zagadnienia, punkt 6, VI Własności funkcji ciągłych na zbiorach zwartych (tw


VI Własności funkcji ciągłych na zbiorach zwartych (tw. Weierstrassa, jednostajna ciągłość) i na zbiorach spójnych (własnośc Darboux).

Definicja

Niech 0x01 graphic
, 0x01 graphic
będą p-niami metrycznymi. Mówimy, że funkcja 0x01 graphic
jest jednostajnie ciągła na zbiorze X, gdy

0x01 graphic
.

(każda funkcja jednostajnie ciągła jest ciągła, ale odwrotnie tak nie musi być )

(zaprzeczenie tego warunku 0x01 graphic
).

Przykład (funkcja jest ciągła ale nie jest jednostajnie ciągła)

0x01 graphic
określona następująco 0x01 graphic
0x01 graphic
.

Niech 0x01 graphic

Wówczas

0x01 graphic

0x01 graphic

Zatem f(x) nie jest jednostajnie ciągła.

Definicja

Niech 0x01 graphic
- p-ń metryczna. Niech 0x01 graphic
i 0x01 graphic
. Powiemy, że f jest ograniczona jeśli f(D) jest ograniczony tzn,

0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
.

Twierdzenie Weierstrassa

Załóżmy, że D jest zwartym podzbiorem p-ni metrycznej oraz 0x01 graphic
jest funkcją ciągłą. Wtedy funkcja f jest ograniczona i osiąga na zbiorze D swoje kresy, tzn.

0x01 graphic
oraz 0x01 graphic
.

Twierdzenie

Niech X,Y- p-nie metryczne. Niech 0x01 graphic
będzie zwarty i 0x01 graphic
ciągła na D to f(D) jest zwarty.

Twierdzenie

Załóżmy, że 0x01 graphic
, 0x01 graphic
są p-niami metrycznymi przy czym p-ń X jest zwarta. Wówczas funkcja 0x01 graphic
ciągła na X jest jednostajnie ciągła na X.

Definicja

Niech 0x01 graphic
- p-ń metryczna i 0x01 graphic
. f ma własność Darboux jeżeli

0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
.

Twierdzenie Darboux

Niech 0x01 graphic
- p-ń metryczna.

X jest spójna wtedy i tylko wtedy gdy każda funkcja 0x01 graphic
ciągła ma własność Darboux.

Twierdzenie

Niech 0x01 graphic
- p-ń metryczna i X spójna, 0x01 graphic
ciągła, wówczas f(x) jest zbiorem spójnym.



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
11 Własności funkcji ciągłych na zbiorach zwartych
11 Własności funkcji ciągłych na zbiorach zwartych
10 Wlasnosci funkcji ciaglych Nieznany (2)
040 Granice Ciągłość Własności funkcji ciągłych
15 Rozdział 14 Rozwijanie funkcji ciągłych na szeregi wielomianów
15 Rozdział 14 Rozwijanie funkcji ciągłych na szeregi wielomianów
zagadnienia, punkt 11, XI Całka oznaczona funkcji ograniczonej na [a,b]
Działania na funkcjach ciągłych
zagadnienia, punkt 7, VII Pojęcie pochodnej w punkcie funkcji jednej zmiennej - interpretacja fizycz
zagadnienia, punkt 20, XX Przekształcenia liniowe i podstawowe ich własności
zagadnienia, punkt 10, X Funkcja pierwotna, całka nieoznaczona
INSTRUKCJA O SZACUNKU DLA RODZĄCEGO SIĘ ŻYCIA LUDZKIEGO I O GODNOŚCI JEGO PRZEKAZYWANIA ODPOWIEDZI N
Prawa działań na zbiorach
zagadnienia konkursowe2012, Materiały przedmiotowe, WoS, Materiały na konkurs wiedzy o samorządzie
Witryna w Internecie – zasady tworzenia i funkcjonowania odpowiedzi na0
Podstawowe wlasnosci funkcji zadania domowe
Ochrona własności intelektualnej test na
WŁASNOŚCI FUNKCJI ODCZYTYWANE Z WYKRESU

więcej podobnych podstron