XXIII Przestrzeń probabilistyczna. Zmienne losowe i ich charakterystyki liczbowe. Zbieżność z prawdopodobieństwem 1, według prawdopodobieństwa, według średniej kwadratowej, według rozkładu.
Definicja
Prawdopodobieństwem będziemy nazywać dowolną funkcję P, określoną na
-ciele zdarzeń
, spełniającą warunki:
A1).
A2).
A3). Jeśli
oraz
, to
.
Definicja
Mówiąc krótko, matematyczny model doświadczenia losowego to trójka
, gdzie P jest przeliczalnie addytywną i nieujemną miarą unormowaną, określona na pewnym
-ciele podzbiorów zbioru zdarzeń elementarnych
. Tę trójkę nazywamy przestrzenią probabilistyczną.
Twierdzenie (własności prawdopodobieństwa)
Jeśli
jest przestrzenią probabilistyczną i
, to:
W1).
W2). Jeśli
wykluczają się wzajemnie, tj.
, to
(skończona addytywność)
W3).
W4). Jeśli
W5). Jeśli
W6).
W7).
.
Definicja
Odwzorowanie
nazywamy zmienną losową o wartościach w
, jeśli dla każdego
zbiór
.
Definicja
Rozkładem prawdopodobieństwa ZL X o wartościach w
nazywamy rozkład pr-stwa
określony na
zależnością
.
można zapisywać tak:
.
Definicja
Jeśli
jest rozkładem pr-stwa na
i dla pewnej funkcji
całkowalnej w sensie Lebesgue'a mamy
(1)
to f nazywamy gęstością rozkładu
.
Definicja
Rozkład
na
nazywamy dyskretnym, jeśli istnieje zbiór przeliczalny
, dla którego
.
Definicja
Dystrybuantą rozkładu prawdopodobieństwa
na
nazywamy funkcję
, określoną zależnością
.
Twierdzenie (własności dystrybuanty rozkładu na R)
Dystrybuanta
rozkładu pr-stwa
na R ma następujące własności:
(1)
jest niemalejąca
(2)
(3)
jest prawostronnie ciągła.
Twierdzenie (własności dystrybuanty rozkładu na
)
Dystrybuanta
rozkładu pr-stwa
na
ma następujące własności:
(1)
jest niemalejąca względem każdego argumentu
(2)
, jeśli
(czyli
dla przynajmniej jednego argumentu),
, jeśli
.
(3)
jest prawostronnie ciągła
(4) jeśli
dla k=1,…,n, to
,
gdzie
,
Zaś sumowanie przebiega po zbiorze
Dystrybuanta a gęstość
Jeśli istnieje gęstość g rozkładu
na R, to oczywiście
.
Twierdzenie
Jeśli F jest dystrybuantą, F' istnieje prawie wszędzie, oraz
,
to F' jest gęstością rozkładu o dystrybuancie F.
Definicja
Powiemy, że ZL X o wartościach w R ma wartość średnią (oczekiwaną), jeżeli jest całkowalna, czyli jeżeli
Wtedy wartością średnią ZL X nazywamy liczbę
.
W przeciwnym razie powiemy, że ZL nie ma wartości średniej.
Definicja
Wartością średnią ZL X=(X1,…,Xn) o wartościach w
nazywamy wektor
,
O ile wszystkie współrzędne maja wartość średnią.
Twierdzenie (własności EX)
Załóżmy, że wartości średnie EX i EY istnieją. Wtedy
(1) jeśli
(2)
(3) dla
istnieje wartość średnia aX+bY i
Ponadto
(4) jeśli
, to
(lemat Fatou)
(5) jeśli (Xn) jest niemalejącym ciągiem nieujemnych ZL, to
(6) jeśli (Xn) jest takim ciągiem ZL, że
dla pewnej całkowalnej ZL Z, to
.
Definicja
Jeśli
, to liczbę tę nazywamy wariancją ZL X o wartościach rzeczywistych i oznaczamy:
.
Wariancję można obliczyć w inny sposób
.
Twierdzenie (własności wariancji)
Jeśli X jest ZL, dla której
, to istnieje D2X oraz:
(1)
(2)
(3)
(4)
gdy ZL X jest z pr-stwem 1 stała.
Definicja
Kowariancją całkowalnych ZL X i Y, spełniających warunek
, nazywamy wielkość
.
Definicja
.
Twierdzenie (nierówność Schwarza)
Jeśli
, to
.
Twierdzenie (nierówność Jensena)
Niech
i niech g będzie taką funkcją wypukłą, że
. Wtedy
.
Twierdzenie (nierówność Czebyszewa)
Niech X będzie nieujemną ZL. Wtedy dla każdego
,
.
Twierdzenie (nierówność Markowa)
Niech p>0. Wtedy
dla dowolnego
.
Definicja
ZL
o wartościach w R, określone na
nazywamy niezależnymi, gdy dla każdego ciągu zbiorów borelowskich
zachodzi równość
.
Twierdzenie
Niech
będą nzl ZL, które mają wartość oczekiwaną. Wtedy istnieje wartość oczekiwana iloczynu
i
.
Twierdzenie
Jeżeli
są nzl ZL, mającymi wariancję, to istnieje wariancja sumy i
.
Definicja
Ciąg zmiennych losowych
jest zbieżny do zmiennej losowej X:
(1) prawie na pewno, jeśli
,
co oznaczamy
;
(2) według pr-stwa, jeśli dla każdego
,
co oznaczamy
;
(3) według p-tego momentu (w
),
, jeśli
,
co oznaczamy
.
(4) według rozkładu, jeśli ciąg dystrybuant
jest zbieżny do dystrybuanty F w każdym punkcie ciągłości F. (
jeśli X~F).
Definicja
Mówimy, że ciąg losowy
jest zbieżny do ZL X średniokwadratowo jeśli
Zapisujemy
.