Rząd macierzy

Przykład 1: Oblicz rząd następujących macierzy stosując metodę wyznacznikową

a)

Rząd macierzy jest to największy stopień jej niezerowego minora (minor to inaczej wyznacznik kwadratowej podmacierzy danej macierzy). Stąd wynika, że
, gdzie m - liczba wierszy w macierzy, a n - liczba kolumn. W naszym przypadku
.

, gdy istnieje niezerowy minor stopnia 4, ale tym minorem (ponieważ rozpatrujemy macierz kwadratową) jest wyznacznik macierzy A. Zatem sprawdzamy wartość wyznacznika

, (mała dygresja: wyznacznik macierzy, w której występuje złożony z zer wiersz lub kolumna jest równy zero, jeśli mi nie wierzysz sprawdź to, obliczając wyznacznik metodą rozwinięcia Laplace'a).

Wartość wyznacznika jest 0, stąd
. Badamy, czy istnieje niezerowy minor stopnia 3. Tych minorów jest
. Weźmy na przykład

(Przypominam, że do obliczania wyznacznika macierzy stopnia 3 stosujemy metodę Sarrusa). Zatem

b)

. Sprawdzamy, więc minory stopnia drugiego, których jest

Wszystkie są zerowe, a zatem
. Ponieważ istnieje niezerowy minor stopnia pierwszego, np.
, zatem
.

Przykład 2: Oblicz rząd następujących macierzy stosując metodę operacji elementarnych

a)

Za pomocą operacji elementarnych przekształcamy macierz A tak, aby w wierszu bądź kolumnie uzyskać zera i jedną wartość różną od zera. W tym celu od wiersza trzeciego odejmiemy podwojony wiersz drugi, co nam daje macierz
. Teraz możemy wykreślić drugą kolumnę i drugi wiersz, ale fakt opuszczenia zaznaczamy dodając do rzędu macierzy liczbę 1.

UWAGA! Liczba 1 nie ma nic wspólnego z tym, że w drugim wierszu i w drugiej kolumnie stoi wartość 1

Zatem
Podobnie możemy opuścić pierwszy wiersz i drugą kolumnę,
. Natomiast rząd macierzy jednowierszowej (jednokolumnowej), o co najmniej jednym elemencie różnym od zera jest równy 1. Zatem
.

b)

Gdy w macierzy są dwa takie same wiersze (kolumny), to możemy jeden opuścić nie dodając jedynki. Ponieważ w naszej macierzy są 3 takie same wiersze, dwa możemy opuścić, co daje

=1+1=2

c)

Gdy w macierzy pojawia się wiersz (lub kolumna) złożona z samych zer, wówczas możemy go opuścić nie dodając jedynki. Zatem otrzymujemy

Zadanie 1: Oblicz rząd podanych macierzy korzystając z metody wyznacznikowej

a)
b)
c)
d)

Odpowiedzi: a) 2, b) 2, c) 3, d) 2

Zadanie 2: Oblicz rząd macierzy za pomocą operacji elementarnych.

a)
b)
c)

d)
e)
f)

Odpowiedzi: a) 2, b) 3, c) 1, d) 2, e) 3, f) 2

2

Rząd macierzy

---