RW – 1.3
– dr inż. Jan Ruchel
1/4
Macierze - rozkład
Rodzaje macierzy
(ze względu na kształt i elementy macierzy)
Macierz zerowa
0
A
m,n
.
def
a
i,j
= 0 (m, n
– dowolne)
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Macierz kwadratowa
A
n,n
9
8
7
6
5
4
3
2
1
Macierz symetryczna
S
n,n
.
def
s
i,j
= s
j,i
5
0
3
0
1
2
3
2
1
Przekątna macierzy (przekątna główna) – a
i,i
Elementy o tym samym wskaźniku wiersza i kolumny
3
2
1
1
9
2
6
1
2
Macierz diagonalna
D
n,n
.
def
d
i,i
0 oraz d
i,j
= 0
1
0
0
0
4
0
0
0
3
RW – 1.3 – dr inż. Jan Ruchel
2/4
Macierze - rozkład
Macierz skalarna
S
n,n
.
def
s
i,i
= c (dla c 0) oraz s
i,j
= 0
3
0
0
0
3
0
0
0
3
Macierz jednostkowa E
E
n,n
.
def
e
i,i
= 1 oraz e
i,j
= 0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
Iloczyn skalaru przez macierz jednostkow
ą daje macierz skalarną
S = c * E
(np. S = 3 * E)
3
0
0
0
3
0
0
0
3
1
0
0
0
1
0
0
0
1
*
3
Iloczyn macierzy
A
T
*A
jest macierzą symetryczną
A
T
* A = S
2
1
1
0
2
1
2
0
1
2
1
1
6 1
1 5
*
Transpoza macierzy symetrycznej daje macierz pierwotną
N
T
= (A
T
* A)
T
= A
T
* A = N
Dla macierzy symetrycznej P iloczyn
m
m
m
n
n
n
T
n
m
N
A
P
A
,
,
,
,
*
*
daje macierz symetryczną
2
3
1
2
1
1
3
0
0
3
2
1 1
3
2
1
6
9
3
6
3
3
2
1 1
3
2
1
39
24
15
24
15
9
15
9
6
*
*
*
RW – 1.3 – dr inż. Jan Ruchel
3/4
Macierze - rozkład
Dla macierzy kwadratowych można zdefiniować potęgowanie
A * A = A
2
Macierz idempotentna A
A
2
= A
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
2
*
Macierz
elementarna
(trójkątna lub trapezowa)
Macierz zawi
erająca poniżej lub powyżej przekątnej same 0
2
1
0
0
3
2
1
0
4
3
2
1
1
0
0
2
1
0
3
2
1
0
0
0
0
0
0
2
0
5
3
0
0
3
1
0
0
0
5
RW – 1.3 – dr inż. Jan Ruchel
4/4
Macierze - rozkład
Rozkład macierzy na czynniki elementarne
Macierz
kwadratową
(n,n)
można rozłożyć na iloczyn dwóch macierzy
trójkątnych
(n,n)
, z których pierwsza składa się z elementów zerowych nad
przekątna główną, a druga ma elementy=0 pod przekątna główną
A
n,n
= H
T
n,n
* G
n,n
Elementy położone na przekątnej jednej z macierzy H lub G mogą być
dowolnie ustalonymi liczbami z wy
jątkiem zera. Najczęściej przyjmuje się na
przekątnej macierzy G jedynki
, a pozostałe elementy macierzy H i G
wyznacza się z definicji mnożenia macierzy.
Macierz
prostokątną poziomą (czyli m<n) można rozłożyć na iloczyn
macierzy trójkątnej H
m,m
i macierzy
trapezowej G o „m” wierszach i „n”
kolumnach
(identycznych rozmiarów , co macierz rozkładana).
A
m,n
= H
T
m,m
* G
m,n
Elementy na przekątnej macierzy G (mogą być ustalone jako = 1
(zalecane).
Przykład rozkładu macierzy
2
4
6
4
3
5
13
3
2
3
13
7
2
0
0
3
1
0
2
1
3
1
2
3
2
0
1
4
3
0
0
1
2
*
Macierz symetr
yczną można rozłożyć na iloczyn dwóch macierzy
(
z których jedna jest transpozą drugiej).
N
n,n
= R
T
n,n
* R
n,n
9
6
3
6
8
10
3
10
42
3
0
0
2
2
0
1
4
5
3
2
1
0
2
4
0
0
5
*
Macierz R nazywamy pierwiastkiem kwadratowym macierzy N.
UWAGA! ROZKŁAD I WSZYSTKIE INNE DZIAŁANIA NA MACIERZACH WYKONYWANE
„RĘCZNIE” NALEŻY WYKONYWAĆ ŁĄCZNIE Z KONTROLAMI SUMOWYMI.