STALOWA WOLA 2004-06-08

„SPOSOBY OBLICZANIA

RZĘDU MACIERZY”

PRZEDSIĘBIORCZOŚĆ I ZARZĄDZANIE

Niech



będzie macierzą postaci (3). Każda kolumna macierzy



jest

wektorem przestrzeni m-wymiarowej

R

m

. Maksymalną liczbę linowo

niezależnych kolumn macierzy



nazywamy jej rzędem i oznaczmy symbolem

R (



). Rząd macierzy jest wiec równy wymiarowi podprzestrzeni liniowej

rozpiętej na kolumnach tej macierzy. Z definicji rzędu macierzy wynika, że
jeżeli wszystkie elementy macierzy



są równe zeru, to R (



)=0. Można

udowodnić, że maksymalna liczba liniowo niezależnych kolumn macierzy jest
równa maksymalnej liczbie liniowo niezależnych wierszy tej macierzy. Jeśli
macierz



nie jest zerową, to jej rząd R (



) jest liczbą naturalną, nie większą

od min (m, n), czyli R (



) <=min (m, n).

Podstawą metody szukania rzędu macierzy może być fakt, że rząd

macierzy nie ulega zmianie, gdy dokonamy na tej macierzy dowolnej operacji
elementarnej. Znaczy to, że macierze równoważne mają ten sam rząd.

Przykład 1

Znaleźć rząd macierzy wyszukując liczbę kolumn (wierszy ) liniowo
niezależnych.

























4

3

2

1

1

2

1

2

2

1

0

1

R



























4

3

2

1

1

2

1

2

2

1

0

1

)

(

R

Do elementów trzeciego wiersza dodajemy odpowiednie elementy wiersza
drugiego pomnożone przez -2





























2

1

0

3

1

2

1

2

2

1

0

1

r

Do pierwszej i trzeciej i czwartej kolumny dodajemy drugą, pomnożoną
odpowiednio przez -2 -2-1





























2

1

0

3

0

0

1

0

2

1

0

1

R

Kolumna druga jest liniowo niezależna od pozostałych, podobnie jest z drugim
wierszem























2

1

3

2

1

1

1 R

Do drugiego wiersza dodajemy pierwszy wiersz





















4

0

2

2

1

1

1 R

Do pierwszej i drugiej kolumny dodajemy pierwszą pomnożoną odpowiednio
przez -1 -2





















4

0

2

0

1

0

1 R

Druga kolumna jest liniowo niezależna od pozostałych. Podobnie jest z
pierwszym wierszem





3

4

2

2









R

Przykład 2

Za pomocą przekształceń elementarnych obliczyć rząd macierzy

























1

1

2

2

2

2

2

1

3

4

1

2

2

1

3

Odejmujemy od elementów pierwszej kolumny odpowiednie elementy piątej
kolumny pomnożone przez dwa.

























1

1

2

2

0

2

2

1

3

0

1

2

2

1

1

Odejmujemy od elementów drugiej kolumny odpowiednie elementy piątej
kolumny

























1

1

2

1

0

2

2

1

1

0

1

2

2

0

1

Odejmujemy od elementów trzeciego wiersza odpowiednie elementy drugiego
wiersza





























1

1

1

0

0

2

2

1

1

0

1

2

2

0

1

Odejmujemy od elementów pierwszego wiersza odpowiednie elementy
trzeciego wiersza pomnożone przez dwa





























1

1

1

0

0

2

2

1

1

0

3

4

0

0

1

Od elementów drugiego wiersza odpowiednie elementy trzeciego wiersza
otrzymujemy





























1

1

1

0

0

2

2

0

1

0

3

4

0

0

1

Postać kanoniczną macierzy



. Macierz



w postaci kanonicznej zawiera

podmacierz jednostkową stopnia trzeciego. Zatem rząd macierzy



równy jest

3.


Wyznaczanie rzędu macierzy za pomocą wyznaczników.

Niech

M

R

oznacza różny od zera minor stopnia r macierzy A wymiaru

n

m



gdzie r<=min (m,n)

Jeżeli każdy minor macierzy A stopnia wyższego ok. r jest równy zeru to rząd
macierzy A jest równy r.

Rząd macierzy jest równy najwyższemu ze stopni tych jej minorów, które

są różne od zera

Rząd macierzy jednowierszowej (jednokolumnowej), o co najmniej

jednym elemencie różnym od zera, jest równy 1

Rząd macierzy jest równy zero jedynie wtedy, gdy macierz ta jest zerowa

Rząd macierzy A jest więc liczbą całkowitą taką że

)

,

min(

)

(

0

n

m

A

R





Jeśli min (m,n)=m to rząd macierzy A jest równy m gdy co najmniej

jedena podmacierz stopnia m macierzy A jest nieosobliwa. Jeżeli natomiast
wszystkie podmacierze stopnia m macierzy A są osobliwe, to R(A)<m

Wszystkich podmacierzy stopnia m macierzy A ma













m

n

Przykład 3

Wyznacz rząd macierzy















6

2

4

2

3

1

2

1

A

Ponieważ macierz A jest wymiaru 2x4 czyli min (2,4)=2 wiec liczba R(A)

może być co najwyżej równa 2. Jednak wszystkie podmacierze stopnia drugiego
macierzy A













4

2

2

1













2

2

1

1













6

2

3

1













2

4

1

2













6

4

3

2













6

2

3

1

są osobliwe (wiersze są liniowo zależne) wiec R(A)<2
rząd R(A)=1 gdyż istnieje nieosobliwa podmacierz stopnia pierwszego np.
macierz [3]
ponieważ każda macierz A wymiaru jest

n

m



jest układem n wektorów

przestrzeni

R

m

(lub układem m wektorów przestrzeni

R

n

) wiec rząd macierzy A

informuje o ich liniowej zależności (niezależności). Jeśli min (m,n)=n to
kolumny macierzy A są układem wektorów liniowo niezależnych (zależnych)
gdy R(A)=n(R(A)<n). analogicznie jet z wierszami tzn. jeśli min (m,n)=m oraz
R(A)=m(R(A)<m) to wiersze są liniowo niezależne (zależne).