zagadnienia, punkt 23, XXIII Przestrzeń probabilistyczna


XXIII Przestrzeń probabilistyczna. Zmienne losowe i ich charakterystyki liczbowe. Zbieżność z prawdopodobieństwem 1, według prawdopodobieństwa, według średniej kwadratowej, według rozkładu.

Definicja

Prawdopodobieństwem będziemy nazywać dowolną funkcję P, określoną na 0x01 graphic
-ciele zdarzeń 0x01 graphic
, spełniającą warunki:

A1). 0x01 graphic

A2). 0x01 graphic

A3). Jeśli 0x01 graphic
oraz 0x01 graphic
, to

0x01 graphic
.

Definicja

Mówiąc krótko, matematyczny model doświadczenia losowego to trójka 0x01 graphic
, gdzie P jest przeliczalnie addytywną i nieujemną miarą unormowaną, określona na pewnym 0x01 graphic
-ciele podzbiorów zbioru zdarzeń elementarnych 0x01 graphic
. Tę trójkę nazywamy przestrzenią probabilistyczną.

Twierdzenie (własności prawdopodobieństwa)

Jeśli 0x01 graphic
jest przestrzenią probabilistyczną i 0x01 graphic
, to:

W1). 0x01 graphic

W2). Jeśli 0x01 graphic
wykluczają się wzajemnie, tj. 0x01 graphic
, to

0x01 graphic
(skończona addytywność)

W3). 0x01 graphic

W4). Jeśli 0x01 graphic

W5). Jeśli 0x01 graphic

W6). 0x01 graphic

W7). 0x01 graphic
.

Definicja

Odwzorowanie 0x01 graphic
nazywamy zmienną losową o wartościach w 0x01 graphic
, jeśli dla każdego 0x01 graphic
zbiór 0x01 graphic
.

Definicja

Rozkładem prawdopodobieństwa ZL X o wartościach w 0x01 graphic
nazywamy rozkład pr-stwa 0x01 graphic
określony na 0x01 graphic
zależnością

0x01 graphic
.

0x01 graphic
można zapisywać tak:

0x01 graphic
.

Definicja

Jeśli 0x01 graphic
jest rozkładem pr-stwa na 0x01 graphic
i dla pewnej funkcji 0x01 graphic
całkowalnej w sensie Lebesgue'a mamy

0x01 graphic
(1)

to f nazywamy gęstością rozkładu 0x01 graphic
.

Definicja

Rozkład 0x01 graphic
na 0x01 graphic
nazywamy dyskretnym, jeśli istnieje zbiór przeliczalny 0x01 graphic
, dla którego 0x01 graphic
.

Definicja

Dystrybuantą rozkładu prawdopodobieństwa 0x01 graphic
na 0x01 graphic
nazywamy funkcję 0x01 graphic
, określoną zależnością

0x01 graphic
.

Twierdzenie (własności dystrybuanty rozkładu na R)

Dystrybuanta 0x01 graphic
rozkładu pr-stwa 0x01 graphic
na R ma następujące własności:

(1) 0x01 graphic
jest niemalejąca

(2) 0x01 graphic

(3) 0x01 graphic
jest prawostronnie ciągła.

Twierdzenie (własności dystrybuanty rozkładu na 0x01 graphic
)

Dystrybuanta 0x01 graphic
rozkładu pr-stwa 0x01 graphic
na 0x01 graphic
ma następujące własności:

(1) 0x01 graphic
jest niemalejąca względem każdego argumentu

(2) 0x01 graphic
, jeśli 0x01 graphic
(czyli 0x01 graphic
dla przynajmniej jednego argumentu), 0x01 graphic
, jeśli 0x01 graphic
.

(3) 0x01 graphic
jest prawostronnie ciągła

(4) jeśli 0x01 graphic
dla k=1,…,n, to

0x01 graphic
,

gdzie

0x01 graphic
,

Zaś sumowanie przebiega po zbiorze 0x01 graphic

Dystrybuanta a gęstość

Jeśli istnieje gęstość g rozkładu 0x01 graphic
na R, to oczywiście

0x01 graphic
.

Twierdzenie

Jeśli F jest dystrybuantą, F' istnieje prawie wszędzie, oraz

0x01 graphic
,

to F' jest gęstością rozkładu o dystrybuancie F.

Definicja

Powiemy, że ZL X o wartościach w R ma wartość średnią (oczekiwaną), jeżeli jest całkowalna, czyli jeżeli

0x01 graphic

Wtedy wartością średnią ZL X nazywamy liczbę

0x01 graphic
.

W przeciwnym razie powiemy, że ZL nie ma wartości średniej.

Definicja

Wartością średnią ZL X=(X1,…,Xn) o wartościach w 0x01 graphic
nazywamy wektor

0x01 graphic
,

O ile wszystkie współrzędne maja wartość średnią.

Twierdzenie (własności EX)

Załóżmy, że wartości średnie EX i EY istnieją. Wtedy

(1) jeśli 0x01 graphic

(2) 0x01 graphic

(3) dla 0x01 graphic
istnieje wartość średnia aX+bY i

0x01 graphic

Ponadto

(4) jeśli 0x01 graphic
, to

0x01 graphic
(lemat Fatou)

(5) jeśli (Xn) jest niemalejącym ciągiem nieujemnych ZL, to 0x01 graphic

(6) jeśli (Xn) jest takim ciągiem ZL, że 0x01 graphic
dla pewnej całkowalnej ZL Z, to

0x01 graphic
.

Definicja

Jeśli 0x01 graphic
, to liczbę tę nazywamy wariancją ZL X o wartościach rzeczywistych i oznaczamy:

0x01 graphic
.

Wariancję można obliczyć w inny sposób

0x01 graphic
.

Twierdzenie (własności wariancji)

Jeśli X jest ZL, dla której 0x01 graphic
, to istnieje D2X oraz:

(1) 0x01 graphic

(2) 0x01 graphic

(3) 0x01 graphic

(4) 0x01 graphic
gdy ZL X jest z pr-stwem 1 stała.

Definicja

Kowariancją całkowalnych ZL X i Y, spełniających warunek 0x01 graphic
, nazywamy wielkość

0x01 graphic
.

Definicja

0x01 graphic
.

Twierdzenie (nierówność Schwarza)

Jeśli 0x01 graphic
, to

0x01 graphic
.

Twierdzenie (nierówność Jensena)

Niech 0x01 graphic
i niech g będzie taką funkcją wypukłą, że 0x01 graphic
. Wtedy

0x01 graphic
.

Twierdzenie (nierówność Czebyszewa)

Niech X będzie nieujemną ZL. Wtedy dla każdego 0x01 graphic
,

0x01 graphic
.

Twierdzenie (nierówność Markowa)

Niech p>0. Wtedy

0x01 graphic

dla dowolnego 0x01 graphic
.

Definicja

ZL 0x01 graphic
o wartościach w R, określone na 0x01 graphic
nazywamy niezależnymi, gdy dla każdego ciągu zbiorów borelowskich 0x01 graphic
zachodzi równość

0x01 graphic
.

Twierdzenie

Niech 0x01 graphic
będą nzl ZL, które mają wartość oczekiwaną. Wtedy istnieje wartość oczekiwana iloczynu 0x01 graphic
i

0x01 graphic
.

Twierdzenie

Jeżeli 0x01 graphic
są nzl ZL, mającymi wariancję, to istnieje wariancja sumy i

0x01 graphic
.

Definicja

Ciąg zmiennych losowych 0x01 graphic
jest zbieżny do zmiennej losowej X:

(1) prawie na pewno, jeśli

0x01 graphic
,

co oznaczamy 0x01 graphic
;

(2) według pr-stwa, jeśli dla każdego 0x01 graphic

0x01 graphic
,

co oznaczamy 0x01 graphic
;

(3) według p-tego momentu (w 0x01 graphic
), 0x01 graphic
, jeśli 0x01 graphic

0x01 graphic
,

co oznaczamy 0x01 graphic
.

(4) według rozkładu, jeśli ciąg dystrybuant 0x01 graphic
jest zbieżny do dystrybuanty F w każdym punkcie ciągłości F. (0x01 graphic
jeśli X~F).

Definicja

0x01 graphic

Mówimy, że ciąg losowy 0x01 graphic
jest zbieżny do ZL X średniokwadratowo jeśli

0x01 graphic

Zapisujemy 0x01 graphic
.



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
zagadnienia, punkt 18, XVIII Przestrzenie liniowe
zagadnienia, punkt 2, II Przestrzenie metryczne zupełne
zagadnienia, punkt 21, XXI Przekształcenia liniowe przestrzeni skończenie wymiarowych
zagadnienia, punkt 1, I Przestrzeń metryczna
zagadnienia, punkt 19, XIX Macierze, działania, rząd macierzy
zagadnienia, punkt 5, V Punkt skupienia zbioru
zagadnienia, punkt 6, VI Własności funkcji ciągłych na zbiorach zwartych (tw
zagadnienia, punkt 22, XXII Działania wewnętrzne, działania przemienne, działania łączne, element ne
zagadnienia, punkt 7, VII Pojęcie pochodnej w punkcie funkcji jednej zmiennej - interpretacja fizycz
zagadnienia, punkt 24, XXIV Centralne twierdzenie graniczne Lindeberga-Levy'ego
zagadnienia, punkt 24, XXIV Centralne twierdzenie graniczne Lindeberga-Levy'ego
zagadnienia, punkt 14, XIV Twierdzenie o lokalnej odwracalności odwzorowań klasy C1
zagadnienia, punkt 15, XV Ciała i sigma-ciała zbiorów
zagadnienia, punkt 20, XX Przekształcenia liniowe i podstawowe ich własności
zagadnienia, punkt 12, XII Ciągi i szeregi funkcyjne - zbieżność punktowa i jednostajna
zagadnienia, punkt 13, XIII Pochodna kierunkowa, pochodne cząstkowe, pochodna mocna
cwiczenia.... SIP -opracowanie zagadnien z cwiczen, Systemy informacji przestrzennej (SIP)
zagadnienia, punkt 11, XI Całka oznaczona funkcji ograniczonej na [a,b]
2. Przestrzeń probabilistyczna AW, WSEIZ, Budownictwo, Semestr III, 6. Statystyka

więcej podobnych podstron