XXI Przekształcenia liniowe przestrzeni skończenie wymiarowych. Postać macierzowa przekształcenia liniowego. Wartości własne macierzy i przekształceń liniowych.

Twierdzenie 1

T_A jest monomorfizmem
.

Twierdzenie 2

Jeżeli
.

Twierdzenie 3

Na to by T_A było epimorfizmem potrzeba i wystarcza, by

(*)
.

Twierdzenie 4

Jeżeli dimV=dimW (m=n) to następujące warunki są równoważne:

1).

2). T_A jest monomorfizmem

3). T_A jest epimorfizmem

4). T_A jest izomorfizmem.

Twierdzenie ( o postaci macierzowej przekształcenia liniowego)

Niech
. Wówczas przy wyborze baz kanonicznych V_n(F) i V_m(F) mamy

.

Definicja

Niech V będzie PL nad ciałem F i
. Powiemy, że element
jest wartością własną przekształcenia liniowego T, jeżeli równanie zmiennej x:

(*)
ma rozwiązanie w zbiorze
.

Każde rozwiązanie równania (*) nazywamy wektorem własnym przekształcenia T odpowiadającym wartości własnej
.

Definicja

Niech
. Wartością własną macierzy A nazywamy każde rozwiązanie równania zmiennej
:

.

---