XXIII Przestrzeń probabilistyczna. Zmienne losowe i ich charakterystyki liczbowe. Zbieżność z prawdopodobieństwem 1, według prawdopodobieństwa, według średniej kwadratowej, według rozkładu.

Definicja

Prawdopodobieństwem będziemy nazywać dowolną funkcję P, określoną na
-ciele zdarzeń
, spełniającą warunki:

A1).

A2).

A3). Jeśli
oraz
, to

.

Definicja

Mówiąc krótko, matematyczny model doświadczenia losowego to trójka
, gdzie P jest przeliczalnie addytywną i nieujemną miarą unormowaną, określona na pewnym
-ciele podzbiorów zbioru zdarzeń elementarnych
. Tę trójkę nazywamy przestrzenią probabilistyczną.

Twierdzenie (własności prawdopodobieństwa)

Jeśli
jest przestrzenią probabilistyczną i
, to:

W1).

W2). Jeśli
wykluczają się wzajemnie, tj.
, to

(skończona addytywność)

W3).

W4). Jeśli

W5). Jeśli

W6).

W7).
.

Definicja

Odwzorowanie
nazywamy zmienną losową o wartościach w
, jeśli dla każdego
zbiór
.

Definicja

Rozkładem prawdopodobieństwa ZL X o wartościach w
nazywamy rozkład pr-stwa
określony na
zależnością

.

można zapisywać tak:

.

Definicja

Jeśli
jest rozkładem pr-stwa na
i dla pewnej funkcji
całkowalnej w sensie Lebesgue'a mamy

(1)

to f nazywamy gęstością rozkładu
.

Definicja

Rozkład
na
nazywamy dyskretnym, jeśli istnieje zbiór przeliczalny
, dla którego
.

Definicja

Dystrybuantą rozkładu prawdopodobieństwa
na
nazywamy funkcję
, określoną zależnością

.

Twierdzenie (własności dystrybuanty rozkładu na R)

Dystrybuanta
rozkładu pr-stwa
na R ma następujące własności:

(1)
jest niemalejąca

(2)

(3)
jest prawostronnie ciągła.

Twierdzenie (własności dystrybuanty rozkładu na
)

Dystrybuanta
rozkładu pr-stwa
na
ma następujące własności:

(1)
jest niemalejąca względem każdego argumentu

(2)
, jeśli
(czyli
dla przynajmniej jednego argumentu),
, jeśli
.

(3)
jest prawostronnie ciągła

(4) jeśli
dla k=1,…,n, to

,

gdzie

,

Zaś sumowanie przebiega po zbiorze

Dystrybuanta a gęstość

Jeśli istnieje gęstość g rozkładu
na R, to oczywiście

.

Twierdzenie

Jeśli F jest dystrybuantą, F^' istnieje prawie wszędzie, oraz

,

to F^' jest gęstością rozkładu o dystrybuancie F.

Definicja

Powiemy, że ZL X o wartościach w R ma wartość średnią (oczekiwaną), jeżeli jest całkowalna, czyli jeżeli

Wtedy wartością średnią ZL X nazywamy liczbę

.

W przeciwnym razie powiemy, że ZL nie ma wartości średniej.

Definicja

Wartością średnią ZL X=(X₁,…,X_n) o wartościach w
nazywamy wektor

,

O ile wszystkie współrzędne maja wartość średnią.

Twierdzenie (własności EX)

Załóżmy, że wartości średnie EX i EY istnieją. Wtedy

(1) jeśli

(2)

(3) dla
istnieje wartość średnia aX+bY i

Ponadto

(4) jeśli
, to

(lemat Fatou)

(5) jeśli (X_n) jest niemalejącym ciągiem nieujemnych ZL, to

(6) jeśli (X_n) jest takim ciągiem ZL, że
dla pewnej całkowalnej ZL Z, to

.

Definicja

Jeśli
, to liczbę tę nazywamy wariancją ZL X o wartościach rzeczywistych i oznaczamy:

.

Wariancję można obliczyć w inny sposób

.

Twierdzenie (własności wariancji)

Jeśli X jest ZL, dla której
, to istnieje D²X oraz:

(1)

(2)

(3)

(4)
gdy ZL X jest z pr-stwem 1 stała.

Definicja

Kowariancją całkowalnych ZL X i Y, spełniających warunek
, nazywamy wielkość

.

Definicja

.

Twierdzenie (nierówność Schwarza)

Jeśli
, to

.

Twierdzenie (nierówność Jensena)

Niech
i niech g będzie taką funkcją wypukłą, że
. Wtedy

.

Twierdzenie (nierówność Czebyszewa)

Niech X będzie nieujemną ZL. Wtedy dla każdego
,

.

Twierdzenie (nierówność Markowa)

Niech p>0. Wtedy

dla dowolnego
.

Definicja

ZL
o wartościach w R, określone na
nazywamy niezależnymi, gdy dla każdego ciągu zbiorów borelowskich
zachodzi równość

.

Twierdzenie

Niech
będą nzl ZL, które mają wartość oczekiwaną. Wtedy istnieje wartość oczekiwana iloczynu
i

.

Twierdzenie

Jeżeli
są nzl ZL, mającymi wariancję, to istnieje wariancja sumy i

.

Definicja

Ciąg zmiennych losowych
jest zbieżny do zmiennej losowej X:

(1) prawie na pewno, jeśli

,

co oznaczamy
;

(2) według pr-stwa, jeśli dla każdego

,

co oznaczamy
;

(3) według p-tego momentu (w
),
, jeśli

,

co oznaczamy
.

(4) według rozkładu, jeśli ciąg dystrybuant
jest zbieżny do dystrybuanty F w każdym punkcie ciągłości F. (
jeśli X~F).

Definicja

Mówimy, że ciąg losowy
jest zbieżny do ZL X średniokwadratowo jeśli

Zapisujemy
.