Pojęcia macierzy
Macierz jest to tablica pewnych liczb rzeczywistych:
=
amn
am
am
am
n
a
a
a
a
n
a
a
a
a
n
a
a
a
a
A
.....
3
2
1
....
....
....
....
....
3
.....
33
32
31
2
.....
23
22
21
1
.....
13
12
11
a
mn
m - to rzędy macierzy,
n - to kolumny macierzy
Pojęcia macierzy kwadratowej.
Jeżeli m = n to taką macierz nazywamy macierzą kwadratową.
Pojęcia przekątnej głównej macierzy.
=
9
8
7
6
5
4
2
2
1
A
1, 5, 9 leżą na przekątnej głównej macierzy
Pojęcia macierzy jednostkowej.
⇒
=
1
0
0
0
1
0
0
0
1
A
macierz jednostkowa bo w każdym wierszu i każdej kolumnie leży tylko jedna jedynka
Pojęcia macierzy transponowanej.
=
amn
am
am
am
n
a
a
a
a
n
a
a
a
a
n
a
a
a
a
A
.....
3
2
1
....
....
....
....
....
3
.....
33
32
31
2
.....
23
22
21
1
.....
13
12
11
=
amn
n
a
n
a
n
a
am
a
a
a
am
a
a
a
am
a
a
a
A
T
.....
3
2
1
....
....
....
....
....
3
.....
33
23
13
2
.....
32
22
12
1
.....
31
21
11
W macierzy transponowanej to co jest rzędami w macierzy podstawowej staje się kolumnami tzn. pierwszy rząd
staje się pierwszą kolumną, drugi wiersz staje się drugą kolumną itd.
Macierz transponowana powtórnie transponowana, daje w wyniku macierz pierwotną.
( )
A
A
T
T
=
Działania na macierzach:
Dodawanie macierzy:
=
+
=
=
12
10
8
6
4
3
2
1
8
7
6
5
B
A
B
A
Dodajemy macierze które mają jednakowe wymiary.
[ ]
[ ]
[
]
n
m
n
n
n
m
n
n
m
n
b
a
B
A
b
B
a
A
∗
∗
∗
+
=
+
=
=
=
+
=
=
5
9
3
5
3
4
2
2
2
5
1
3
B
A
B
A
Odejmowanie macierzy:
=
−
=
=
4
4
4
4
4
3
2
1
8
7
6
5
B
A
B
A
Odejmujemy macierze które mają jednakowe wymiary.
Mnożenie macierzy:
1. Mnożenie stałej przez macierz:
[
]
n
m
n
B
a
B
a
∗
∗
=
∗
2. Mnożenie macierzy przez macierz:
Mnożenie wykonujemy w ten sposób, że wiersze I macierzy mnożymy przez kolumny II macierzy.
∗
+
∗
∗
+
∗
∗
+
∗
∗
+
∗
=
∗
=
=
=
4
1
2
7
3
1
1
7
4
6
2
5
3
6
1
5
4
3
2
1
8
7
6
5
B
A
C
B
A
=
=
∗
+
∗
+
∗
=
∗
+
∗
+
∗
=
∗
+
∗
+
∗
=
∗
+
∗
+
∗
=
∗
+
∗
+
∗
=
∗
+
∗
+
∗
=
∗
+
∗
+
∗
=
∗
+
∗
+
∗
=
∗
+
∗
+
∗
=
=
∗
=
=
=
7
4
20
1
5
18
13
4
25
2
+
5
+
0
2
+
0
+
2
12
+
2
+
6
1
+
0
+
0
1
+
0
+
4
6
+
0
+
12
3
+
10
+
0
3
+
0
+
1
18
+
4
+
3
=
1
2
5
1
0
2
1
2
0
1
1
2
6
2
2
1
3
2
1
1
5
0
0
4
1
1
0
0
1
4
6
1
2
0
3
4
1
3
5
2
0
1
1
3
0
2
1
1
c
6
3
2
2
3
1
1
1
6
5
0
2
0
1
3
2
1
2
1
0
4
3
2
1
33
32
31
23
22
21
13
12
11
c
c
c
c
c
c
c
c
B
A
C
B
A
Ilość elementów w wierszu I macierzy musi być równa ilości elementów w pierwszej kolumnie II macierzy.
[ ]
[ ]
2
3
3
3
∗
∗
=
=
B
A
=
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
=
∗
+
∗
+
∗
∗
+
∗
+
∗
∗
+
∗
+
∗
∗
+
∗
+
∗
∗
+
∗
+
∗
∗
+
∗
+
∗
=
∗
=
=
6
16
6
16
7
19
4
0
2
8
2
6
2
0
4
4
0
12
6
0
1
12
4
3
2
2
0
1
1
2
4
2
2
1
3
2
2
1
0
0
1
4
4
1
2
0
3
4
2
3
0
2
1
1
4
3
2
2
3
1
2
4
0
2
1
3
2
1
2
1
0
4
3
2
1
B
A
B
A
Własności mnożenia:
1.
Iloczyn macierzy na ogół nie jest przemienny:
A* B
≠
B
•
A
2.
C(A+B) = C*A + C*B
(A+B)*C = A*C + B*C
Pojęcia wyznacznika macierzy.
bc
ad
A
A
d
c
b
a
A
−
=
=
=
Wyznacznik
lub
detA
:
oznaczamy
Jeżeli mamy macierz trzeciego stopnia:
=
3
2
1
3
2
1
3
2
1
c
c
c
b
b
b
a
a
a
A
to wyznacznik takiej macierzy możemy wyznaczyć na trzy sposoby:
Pierwszy sposób:
3
1
2
2
3
1
1
2
3
2
1
3
1
3
2
3
2
1
2
1
2
1
2
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
c
b
a
c
b
a
c
b
a
c
b
a
c
b
a
c
b
a
c
c
b
b
a
a
c
c
c
b
b
b
a
a
a
A
c
c
c
b
b
b
a
a
a
A
⋅
⋅
−
⋅
⋅
−
⋅
⋅
−
⋅
⋅
+
⋅
⋅
+
⋅
⋅
=
=
=
Drugi sposób:
0
0
2
6
3
5
2
6
1
1
2
2
6
1
5
0
6
1
3
2
1
0
1
2
3
6
5
6
2
1
0
1
2
3
3
2
1
3
2
1
1
2
3
1
2
3
1
2
3
3
2
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
=
∗
∗
−
∗
∗
−
∗
∗
−
∗
∗
+
∗
∗
+
∗
∗
=
=
⋅
⋅
−
⋅
⋅
−
⋅
⋅
−
⋅
⋅
+
⋅
⋅
+
⋅
⋅
=
=
A
b
b
b
a
a
a
b
a
c
a
c
b
a
b
a
b
a
c
a
c
b
c
b
a
A
c
c
c
b
b
b
a
a
a
A
Macierz której wyznacznik jest równy 0 („zero”) nazywa się m a c i e r z ą o s o b l i w ą .
Trzeci sposób:
1
2
3
1
2
3
1
2
3
3
2
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
3
2
1
b
a
c
a
c
b
a
b
a
b
a
c
a
c
b
c
b
a
A
c
c
c
b
b
b
a
a
a
A
⋅
⋅
−
⋅
⋅
−
⋅
⋅
−
⋅
⋅
+
⋅
⋅
+
⋅
⋅
=
=
1
2
3
4
0
2
6
5
1
6
2
2
1
1
0
4
5
3
4
1
6
2
5
0
1
2
3
4
1
6
2
5
0
1
2
3
4
1
6
2
5
0
1
2
3
4
1
6
2
5
0
1
2
3
4
1
6
2
5
0
1
2
3
4
1
6
2
5
0
1
2
3
∗
∗
−
∗
∗
−
∗
∗
−
∗
∗
+
∗
∗
+
∗
∗
=
−
−
−
+
+
=
A
.
Jeżeli mamy macierz czwartego stopnia to postępujemy w sposób opisany poniżej:
dopisujemy dwie
kolumny
dopisujemy dwa
rzędy
=
=
2
1
0
2
6
5
4
3
1
2
0
6
0
3
2
1
A
Wzór:
a
kl
(-1)
k+l
det A’
Poszukujemy wiersza lub kolumny o największej ilości zer (tutaj druga kolumna).
=
−
+
−
+
−
+
−
+
+
+
+
6
5
3
1
2
6
0
3
1
)
1
(
0
2
1
2
1
2
6
0
3
1
)
1
(
4
2
1
2
6
5
3
0
3
1
)
1
(
0
2
1
2
6
5
3
1
2
6
)
1
(
2
2
4
2
3
2
2
2
1
Temat:
Macierze odwrotne.
A
A
A
=
−
1
I
A
=
−
1
Macierz odwrotna istnieje tylko wtedy jeżeli wyznacznik macierzy jest różny od zera.
0
det
≠
A
Obliczanie macierzy odwrotnej:
I sposób.
Pierwszy krok: trzeba policzyć wyznacznik
detA
z macierzy.
=
1
1
0
1
3
2
6
5
1
A
[
]
4
10
)
1
2
5
(
1
)
1
1
1
(
0
)
0
3
6
(
12
)
1
2
6
(
0
)
0
1
5
(
3
)
1
3
1
(
1
0
3
2
5
1
1
1
0
1
3
2
6
5
1
det
=
=
⋅
⋅
−
=
⋅
⋅
−
=
⋅
⋅
−
=
⋅
⋅
+
=
⋅
⋅
+
=
⋅
⋅
=
=
A
0
det
≠
A
więc macierz odwrotna istnieje
Drugi krok:
buduje się macierz dopełnień
D
A
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
=
−
−
−
−
−
−
−
−
−
=
+
+
+
+
+
+
+
+
+
3
2
5
1
1
1
2
6
1
1
1
3
6
5
1
1
0
5
1
1
1
0
6
1
1
1
1
6
5
1
1
0
3
2
1
1
0
1
2
1
1
1
1
3
1
3
3
2
3
1
3
3
2
2
2
1
2
3
1
2
1
1
1
D
A
−
−
−
−
=
7
11
13
1
1
1
2
2
2
D
A
Trzeci krok:
transponujemy macierz
( )
T
D
A
−
−
−
−
=
7
11
13
1
1
1
2
2
2
D
A
( )
−
−
−
−
=
7
1
2
11
1
2
13
1
2
T
D
A
Krok czwarty:
wyznaczenie macierzy odwrotnej:
( )
T
D
A
A
A
⋅
=
−
det
1
1
( )
−
−
−
−
=
−
−
−
−
⋅
=
=
=
=
4
7
4
1
4
2
4
11
4
1
4
2
4
13
4
1
4
2
7
1
2
11
1
2
13
1
2
4
1
det
1
A
4
1
det
1
4
det
1
-
T
D
A
A
A
A
Sprawdzenie poprawności obliczeń:
Jeżeli macierz odwrotną przemnożymy przez daną macierz, otrzymamy macierz pierwotną:
)
(pierwotna
1
I
A
A
=
⋅
−
−
−
−
−
=
4
7
4
1
4
2
4
11
4
1
4
2
4
13
4
1
4
2
A
1
-
=
1
1
0
1
3
2
6
5
1
A
=
∗
−
−
−
−
=
⋅
1
0
0
0
1
0
0
0
1
być
winno
1
1
0
1
3
2
6
5
1
4
7
4
1
4
2
4
11
4
1
4
2
4
13
4
1
4
2
A
1
-
A
Sprawdzamy:
=
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
+
+
−
+
+
−
+
+
−
−
+
+
−
+
+
−
+
+
=
∗
−
−
−
−
=
⋅
1
4
7
1
4
1
6
4
2
1
4
7
3
4
1
5
4
2
0
4
7
2
4
1
1
4
2
1
4
11
1
4
1
6
4
2
1
4
11
3
4
1
5
4
2
0
4
11
2
4
1
1
4
2
1
4
13
1
4
1
6
4
2
1
4
13
3
4
1
5
4
2
0
4
13
2
4
1
1
4
2
1
1
0
1
3
2
6
5
1
4
7
4
1
4
2
4
11
4
1
4
2
4
13
4
1
4
2
A
1
-
A
=
=
−
−
−
−
−
+
+
−
+
+
−
+
−
−
+
−
+
+
=
1
0
0
0
1
0
0
0
1
4
4
4
0
4
0
4
0
4
4
4
0
4
0
4
0
4
4
4
7
1
12
4
7
3
10
4
2
2
4
11
1
12
4
11
3
10
4
2
2
4
13
1
12
4
13
3
10
4
2
2
Sprawdzenie wypadło prawidłowo.
Obliczanie macierzy odwrotnej:
II sposób.
(przekształcenia elementarne)
I
A
1
0
0
0
1
0
0
0
1
1
1
0
1
3
2
6
5
1
=
A
Przekształcenie – 1
Pierwszy i trzeci wiersz przepisujemy bez zmian bo jest jedynka i zero
Aby zamiast elementu a
21
= 2 otrzymać 0 należy wiersz w1 pomnożyć przez (-2) i dodać wiersz 1.
1
0
0
0
1
0
0
0
1
1
1
0
1
3
2
6
5
1
=
A
2
1
)
2
(
2
1
0
0
0
1
0
0
0
1
1
1
0
1
3
2
6
5
1
w
w
w
+
−
=
=
ok.!
−
−
−
=
1
0
0
0
1
2
0
0
1
1
1
0
11
7
0
6
5
1
Przekształcenie – 2
Aby zamiast elementu a
22
= -7 otrzymać 1 należy wiersz 2 podzielić przez -7
7
w2
w2
1
0
0
0
1
2
0
0
1
1
1
0
11
7
0
6
5
1
−
=
−
−
−
=
A
ok.!
−
=
1
0
0
0
7
1
7
2
0
0
1
1
1
0
7
11
1
0
6
5
1
Przekształcenie – 3
Aby zamiast elementu a
12
= 5 otrzymać 0 należy wiersz 2 pomnożyć przez (-5) i dodać do wiersza 1.
( )
1
2
5
1
1
0
0
0
7
1
7
2
0
0
1
1
1
0
7
11
1
0
6
5
1
w
w
w
+
−
=
−
=
ok.!
−
−
−
=
1
0
0
0
7
1
7
2
0
7
5
7
3
1
1
0
7
11
1
0
7
13
0
1
Przekształcenie – 4
Aby zamiast elementu a
32
= 1 otrzymać 0 należy w2 pomnożyć przez (-1) i dodać do wiersza 3.
3
2
)
1
(
3
1
0
0
0
7
1
7
2
0
7
5
7
3
1
1
0
7
11
1
0
7
13
0
1
w
w
w
+
−
=
−
−
−
=
ok.!
−
−
−
−
−
=
1
7
1
7
2
0
7
1
7
2
0
7
5
7
3
7
4
0
0
7
11
1
0
7
13
0
1
Przekształcenie – 5
Aby zamiast elementu a
33
= -4/7 otrzymać 1 należy w3 pomnożyć przez (-7/4)
3
4
7
3
1
7
1
7
2
0
7
1
7
2
0
7
5
7
3
7
4
0
0
7
11
1
0
7
13
0
1
w
w
−
=
−
−
−
−
−
=
ok.!
−
−
−
−
−
=
4
7
4
1
2
1
0
7
1
7
2
0
7
5
7
3
1
0
0
7
11
1
0
7
13
0
1
Przekształcenie – 6
Aby zamiast elementu a
13
= -1/3 otrzymać 0 należy wiersz 3 pomnożyć przez (1/3) i dodać do w1
1
3
7
13
1
4
7
4
1
2
1
0
7
1
7
2
0
7
5
7
3
1
0
0
7
11
1
0
7
13
0
1
w
w
w
+
=
−
−
−
−
−
=
ok.!
−
−
−
−
=
4
7
4
1
2
1
0
7
1
7
2
4
13
4
1
2
1
1
0
0
7
11
1
0
0
0
1
Przekształcenie – 7
Aby zamiast elementu a
23
= 11/7 otrzymać 0 należy wiersz 3 pomnożyć przez (-11/7) i dodać do w2
2
3
7
11
2
4
7
4
1
2
1
0
7
1
7
2
4
13
4
1
2
1
1
0
0
7
11
1
0
0
0
1
w
w
w
+
−
=
−
−
−
−
=
ok.!
−
−
−
−
=
4
7
4
1
2
1
4
11
4
1
2
1
4
13
4
1
2
1
1
0
0
0
1
0
0
0
1
Temat2 :
Układy równań liniowych
Rozwiązanie I metodą.
=
=
−
=
3
2
1
3
2
1
3
2
1
3
2
4
2
6
5
3
x
x
x
x
x
x
x
x
x
12
10
8
B
x
A
=
⋅
−
=
3
2
1
4
1
2
6
5
3
A
=
3
2
1
x
x
x
x
=
12
10
8
B
Jeżeli
0
A
det
≠
B
A
x
1
−
=
wyników
macierz
B
nników
wspólczy
Macierz
A
=
=
B
A
x
B
A
Ax
A
B
Ax
1
1
−
−
=
=
′
=
Wzory Krammera
Rozwiązanie II metodą.
W
W
X
i
X
i
=
gdzie W = wyznacznik macierzy współczynników
13
30
24
6
24
20
9
523
342
1
)
1
(
6
622
541
3
)
1
(
3
2
1
1
-
2
5
3
3
2
1
4
1
2
6
5
3
−
=
−
−
+
+
+
−
=
−
−
−
−
+
+
−
=
−
=
W
=
i
X
W
w miejsce X
i
ma kolumnę wyrazów wolnych
???????
184
150
64
72
120
240
24
3
.
10
.
5
842
12
)
1
(
6
2
.
10
.
6
12
.
54
3
)
1
(
8
2
12
1
-
10
5
8
3
2
12
4
1
10
6
5
8
=
−
−
+
+
+
−
=
−
−
−
−
+
+
−
=
−
=
W
13
184
1
1
−
=
=
W
W
X
X
Rozwiązanie III metodą.
=
−
=
=
−
3
2
1
3
2
1
3
2
1
3
4
3
2
3
2
x
x
x
x
x
x
x
x
x
10
12
8
10
12
8
3
4
1
1
3
2
3
2
1
−
−
macierz
wektor
współczyn
prawo
ników
stronny
przekształcamy lewą stronę do macierzy jednostkowej:
=
+
−
=
−
−
2
1
)
2
(
2
10
12
8
3
4
1
1
3
2
3
2
1
w
w
w
=
+
−
=
−
=
−
−
−
−
3
1
)
1
(
3
2
)
1
(
2
10
4
8
3
4
1
7
1
0
3
2
1
w
w
w
w
w
=
+
−
=
−
−
3
2
)
2
(
3
2
4
8
0
2
0
7
1
0
3
2
1
w
w
w
=
=
+
−
=
−
−
−
14
3
3
1
2
)
2
(
1
6
4
8
14
0
0
7
1
0
3
2
1
w
w
w
w
w
=
+
=
+
−
=
−
−
2
3
7
2
1
3
)
11
(
1
7
3
4
0
1
0
0
7
1
0
11
0
1
w
w
w
w
w
w
7
3
1
7
33
7
3
1
7
33
1
0
0
0
1
0
0
0
1
3
2
1
=
=
=
=
−
x
x
x
Matematyka ćwiczenia.
Przykład:
Oblicz wskaźnik macierzy IV stopnia
=
=
0
3
2
1
1
2
0
5
1
1
3
0
4
1
2
3
A
Wszystkie kolumny i rzędy mają taką sama ilość zer. Możemy więc wybrać dowolny element od którego
rozpoczniemy obliczenia. Rozpoczniemy od zera z 3 rządu , 2 kolumny. Rząd 3, kolumna 2 zostają więc
wyeliminowany z obliczeń.
=
=
0
3
2
1
1
2
0
5
1
1
3
0
4
1
2
3
A
=
0
3
2
1
1
2
0
5
1
1
3
0
4
1
2
3
=
0
3
2
1
1
2
0
5
1
1
3
0
4
1
2
3
( )
( )
( )
( )
68
36
132
28
-
(-18)
2
44
3
14
2
-
-18
W
44
W
14
W
1
1
0
4
1
3
1
2
5
1
1
0
4
1
3
1
2
1
2
5
4
1
3
0
3
1
1
2
5
4
1
3
1
3
1
2
5
1
1
0
0
3
1
1
2
5
1
1
0
1
2
2
4
2
2
2
1
−
=
−
+
=
⋅
+
⋅
+
⋅
=
=
=
=
−
+
−
+
−
+
+
+
Przykład:
Obliczyć macierz odwrotna metodą dopełnień.
−
=
2
4
1
2
3
0
1
2
1
A
1) Obliczamy wskaźnik macierzy:
3
12
9
8
3
4
6
2
3
0
1
2
1
2
4
1
2
3
0
1
2
1
−
=
−
=
=
−
+
−
=
=
−
=
W
A
2) Obliczamy macierz dopełnień.
Krok 1
A=
−
2
4
1
2
3
0
1
2
1
A=
−
2
4
1
2
3
0
1
2
1
A=
−
2
4
1
2
3
0
1
2
1
( )
( )
( )
−
−
−
−
−
=
+
+
+
4
1
3
0
1
2
1
2
0
1
2
4
2
3
1
3
1
2
1
1
1
D
A
Krok 2)
A=
−
2
4
1
2
3
0
1
2
1
A=
−
2
4
1
2
3
0
1
2
1
A=
−
2
4
1
2
3
0
1
2
1
( )
( )
( )
( )
( )
( )
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
=
+
+
+
+
+
+
4
1
2
1
1
2
1
1
1
1
2
4
1
2
1
4
1
3
0
1
2
1
2
0
1
2
4
2
3
1
3
2
2
2
1
2
3
1
2
1
1
1
D
A
Krok 3)
A=
−
2
4
1
2
3
0
1
2
1
A=
−
2
4
1
2
3
0
1
2
1
A=
−
2
4
1
2
3
0
1
2
1
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
=
+
+
+
+
+
+
+
+
+
3
0
2
1
1
2
0
1
1
1
2
3
1
2
1
4
1
2
1
1
2
1
1
1
1
2
4
1
2
1
4
1
3
0
1
2
1
2
0
1
2
4
2
3
1
3
3
2
3
1
3
3
2
2
2
1
2
3
1
2
1
1
1
D
A
Krok 4)
Obliczamy wskaźniki w macierzy dopełnień:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
=
=
−
=
−
=
=
−
=
−
=
=
−
=
−
=
=
+
=
−
−
=
=
+
=
−
−
=
=
−
=
−
=
=
+
=
−
−
=
=
+
=
−
−
−
=
=
−
=
−
=
+
+
+
+
+
+
+
+
+
3
0
3
3
0
2
1
1
2
0
2
2
0
1
1
1
1
3
4
2
3
1
2
1
6
2
4
4
1
2
1
1
3
1
2
2
1
1
1
1
0
4
4
2
4
1
2
1
3
3
0
4
1
3
0
1
2
2
0
2
1
2
0
1
2
8
6
2
4
2
3
1
3
3
2
3
1
3
3
2
2
2
1
2
3
1
2
1
1
1
W
W
W
W
W
W
W
W
W
W
W
W
W
W
W
W
W
W
A
D
Krok 5)
Obliczamy elementy macierzy dopełnień według wzoru:
( )
W
A
n
ij
⋅
−
=
1
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
−
−
−
−
=
⋅
−
⋅
−
⋅
−
⋅
−
−
⋅
−
−
⋅
−
−
⋅
−
−
⋅
−
−
−
−
=
3
2
1
6
3
0
3
2
2
3
1
2
1
1
1
6
1
3
1
0
1
3
1
2
1
2
1
3
1
2
1
1
1
6
1
3
1
0
1
3
1
2
1
2
1
6
5
4
5
4
3
4
3
2
D
A
3) Transponujemy macierz dopełnień:
.
( )
−
−
−
−
=
−
−
−
−
=
3
6
3
2
3
2
1
0
2
3
2
1
6
3
0
3
2
2
T
T
D
A
4) Obliczamy macierz odwrotną:
W
A
A
T
=
−
1
−
−
−
−
=
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
=
−
=
−
−
−
−
=
−
1
2
1
3
2
1
3
2
3
1
0
3
2
3
3
3
6
3
3
3
2
3
3
3
2
3
1
0
3
2
3
3
6
3
2
3
2
1
0
2
1
A
W
A
T
5) Dokonujemy sprawdzenia poprawności obliczeń.
Wykorzystujemy zależność:
Macierz pomnożona przez macierz odwrotną daje w wyniku macierz jednostkową.
I
A
A
=
⋅
−
1
−
−
−
−
=
−
1
2
1
3
2
1
3
2
3
1
0
3
2
1
A
−
=
2
4
1
2
3
0
1
2
1
A
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )( ) ( )
( ) ( )
( )
=
−
+
−
−
+
−
+
−
+
−
+
−
−
−
−
+
=
=
−
+
⋅
+
−
−
+
⋅
+
−
−
−
+
⋅
+
−
+
−
+
+
−
+
−
+
⋅
−
+
⋅
−
+
⋅
+
⋅
−
+
⋅
+
⋅
−
−
+
⋅
+
⋅
=
−
×
−
−
−
−
1
0
0
0
1
0
0
0
1
2
4
1
4
6
2
1
1
3
4
2
3
2
3
8
3
3
4
3
2
3
2
3
2
3
2
3
4
3
4
3
1
3
2
2
1
2
2
1
1
4
1
3
2
2
1
1
1
0
2
1
1
2
3
2
2
1
1
3
2
4
3
2
3
1
2
3
2
1
3
2
0
1
1
3
2
2
3
1
2
0
1
3
2
4
3
1
3
0
2
3
2
1
3
1
0
0
1
3
2
2
4
1
2
3
0
1
2
1
1
2
1
3
2
1
3
2
3
1
0
3
2
Mnożenie
I
A
A
=
⋅
−
1
sprawdziło się. Obliczenie macierzy pierwotnej zostało przeprowadzone poprawnie.
Przeprowadzimy to samo obliczenie wykorzystując metodę przekształceń elementarnych.
1
0
0
0
1
0
0
0
1
2
4
1
2
3
0
1
2
1
−
=
A
Polega ona na tym, że do macierzy dopisujemy jej postać jednostkową a następnie obie macierze poddajemy
kolejnym przekształceniom ich elementów tak, aby postać macierzy sprowadzić do postaci macierzy
jednostkowej. Po takich przekształceniach dopisana na początku macierz jednostkowa będzie miała postać
poszukiwanej macierzy pierwotnej.
Przekształcenie – 1
Pierwszy i drugi wiersz przepisujemy bez zmian bo jest jedynka i zero
1
0
0
0
1
0
0
0
1
2
4
1
-
2
3
0
1
2
1
=
A
Aby zamiast elementu a
31
= -1 otrzymać 0 należy do wiersz 3 dodać wiersz 1.
3
1
3
1
0
0
0
1
0
0
0
1
2
4
1
2
3
0
1
2
1
w
w
w
+
=
−
=
ok.!
=
1
0
1
0
1
0
0
0
1
3
6
0
2
3
0
1
2
1
Przekształcenie – 2
Aby zamiast elementu a
22
= 3 otrzymać 1 należy wiersz 2 podzielić przez 3
3
w2
w2
1
0
1
0
1
0
0
0
1
3
6
0
2
3
0
1
2
1
=
=
A
ok.!
=
1
0
1
0
3
1
0
0
0
1
3
6
0
3
2
1
0
1
2
1
Przekształcenie – 3
Aby zamiast elementu a
12
= 2 otrzymać 1 należy wiersz 2 pomnożyć przez (-2) i dodać do wiersza 1.
( )
1
2
2
1
1
0
1
0
3
1
0
0
0
1
3
6
0
3
2
1
0
1
2
1
w
w
w
+
−
=
=
ok.!
−
−
=
1
0
1
0
3
1
0
0
3
2
1
3
6
0
3
2
1
0
3
1
0
1
Przekształcenie – 4
Aby zamiast elementu a
31
= -1 otrzymać 0 należy pomnożyć przez (-6) i dodać do wiersza 3.
3
2
)
6
(
3
1
0
1
0
3
1
0
0
3
2
1
3
6
0
3
2
1
0
3
1
0
1
w
w
w
+
−
=
−
−
=
ok.!
−
−
−
−
=
1
2
1
0
3
1
0
0
3
2
1
1
0
0
3
2
1
0
3
1
0
1
Przekształcenie – 5
Aby zamiast elementu a
33
= -1 otrzymać 1 należy w3 pomnożyć przez (-1)
3
)
1
(
3
1
2
1
0
3
1
0
0
3
2
1
1
0
0
3
2
1
0
3
1
0
1
w
w
−
=
−
−
−
−
=
ok.!
−
−
−
−
=
1
2
1
0
3
1
0
0
3
2
1
1
0
0
3
2
1
0
3
1
0
1
Przekształcenie – 6
Aby zamiast elementu a
13
= -1/3 otrzymać 0 należy wiersz 3 pomnożyć przez (1/3) i dodać do w1
1
3
3
1
1
1
2
1
0
3
1
0
0
3
2
1
1
0
0
3
2
1
0
3
1
0
1
w
w
w
+
=
−
−
−
−
=
ok.!
−
−
−
=
1
2
1
0
3
1
0
3
1
0
3
2
1
0
0
3
2
1
0
0
0
1
Przekształcenie – 7
Aby zamiast elementu a
23
= 2/3 otrzymać 0 należy wiersz 3 pomnożyć przez (-2/3) i dodać do w2
2
3
3
2
2
1
2
1
0
3
1
0
3
1
0
3
2
1
0
0
3
2
1
0
0
0
1
w
w
w
+
−
=
−
−
−
=
ok.!
−
−
−
−
=
1
2
1
3
2
1
3
2
3
1
0
3
2
1
0
0
0
1
0
0
0
1
Przykład:
Rozwiązać układ równań.
=
=
=
−
8
2
4
2
5
1
2
3
1
3
2
2
1
6
x
x
x
x
x
x
x
.
Tworzymy macierz współczynników i macierz wartości:
−
−
=
0
5
2
1
0
1
1
2
6
A
=
8
2
4
W
Obliczamy metodą przekształceń elementarnych.
−
−
8
2
4
0
5
2
1
0
1
1
2
6
⇒
+
=
−
−
⇒
−
−
w2
(-1)w1
w2
8
2
6
4
0
5
2
1
0
1
6
1
6
2
1
6
:
8
2
4
0
5
2
1
0
1
1
2
6
⇒
+
=
−
−
−
⇒
w3
(-2)w1
w3
8
6
8
6
4
0
5
2
6
5
3
1
0
6
1
6
2
1
(-3)w2
w2
3
20
3
4
3
2
3
1
3
13
0
6
5
3
1
0
6
1
3
1
1
⇒
=
−
−
−
⇒
⇒
+
−
=
−
⇒
1
2
3
1
1
3
20
4
-
3
2
3
1
3
13
0
2
5
1
0
6
1
3
1
1
w
w
w
⇒
+
−
=
−
⇒
3
2
3
13
w3
3
20
4
-
2
3
1
3
13
0
2
5
1
0
1
0
1
w
w
⇒
−
=
−
−
⇒
3
21
2
w3
24
4
-
2
2
21
0
0
2
5
1
0
1
0
1
w
⇒
+
−
=
−
−
⇒
2
3
2
5
2
7
16
4
-
2
1
0
0
2
5
1
0
1
0
1
w
w
w
⇒
+
=
−
−
⇒
w1
w3
w1
7
16
7
12
2
1
0
0
0
1
0
1
0
1
7
16
3
7
12
2
7
2
1
7
16
7
12
7
2
1
0
0
0
1
0
0
0
1
−
=
=
−
=
−
−
⇒
x
x
x
Document Outline