kπ dla kϵZ

Z powyższych definicji wynika, że każdą liczbę zespoloną z=x+iy≠0 można przedstawić w postaci: Z=x+iy=r(cos&+isin&).

Przyjmując oznaczenie e^i&=cos&+isin&, liczbę zespoloną Z można przedstawić w postaci: Z=r*e^i&, którą nazywamy postacią wykładniczą

Wzór MOIVREA: Dla dowolnej liczby zespolonej w postaci trygonometrycznej Z=r(cos&+isin&) i dowolnej liczby naturalnej nϵN zachodzi wzór: Zⁿ=rⁿ[cos(n*&)+isin(n*&)].

Pierwiastkiem liczby zespolonej Z stopnia nϵN, nazywamy każdą liczbę zespoloną W, taką, że W_n=Z. Zbiór wszystkich pierwiastków liczby zespolonej Z oznaczamy przez ⁿ/ Z ’. Twierdzenie o pierwiastkowaniu liczb zespolonych. Każda liczba zespolona z≠0 ma dokładnie n różnych pierwiastków stopnia nϵN w zbiorze liczb zespolonych C. Gdy liczbę tę przedstawimy w postaci trygonometrycznej Z=x+iy=r(cos&+isin&) dla &ϵ<0;2π>, to tymi pierwiastkami są liczby zespolone w postaci: W_k=n/ r ’ (cos(&+2kπ/n) +isin(&+2kπ/n)) dla k=0,1,…,n-1.

Twierdzenie podstawowe algebry: Każdy wielomian zespolonyW(z) stopnia nϵN ma dokładnie n miejsc zerowych w zbiorze liczb zespolonych C. Jeśli liczby zespolone Z₁,Z₂,…,Z_k są miejscami zerowymi n₁,n₂, …,n_k, to można go przedstawić w postaci: W(z)=a_n(z-z₁)ⁿ¹ * (z-z₂)ⁿ² *…*(z-z_k)^nk, przy czym n₁+n₁+…+n_k=n. Własność wielomianu o współczynnikach rzeczywistych: Jeśli wielomian zespolony W(z) stopnia nϵN, ma współczynniki rzeczywiste, a więc an,an-1,…,a1,aoϵR oraz liczba zespolona ZoϵC jest miejscem zerowym tego wielomianu W(Zo)=0 to również liczba do niej sprzężona ŹoϵC też jest miejscem zerowym tego wielomianu W(Źo)=0.

Wyznacznikiem macierzy kwadratowej A=[a_ij]_mxn stopnia nϵN nazywamy liczbę |A| określoną wzorem rekurencyjnym (rozwinięcie względem pierwszego wiersza):

a)) dla n=1 |A|=|a₁₁|=a11

b)) dla n≥ |A|=| |= (-1)¹⁺¹ *a₁₁ *|A₁₁| + (-1)¹⁺² * a₁₂ * |A₁₂| +…+ (-1)¹⁺ⁿ * a_1n * |A_1n| gdzie A_ij to podmacierz macierzy A, której skreślono i-ty wiersz oraz j-tą kolumną.

Własności współczynników: Wyznacznik macierzy zawierającej wiersz (kolumnę) złożonych z samych zer jest równy zero. Wyznacznik macierzy zwierającej dwa wiersze (kolumny) proporcjonalne jest równy zero. Wyznacznik macierzy trójkątnej jest równy iloczynowi elementów głównej przekątnej. Zamiana dwóch wierszy (kolumn) macierzy zmienia znak wyznacznika. Wspólny czynnik z wiersza (kolumny) macierzy można wyłączyć przed wyznacznik. Wyznacznik macierzy nie ulegnie zmianie, gdy do pewnego wiersza (kolumny) macierzy dodamy inny wiersz (kolumną) pomnożoną przez liczbę.

Macierzą odwrotną do macierzy kwadratowej A, nazywamy macierz kwadratową tego samego stopnia A^-1 spełniającą równanie: A A^-1 = A^-1 A=I – macierz jednostkowa. Gdy macierz A jest nieosobliwa, co oznacza, ze |A|≠0, to jest odwracalna. Gdy macierz A jest osobliwa, co oznacza, że |A|=0, to nie jest odwracalna.

Algorytm wyznaczania macierzy odwrotnej:

--Obliczamy wyznacznik macierzy A i niech |A|≠0

--Wyznaczamy macierz dopełnień macierzy A, ze wzoru A^d=[(-1)^i+j * |A_ij|]

--Wyznaczamy macierz dołączoną macierzy A, ze wzoru A^D=(A^d)T

--Wyznaczamy macierz odwrotną macierzy A, ze wzoru A^-1=(1/|A|)*A^D.

Rzędem macierzy prostokątnej A=[a_ij]_mxn nazywamy najwyższy stopień podmacierzy kwadratowej macierzy A, o wyznaczniku różnym od zera. Rząd macierzy A oznaczamy przez ‘’r(A)’’. Liczba ta spełnia nierówność 0≤r(A)≤min{m,n}.

Własności rzędu macierzy: Rząd macierzy nie ulegnie zmianie gdy: Usuniemy z macierzy wiersz (kolumną) złożonych z samych zer. Usuniemy z macierzy jeden z dwuwierszy (kolumn proporcjonalnych). Zamieniamy dwa wiersze (kolumny) miejscami. Pomnożymy wiersz (kolumnę) macierzy przez liczbę różną od zera. Do pewnego wiersza (kolumny) macierzy dodamy inny wiersz (kolumnę) pomnożony przez liczbę.

Układ równań liniowych: Układem ‘m’ równań liniowych o ‘n’ niewiadomych dla m,nϵN nazywamy układem równań postaci:

{a₁₁*x₁ + a₁₂*x₂ +…+ a_1n*x_n=b₁

{a₂₁*x₁ + a₂₂*x₂ +…+ a_2n*x_n=b₂

_{{………………………………………………..}

{a_m1*x₁ + a_m2*x₂ +…+ a_mn*x_n=b_n

Gdzie a_ij,b_i dla i=1,2,…,m oraz j=1,2,…,n są ustalonymi liczbami.

Twierdzenie K.-C. Układ ‘m’ równań liniowych o ‘n’ niewiadomych AX=b

--ma dokładnie jedno rozwiązanie (jest oznaczony) gdy r(A)=r([A:b])=r i r=n.

--ma nieskończenie wiele rozwiązań (jest oznaczony) gdy r(A)=r([A:b])=r i r<n.

--nie ma rozwiązań (jest sprzeczny) r(A)≠r([A:b]).

Macierz rozszerzoną B=[A:b] w części podstawowej A sprowadzamy do postaci bazowej. Stąd wynika, że r(A)=;;; i r(B)=;;; .Ponieważ r(A)=r(B)=;;; i n=;;;, to z tw. K.-C. wynika, że układ ma nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od (n-r)=;;; parametrów, a za zmienne bazowe przyjmując x, x, a za parametry x, x :{;;;. Zatem rozwiązanie ogólne ma postać:{;;;. Aby otrzymać rozwiązanie szczególne trzeba podstawić liczby za parametry.

Iloczynem skalarnym wektorów u i v ϵRⁿ nazwiemy liczbę u¤v=[u₁,u₂,…,u_n]¤[v₁,v₂,…,v_n]=u₁v₁+u₂v₂+....+u_nv_n

Własności ˄(u,v,wϵRⁿ) i ˄(αϵR): --u¤u≥0, --u¤v=v¤u, --(αu)¤v=α(u¤v), --(u+v)¤w=u¤w+v¤w. Łatwo zauważyć, że u¤u=[u₁,u₂,…,u_n]¤[u₁,u₂,…,u_n]=u₁²+u₂²+...+u_n²=|u|², a stąd wynika wzór na długość wektora |u|= / u¤u ‘. Własności długości wektora ˄(u,v,ϵRⁿ ) ˄(αϵR): --|u|≥0, --|αu|=|α||u|, --|u¤v|≤|u||v|, --|u+v|≤|u|+|v|, --||u|-|v|| ≤ |u-v|. Mówimy, że wektory u i v ϵRⁿ są prostopadłe co rozpiszemy u┴vu¤v=0. Wektory są równoległe, gdy ich wyznacznik jest równy zero u║vd(u,v)=0. Kątem między niezerowymi wektorami u i v ϵRⁿ nazywamy liczbę <(u,v)ϵ(0;π) taką, że:

Polem trójkąta rozpiętego na wektorach nierównoległych u i v ϵRⁿ nazywamy liczbę:

Można wykazać, że pole trójkąta rozpiętego na wektorach u i v ϵRⁿ wyraża się wzorem:

Iloczynem wektorowych nierównoległych wektorów u i v ϵR³ nazywamy wektor u x v ϵR³ spełniający warunki: --wektor u x v jest prostopadły do wektorów u i v, --długość wektora |u x v|=|u||v|sin<(u,v) to pole równoległoboku rozpiętego na wektorach u i v, --zwrot (u,v,uxv)>0 wektory u,v,uxv wyznaczają orientację dodatnią.

Iloczynem mieszanym u ,v,w ϵR³ nazywamy liczbę (u,v,w)=(uxv)¤w. Wyraża się on wzorem(u,v,w)=|;;;|. Moduł iloczynu mieszanego wektorów u,v,w ϵR³ równy jest objętości równoległoboku, rozpiętego na tych wektorach:

Uporządkowany zbiór – wektorów e₁, e₂,…,e_n ϵRⁿ nazywamy BAZĄ przestrzeni Rⁿ wtedy i tylko wtedy, gdy wyznacznik tych wektorów(e₁, e₂,…,e_n)≠0.

Płaszczyzną w przestrzeni R³ przechodzącą przez ustalony punkt Xo=(X1o, X2o, X3o) ϵ R³ i równoległą do ustalonych nierównoległych wektorów u=[u₁,u₂,…,u_n] i v=[v₁,v₂,…,v_n]ϵ R³ nazywamy zbiór punktów HC R³ taki, że XϵHX=Xo+ut+vs dla t,s ϵR.

Wzór na odległość punktu Yoϵ R³ od płaszczyzny H przechodzącej przez punkt XoϵH i prostopadłej do wektora w┴H. :

Prostą w przestrzeni R³ przechodzącą przez ustalony punkt Xo=(X1o, X2o, X3o) ϵ R³ i równoległą do niezerowego ustalonego wektora u=[u₁,u₂,…,u_n] ϵ R³ nazywamy zbiór punktów L C ϵ R³ taki, że: XϵL X=Xo+ut, dla tϵR.

Odległość prostych równoległych Lu i Lv przechodzących przez punkty XoϵLu i YoϵLv oraz równoległych do wektora u║Lu ║Lv. :

Odległość prostych równoległych Lu i Lv przechodzących przez punkty XoϵLu i YoϵLv oraz równoległych do wektorów u║Lu i v║Lv. :