zagadnienia, punkt 19, XIX Macierze, działania, rząd macierzy


XIX Macierze, działania, rząd macierzy. Wyznaczniki i ich obliczanie. Układy równań liniowych i ich rozwiązywanie. Twierdzenia: Cramera i Kroneckera-Capelliego.

Definicja

Niech 0x01 graphic
i niech D będzie dowolnym zbiorem niepustym. Każda funkcja 0x01 graphic
nazywamy macierzą o m-wierszach i n-kolumnach. Będziemy oznaczać

0x01 graphic
lub krócej 0x01 graphic

Zbiór wszystkich macierzy o wartościach na zbiorze D oznaczamy symbolem 0x01 graphic
.

Definicja

Niech 0x01 graphic
. Macierz 0x01 graphic
nazywamy macierzą transponowaną do macierzy A.

DZIAŁANIA W ZBIORZE MACIERZY

Niech 0x01 graphic
będzie dowolnym ciałem 0x01 graphic
oraz 0x01 graphic
, 0x01 graphic
definiujemy

0x01 graphic

oraz

0x01 graphic
.

Definicja

Niech F będzie dowolnym ciałem i 0x01 graphic
. Wyznacznikiem macierzy kwadratowej 0x01 graphic
nazywamy element ciała F zdefiniowany następująco:

0x01 graphic

gdzie 0x01 graphic
jest permutacją liczb 1,2,3,…,n. J jest ilością inwersji w tej permutacji.

Definicja

Minorem macierzy 0x01 graphic
nazywamy wyznacznik macierzy kwadratowej powstałej z A przez skreślenie pewnej ilości jej wierszy lub kolumn bądź wierszy i kolumn.

WŁASNOŚCI WYZNACZNIKÓW

Twierdzenie

Niech 0x01 graphic
. Wówczas 0x01 graphic
.

Twierdzenie

Niech 0x01 graphic
. Jeżeli pewien wiersz (kolumna) macierzy a złożona jest z samych zer, to detA=0.

Twierdzenie

Niech 0x01 graphic
. Jeżeli macierz 0x01 graphic
powstaje z macierzy A poprzez zamianę kolejności pewnych jej wierszy (kolumn), to detA = -detB.

Twierdzenie

Niech 0x01 graphic
. Jeżeli macierz A ma dwa identyczne wiersze (kolumny) to detA=0.

Twierdzenie

Niech 0x01 graphic
i 0x01 graphic
. Jeżeli każdy element pewnego wiersza (kolumny) macierzy A pomnożymy przez 0x01 graphic
, a otrzymaną w ten sposób macierz oznaczymy przez B, to detB=czeta.

Twierdzenie

Niech 0x01 graphic
i 0x01 graphic
. Wówczas dla dowolnego 0x01 graphic

0x01 graphic

Twierdzenie

Niech 0x01 graphic
. Wyznacznik macierzy A nie ulegnie zmianie jeżeli do jednego z jej wierszy (kolumny) dodamy elementy innego wiersza (kolumny) pomnożone przez pewien ustalony element 0x01 graphic
.

Twierdzenie (uogólnione tw. Laplace'a)

Niech 0x01 graphic
oraz 0x01 graphic
. Wówczas

0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic

czyli suma iloczynów elementów k-tej kolumny przez dopełnienia algebraiczne s-tej kolumny, to wyznacznik macierzy A jeżeli k=s oraz zero w p.p.

Twierdzenie Laplace'a

Niech 0x01 graphic
. 0x01 graphic
. Wówczas

(*) 0x01 graphic

czyli wyznacznik macierzy A to suma iloczynów ustalonego wiersza (kolumny) przez dopełnienie algebraiczne elementów tego wiersza (kolumny).

Definicja

Niech F będzie dowolnym ciałem i niech 0x01 graphic

(*) 0x01 graphic

Nazywamy układem m-równań liniowych z n-niewiadomymi 0x01 graphic
.

Macierz A nazywamy macierzą układu (*) zaś macierz

0x01 graphic
macierzą uzupełnioną układu (*).

Ostatnią kolumnę macierzy AY nazywamy kolumną wyrazów wolnych. Jest to podobnie jak pozostałe kolumny macierzy AY element p-ni 0x01 graphic
. Kolumnę wyrazów wolnych macierzy A oznaczać będziemy najczęściej symbolem Y. Jeżeli 0x01 graphic
, to układ (*) nazywamy jednorodnym.

Definicja

Układ równań liniowych (*) 0x01 graphic
nazywamy układem Cramera, jeżeli m=n i 0x01 graphic
.

Twierdzenie Cramera

Każdy układ Cramera 0x01 graphic
posiada dokładnie jedno rozwiązanie, którym jest wektorem 0x01 graphic
. Inaczej jedynym rozwiązaniem układu Cramera jest wektor 0x01 graphic
, gdzie 0x01 graphic
.

Definicja

Rzędem macierzy 0x01 graphic
nazywamy wymiar PL generowanej przez jej kolumny. Oznaczmy go symbolem RzA. Tak więc

0x01 graphic
gdzie 0x01 graphic
- kolumny.

WŁASNOŚCI RZĘDU MACIERZY

Twierdzenie 1

0x01 graphic
(czyli A jest macierzą złożoną z samych zer ciała F).

Twierdzenie 2

Rząd macierzy A nie ulegnie zmianie jeżeli dokonamy dowolnej permutacji jej kolumn.

Twierdzenie 3

Rząd macierzy A nie ulegnie zmianie jeżeli jedną z jej kolumn pomnożymy przez element 0x01 graphic
.

Twierdzenie 4

Rząd macierzy A nie ulegnie zmianie jeżeli do jednej z jej kolumn dodamy kombinacje pozostałych kolumn.

Twierdzenie 5

Rząd macierzy 0x01 graphic
równy jest najwyższemu ze stopni różnych od zera minorów tej macierzy.

Twierdzenie 6

0x01 graphic
.

Twierdzenie 7

0x01 graphic
.

Twierdzenia 2, 3, 4 są również dla wierszy.

Twierdzenie 8

0x01 graphic
.

TWIERDZENIA KRONECKERA-CAPELLIEGO

Weźmy pod uwagę układ równań liniowych

(*) 0x01 graphic

który można zapisać w postaci

(*) 0x01 graphic
.

Twierdzenie 1

Na to by układ (*) miał rozwiązanie potrzeba i wystarcza, by 0x01 graphic
.

Twierdzenie 2

Załóżmy, że w układzie (*) 0x01 graphic
oraz 0x01 graphic
jest niezerowym minorem stopnia r-tego macierzy A. Wówczas układ (*) jest równoważny układowi (#) powstałemu z (*) przez opuszczenie wszystkich tych równań, których współczynniki nie wchodzą w skład macierzy C.



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
zagadnienia, punkt 22, XXII Działania wewnętrzne, działania przemienne, działania łączne, element ne
Wybrane zagadnienia z zakresu przeszczepiania komórek macierzystych układu krwiotwórczego
zagadnienia, punkt 5, V Punkt skupienia zbioru
zagadnienia, punkt 18, XVIII Przestrzenie liniowe
zagadnienia, punkt 2, II Przestrzenie metryczne zupełne
zagadnienia, punkt 6, VI Własności funkcji ciągłych na zbiorach zwartych (tw
zagadnienia, punkt 7, VII Pojęcie pochodnej w punkcie funkcji jednej zmiennej - interpretacja fizycz
zagadnienia, punkt 24, XXIV Centralne twierdzenie graniczne Lindeberga-Levy'ego
zagadnienia, punkt 24, XXIV Centralne twierdzenie graniczne Lindeberga-Levy'ego
19 Pojęcie i zasada działania magistraliid 18333 ppt
zagadnienia, punkt 14, XIV Twierdzenie o lokalnej odwracalności odwzorowań klasy C1
zagadnienia, punkt 15, XV Ciała i sigma-ciała zbiorów
zagadnienia, punkt 20, XX Przekształcenia liniowe i podstawowe ich własności
zagadnienia, punkt 12, XII Ciągi i szeregi funkcyjne - zbieżność punktowa i jednostajna
zagadnienia, punkt 13, XIII Pochodna kierunkowa, pochodne cząstkowe, pochodna mocna
zagadnienia, punkt 21, XXI Przekształcenia liniowe przestrzeni skończenie wymiarowych
zagadnienia, punkt 11, XI Całka oznaczona funkcji ograniczonej na [a,b]
Zagadnienia Bio 19-21, Studia, Bioinżynieria - Wykład
zagadnienia, punkt 23, XXIII Przestrzeń probabilistyczna

więcej podobnych podstron