XIX Macierze, działania, rząd macierzy. Wyznaczniki i ich obliczanie. Układy równań liniowych i ich rozwiązywanie. Twierdzenia: Cramera i Kroneckera-Capelliego.
Definicja
Niech
i niech D będzie dowolnym zbiorem niepustym. Każda funkcja
nazywamy macierzą o m-wierszach i n-kolumnach. Będziemy oznaczać
lub krócej
Zbiór wszystkich macierzy o wartościach na zbiorze D oznaczamy symbolem
.
Definicja
Niech
. Macierz
nazywamy macierzą transponowaną do macierzy A.
DZIAŁANIA W ZBIORZE MACIERZY
Niech
będzie dowolnym ciałem
oraz
,
definiujemy
oraz
.
Definicja
Niech F będzie dowolnym ciałem i
. Wyznacznikiem macierzy kwadratowej
nazywamy element ciała F zdefiniowany następująco:
gdzie
jest permutacją liczb 1,2,3,…,n. J jest ilością inwersji w tej permutacji.
Definicja
Minorem macierzy
nazywamy wyznacznik macierzy kwadratowej powstałej z A przez skreślenie pewnej ilości jej wierszy lub kolumn bądź wierszy i kolumn.
WŁASNOŚCI WYZNACZNIKÓW
Twierdzenie
Niech
. Wówczas
.
Twierdzenie
Niech
. Jeżeli pewien wiersz (kolumna) macierzy a złożona jest z samych zer, to detA=0.
Twierdzenie
Niech
. Jeżeli macierz
powstaje z macierzy A poprzez zamianę kolejności pewnych jej wierszy (kolumn), to detA = -detB.
Twierdzenie
Niech
. Jeżeli macierz A ma dwa identyczne wiersze (kolumny) to detA=0.
Twierdzenie
Niech
i
. Jeżeli każdy element pewnego wiersza (kolumny) macierzy A pomnożymy przez
, a otrzymaną w ten sposób macierz oznaczymy przez B, to detB=czeta.
Twierdzenie
Niech
i
. Wówczas dla dowolnego
Twierdzenie
Niech
. Wyznacznik macierzy A nie ulegnie zmianie jeżeli do jednego z jej wierszy (kolumny) dodamy elementy innego wiersza (kolumny) pomnożone przez pewien ustalony element
.
Twierdzenie (uogólnione tw. Laplace'a)
Niech
oraz
. Wówczas
czyli suma iloczynów elementów k-tej kolumny przez dopełnienia algebraiczne s-tej kolumny, to wyznacznik macierzy A jeżeli k=s oraz zero w p.p.
Twierdzenie Laplace'a
Niech
.
. Wówczas
(*)
czyli wyznacznik macierzy A to suma iloczynów ustalonego wiersza (kolumny) przez dopełnienie algebraiczne elementów tego wiersza (kolumny).
Definicja
Niech F będzie dowolnym ciałem i niech
(*)
Nazywamy układem m-równań liniowych z n-niewiadomymi
.
Macierz A nazywamy macierzą układu (*) zaś macierz
macierzą uzupełnioną układu (*).
Ostatnią kolumnę macierzy AY nazywamy kolumną wyrazów wolnych. Jest to podobnie jak pozostałe kolumny macierzy AY element p-ni
. Kolumnę wyrazów wolnych macierzy A oznaczać będziemy najczęściej symbolem Y. Jeżeli
, to układ (*) nazywamy jednorodnym.
Definicja
Układ równań liniowych (*)
nazywamy układem Cramera, jeżeli m=n i
.
Twierdzenie Cramera
Każdy układ Cramera
posiada dokładnie jedno rozwiązanie, którym jest wektorem
. Inaczej jedynym rozwiązaniem układu Cramera jest wektor
, gdzie
.
Definicja
Rzędem macierzy
nazywamy wymiar PL generowanej przez jej kolumny. Oznaczmy go symbolem RzA. Tak więc
gdzie
- kolumny.
WŁASNOŚCI RZĘDU MACIERZY
Twierdzenie 1
(czyli A jest macierzą złożoną z samych zer ciała F).
Twierdzenie 2
Rząd macierzy A nie ulegnie zmianie jeżeli dokonamy dowolnej permutacji jej kolumn.
Twierdzenie 3
Rząd macierzy A nie ulegnie zmianie jeżeli jedną z jej kolumn pomnożymy przez element
.
Twierdzenie 4
Rząd macierzy A nie ulegnie zmianie jeżeli do jednej z jej kolumn dodamy kombinacje pozostałych kolumn.
Twierdzenie 5
Rząd macierzy
równy jest najwyższemu ze stopni różnych od zera minorów tej macierzy.
Twierdzenie 6
.
Twierdzenie 7
.
Twierdzenia 2, 3, 4 są również dla wierszy.
Twierdzenie 8
.
TWIERDZENIA KRONECKERA-CAPELLIEGO
Weźmy pod uwagę układ równań liniowych
(*)
który można zapisać w postaci
(*)
.
Twierdzenie 1
Na to by układ (*) miał rozwiązanie potrzeba i wystarcza, by
.
Twierdzenie 2
Załóżmy, że w układzie (*)
oraz
jest niezerowym minorem stopnia r-tego macierzy A. Wówczas układ (*) jest równoważny układowi (#) powstałemu z (*) przez opuszczenie wszystkich tych równań, których współczynniki nie wchodzą w skład macierzy C.