Wstęp – definicja wektora

Zanim przejdziemy sobie do samego pojęcia macierzy, powiemy sobie, czym jest wektor. Z wektorami spotkaliśmy się już w szkole średniej i być może na studiach przy okazji geometrii analitycznej. Tam oznaczały one przesunięcie na płaszczyźnie, np. – był to wektor oznaczający przesunięcie na osi OX o dwie jednostki w prawo, a na osi OY o cztery jednostki w dół. Wektory oznaczało się strzałkami. – był to wektor w przestrzeni trójwymiarowej, a jego współrzędne oznaczają przesunięcia po odpowiednich osiach. Również i jego można wyobrazić sobie jako strzałkę.

Rozszerzając jednak pojęcie wektora na więcej współrzędnych otrzymamy macierz jednowierszową, np. – jest to wektor 9-wymiarowy. Nie musi on oznaczać jakiegokolwiek geometrycznego przesunięcia (ruch w 9 wymiarach? – hmmm…), ale na przykład ceny w koszyku inflacyjnym, czy coś takiego.

Zapomnijmy więc o wektorach jako przesunięciach geometrycznych i umówmy się na nową definicję: wektor to macierz jednowierszowa (albo jednokolumnowa – to wszystko jedno).

Definicja wektorów zależnych i niezależnych

Jak już wiemy, co to jest wektor, możemy określić sobie, kiedy dwa (na początku) wektory są od siebie liniowo zależne. Dwa wektory nazwiemy liniowo zależnymi, gdy istnieje taka liczba, że po przemnożeniu przez tą liczbę jednego z wektorów są one równe, tzn.

Gdzie symbolem oznaczamy wektor, a ten dziwny symbol: to odwrócona literka „e” od angielskiego „exists”, czyli „istnieje”. czytamy więc: „istnieje k”.

Przykłady dwóch wektorów zależnych to:

Przykład

i , bo wektor to wektor przemnożony przez 2.

Geometryczną interpretacją zależności liniowej dwóch wektorów dwu albo trzy wymiarowych jest ich kierunek, tzn. wektory zależne liniowo mają ten sam kierunek, a różnią się tylko zwrotem lub długością.

Oczywiście nie ma mowy, żeby na przykład wektory: i , czyli wektory mające różne wymiary (różną liczbę elementów) były liniowo zależne. Nie znajdziemy przecież takiej stałej, co po przemnożeniu zmienia wymiar macierzy, prawda?

Liniową zależność wektorów można określać jednak dla większej ich liczby. Definiujemy ją wtedy następująco:

Definicja

Wektory nazywamy wektorami liniowo zależnymi, jeżeli istnieją takie stałe (z których co najmniej jedna jest różna od zera), że:

Na odwrót powiedzielibyśmy, że dwa wektory są liniowo niezależne, jeżeli NIE istnieją takie stałe (z których co najmniej jedna jest różna od zera), że:

Geometryczną interpretacją liniowej zależności wektorów trzywymiarowych jest ich „komplanarność”, tzn. należenie do jednej płaszczyźnie. Trójwymiarowe wektory liniowo zależne są komplanarne, tzn. leżą na jednej płaszczyźnie.

Obliczanie liniowej niezależności wektorów

Nietrudno sobie wyobrazić, że zadanie polegające na określeniu tego, czy wektory są liniowo zależne, czy niezależne z definicji jest męczące (a nawet męczące z definicji). Na przykład dla wektorów czterowymiarowych:

Musielibyśmy sprawdzić, czy istnieją takie stałe (takie, że co najmniej jedna z nich różna jest od zera), że:

Czyli (po przemnożeniu wektorów przez stałe):

Co jest równoważne układowi równań:

Teraz trzeba by sprawdzić, czy istnieją jakieś rozwiązania tego układu z wyjątkiem takiego, że wszystkie równe są zero.

Długie, żmudne, niewygodne, prawda?

Rząd macierzy

Tutaj dochodzimy właśnie do tego, czym jest rząd macierzy. Jeżeli wektory poukładamy wierszami (albo kolumnami – wszystko jedno) jeden pod drugim otrzymamy macierzy, prawda? Na przykład dla naszych wektorów z przykładu powyżej była by to:

Zdefiniujmy rząd macierzy:

Definicja

Rząd macierzy to maksymalna liczba liniowo niezależnych wektorów będących wierszami (lub kolumnami) tej macierzy.

Obliczanie rzędu macierzy jest już o wiele, wiele łatwiejsze niż szarpanie z definicji (jak to dokładnie robić, przedstawione jest na przykład w moim Kursie Macierzy). Interpretacja wyniku jest prosta. Jeżeli rząd tej macierzy po obliczeniu równy był by 3, oznacza to, że w tych wektorach są tylko 3 liniowo niezależne od siebie, czyli ta czwórka jako całość jest liniowo zależna.

Tak się jednak składa, że:

Czyli że rząd tej macierzy równy jest cztery. Mamy więc cztery wektory, spośród których 4 są liniowo niezależne. Oczywisty wniosek jest taki, że te wektory są liniowo niezależne.

Temat: Sprawdzanie, czy wektory tworzą bazę w przestrzeni liniowej

Streszczenie

W artykule pokażę, jak użyć rząd macierzy do sprawdzenia, czy wektory tworzą bazę przestrzeni liniowej.

Kiedy wektory tworzą bazę w przestrzeni liniowej?

Kilka wektorów nazywamy bazą przestrzeni liniowej, kiedy spełnione są dwa warunki:

1. Wektory te są liniowo niezależne (tu właśnie wykorzystuje się rząd macierzy)

2. Każdy inny wektor z tej samej przestrzeni można przedstawić jako kombinację liniową tych wektorów

Czyli żeby sprawdzić, czy kilka wektorów tworzy bazę trzeba pokazać, że spełniają one te dwa warunki.

Obliczanie liniowej niezależności wektorów

Tutaj sprawa jest prosta. Wektory ustawiamy wierszami (albo kolumnami) w macierz. Liczymy rząd macierzy. Rząd macierzy to maksymalna liczba niezależnych wektorów ją tworzących. Jeżeli więc rząd macierzy wyjdzie równy liczbie wektorów ją tworzących, to są one liniowo niezależne. Jeżeli nie wyjdzie równy – są liniowo zależne (i nie tworzą bazy w danej przestrzeni).

Wykazywanie, że każdy wektor da się wyrazić jako kombinację liniową wektorów liniowo niezależnych

Tutaj bierzemy jakiś dowolny wektor z danej przestrzeni i pokazujemy, że istnieją (lub nie) takie stałe, które pomnożone przez wektory mające stanowić bazę i dodane do siebie będą równe temu dowolnemu wektorowi. Jak to się robi – pokażę dalej w przykładzie.

Przykład (zadanie)

Przykładowo możemy zrobić takie zadanie:

Zadanie 1

Sprawdź, czy wektory: ,, tworzą bazę w przestrzeni liniowej , a jeśli tak, to przedstaw jako ich kombinację liniową wektor .

Zaczynamy od sprawdzenia liniowej niezależności tych wektorów. Układamy je w macierz i liczymy jej rząd:

Liczymy, liczymy, liczymy (jak to dokładnie zrobić, jest pokazane na przykład w moim Kursie Macierzy) i mamy wynik:

Jeśli rząd macierzy równy jest 3, a wektory też są trzy oznacza to, że są one liniowo niezależne. Pierwszy warunek tego, aby wektory tworzyły bazę w przestrzeni linowej jest spełniony.

W drugim warunku pokazać musimy, że dowolny wektor należący do przestrzeni (czyli trójwymiarowy) można przedstawić jako sumę wektorów tworzących – jakoby – bazę przemnożonych przez stałe. Można zapisać ten warunek jako:

Przechodząc na zapis ze współrzędnymi wektorów i z ich postacią kolumnową (wygodniejszą) ten warunek wyglądać będzie tak:

Po przemnożeniu przez stałe otrzymamy:

A po dodaniu do siebie macierzy po prawej:

Powyższe równanie da nam układ równań:

Zwróćmy uwagę, że ten układ ZAWSZE ma rozwiązanie, niezależnie od tego, ile są równe x,y,z bo wyznacznik główny układu (ze wzorów Cramera) jest różny od zera:

Zatem dla dowolnych x,y,z znajdą się takie , że układ będzie miał rozwiązanie. Zatem dowolny wektor z przestrzeni liniowej można przedstawić jako kombinację liniową wektorów .

Mamy więc odpowiedź. Wektory tworzą bazę w przestrzeni liniowej .

Przypomnijmy sobie polecenie:

Sprawdź, czy wektory: ,, tworzą bazę w przestrzeni liniowej , a jeśli tak, to przedstaw jako ich kombinację liniową wektor .

Czyli nasza misja nie jest skończona, trzeba jeszcze będzie wektor przedstawić jako kombinację liniową wektorów ,,, czyli znaleźć takie stałe , że:

Po przemnożeniu przez stałe wektorów po prawej:

Po dodaniu wektorów po prawej:

Co można zapisać jako układ równań:

Ten układ rozwiązujemy – na przykład – wzorami Cramera i mamy wynik:

Zatem nasz wektor przedstawiony jako kombinację liniową trzech wektorów można zapisać tak:

I to jest nasza odpowiedź.

Zróbmy jeszcze przykład, w którym wektory NIE będą liniowo niezależne, co wykaże rząd macierzy.

Zadanie 2

Sprawdź, czy wektory: ,, tworzą bazę w przestrzeni liniowej .
Aby sprawdzić liniową niezależność wektorów liczymy rząd odpowiedniej macierzy:

Liczymy, liczymy, liczymy i mamy wynik: 2. Zatem tylko 2 spośród tych 3 są liniowo niezależne. Czyli te 3 wektory jako całość nie są liniowo niezależne. Zatem nie tworzą bazy przestrzeni . Sprawa zamknięta, piszemy odpowiedź.

Temat: Twierdzenie Kroneckera-Capellego

Streszczenie

W artykule przedstawię, w jaki sposób rząd macierzy wykorzystywać można w rozwiązywaniu układów równań liniowych metodą Kroneckera-Capellego (bardziej prawidłowo: metodą wykorzystującą twierdzenie Kroneckera-Capellego). W artykule zakładam, że wiesz już, jak się liczy rząd macierzy i układy równań wzorami Cramera.

Twierdzenie Kroneckera-Capellego

Twierdzenie Kroneckera-Capellego wykorzystujące rząd macierzy jest naprawdę bardzo proste. Mając dowolny (to jest super-istotne, znaczy, że niewiadomych nie musi być tyle samo, co równań) układ równań:

Nasz układ – zwróć uwagę – ma m równań i n niewiadomych. Rząd macierzy głównej to rząd macierzy utworzonej ze współczynników przy niewiadomych, czyli:

Oczywiście nie musi to być macierz kwadratowa. Rząd macierzy uzupełnionej to rząd macierzy utworzonej ze współczynników przy niewiadomych z dodaną kolumną wyrazów wolnych (po prawych stronach równości):

Twierdzenie Kroneckera-Capellego stwierdza, że układ ma rozwiązania wtedy i tylko wtedy, gdy rząd macierzy głównej równy jest rzędowi macierzy uzupełnionej:

Z twierdzenia wynikają następujące wnioski:

1. Jeżeli rząd macierzy głównej, rząd macierzy uzupełnionej i liczba niewiadomych w układzie  są równe () to układ równań ma dokładnie jedno rozwiązanie.

2. Jeżeli rząd macierzy głównej jest taki sam jak rząd macierzy uzupełnionej, ale jest mniejszy od liczby niewiadomych () to układ równań ma nieskończenie wiele rozwiązań.

3. Jeżeli rząd macierzy głównej jest różny od rzędu macierzy uzupełnionej ( i rzędu macierzy uzupełnionej ) zupełnie osobno, na końcu interpretacja wyniku, „obcięcie” układu do układu Cramera (poprzez ewentualne wykreślenie niektórych równań i zastąpienie niektórych zmiennych parametrami) i rozwiązanie otrzymanego układu Cramera. Tą metodę pokażę Tobie dalej w artykule.

Można też liczyć oba rzędu jednocześnie na jednej macierzy, można jednocześnie zerować wiersze lub kolumny, można liczyć właściwie metodą Gaussa… Czasem wydaje mi się, że ile profesorów tyle metod. Oczywiście, wszystkie są dobre, o ile prowadzą do celu, jakim jest rozwiązanie układu.

Przykład

Mamy do rozwiązania powyższy układ równań. Najpierw oczywiście sprawdzamy, czy nie jest to układ Cramera, tzn. czy ma tyle samo równań, co niewiadomych i czy wyznacznik główny układu jest różny od zera. Oczywiście nie jest to układ Cramera, bo mamy w nim 3 równania i 4 niewiadome. Układu nie rozwiązujemy więc w tej chwili wzorami Cramera, tylko przechodzimy do rzędów macierzy i twierdzenia Kroneckera-Capellego.

Na początku liczymy rząd macierzy głównej, czyli:

Liczymy, liczymy, liczymy, tak jak się liczy rzędy macierzy (zapraszam na przykład do mojego Kursu – to jest naprawdę proste) i mamy wynik:

Teraz liczymy rząd macierzy uzupełnionej:

Liczymy, liczymy, liczymy i mamy wynik:

Mamy zatem sytuację:

Rząd macierzy głównej jest równy rzędowi macierzy uzupełnionej i są one równe 3 (to istotne). Czyli układ będzie miał rozwiązanie i liczymy dalej. Piszemy jeszcze raz macierz główną:

A teraz wybieramy z niej jakikolwiek wyznacznik stopnia . W naszym przypadku rząd macierzy głównej i uzupełnionej wyszedł równy 3, czyli wybieramy jakikolwiek wyznacznik 3-go stopnia – ale uwaga – musi to być wyznacznik różny od zera (trzeba policzyć i sprawdzić na boku). Wybrany wyznacznik bierzemy w ramkę:

Teraz tworzymy układ równań wyłącznie z równań, których wiersze znalazły się w naszym wyznaczniku (pozostałe równania nie piszemy w ogóle) oraz wyłącznie z niewiadomych, których kolumny znalazły się w naszym wyznaczniku (pozostałe niewiadome zastępujemy parametrami).

W naszym przykładzie utworzymy układ równań składający się z równania pierwszego, drugiego i trzeciego (bo pierwszy, drugi i trzecie wiersz znalazły się w wyznaczniku):

Tak się składa, że będą to wszystkie równania.

Co do niewiadomych, patrzymy na kolumny, które dostały się do wybranego wyznacznika:

Jest to pierwsza, druga i trzecia niewiadoma: . „Nie załapała się” czwarta niewiadoma, czyli . Zastępujemy ją parametrem: gdzie przyjmuje dowolną wartość, czyli . Parametry można oznaczać różnymi innymi literkami, np „t”, można też nie oznaczać je literkami w ogóle, tylko po prostu zacząć traktować je jako parametry bez zmiany oznaczeń.

Tworzymy nowy układ równań:

Parametry traktujemy w nim jak liczby, czyli przerzucamy na prawą stronę:

Jest to układ Cramera i rozwiązujemy go wzorami Cramera. Jak utworzyć wyznaczniki do kolejnych zmiennych? Po prostu potraktować na przykład: – jako jedną liczbę. Na przykład:

a jego wartość: .

Otrzymamy rozwiązanie:

dla .

Temat: Układy równań liniowych z parametrem

Streszczenie

W artykule pokażę, jak w układach równań liniowych z parametrem określać ich liczbę rozwiązań przy pomocy rzędów macierzy (a nie jak na ogół wzorami Cramera).

Układy równań liniowych z parametrem

W układach równań liniowych z parametrem, na przykład:

można rozpoznać po uroczej literce , albo: . Dla różnych wartości a (np.) otrzymamy różne rozwiązania układu. Być może dla niektórych wartości otrzymamy układ sprzeczny, który nie ma rozwiązań. Być może dla niektórych wartości otrzymamy układ nieoznaczony, czyli taki, który ma nieskończenie wiele rozwiązań.

Nasze zadanie polega na ogół nie na rozwiązywaniu układu, tylko na określeniu, dla jakich wartości parametru układ ma 1 rozwiązanie (jest oznaczony), nieskończenie wiele rozwiązań (jest nieoznaczony), a dla jakich nie ma rozwiązań (jest sprzeczny).

Liczba rozwiązań układu zależna od rzędu macierzy

Do wyznaczenie liczby rozwiązań układu możemy wykorzystać wzory Cramera i wyznaczników, ale w niektórych układach wygodniejsze będzie skorzystanie z twierdzenia Kroneckera-Capellego. Przypomnijmy, że z tego twierdzenia wynika, że…

1. Układ jest oznaczony (ma 1 rozwiązanie), gdy:

– rząd macierzy głównej jest równy rzędowi macierzy uzupełnionej i jest równy liczbie niewiadomych

2. Układ jest nieoznaczony (ma nieskończenie wiele rozwiązań), gdy:

– rząd macierzy głównej jest równy rzędowi macierzy uzupełnionej i jest mniejszy od  liczby niewiadomych

3. Układ jest sprzeczny (brak rozwiązań), gdy:

– rząd macierzy głównej jest różny od rzędu macierzy uzupełnionej

Ogólna metoda postępowania

Aby wykorzystać rząd macierzy do określenia liczby rozwiązań równania w zależności od parametru, będziemy postępowali następująco:

- wyznaczali rząd macierzy głównej rz(A)

- określali, dla jakich wartości parametru rząd macierzy głównej rz(A) przyjmuje różne wartości

- wyznaczali rząd macierzy uzupełnionej

- określali, dla jakich wartości parametru rząd macierzy uzupełnionej rz(U) przyjmuje różne wartości

- określali liczby rozwiązań układu równań w zależności od A korzystając z wniosków z twierdzenia Kroneckera-Capellego

Przed pójściem dalej przypomnij sobie koniecznie, jak obliczało się rząd macierzy!

Przykład

Określmy liczbę rozwiązań w zależności od parametru a w układzie:

Na początku obliczamy rząd macierzy głównej A, czyli:

Rząd tej macierzy wyjdzie (po obliczeniu) równy 2. Zauważmy, że rząd macierzy głównej nie zależy w ogóle od parametru a. Przyjmuje po prostu zasze wartość 2. Nie rozpisujemy więc, że dla pewnych a jest równy 1, dla innych 2, a dla innych 3. On jest po prostu zawsze równy 2 dla dowolnego a. Można zapisać:

dla

Teraz liczymy rząd macierzy uzupełnionej U, czyli:

Będzie to już trochę trudniejsze, bo w macierzy, której rząd mamy policzyć występuje parametr a. Nie przejmujemy się jednak tym – traktujemy a jak zwykłą liczbę. „Wyzerujmy” na przykład trzecią kolumnę (pierwszy wiersz dodajemy do drugiego i pierwszy wiersz mnożymy przez 4 i dodajemy do trzeciego). Otrzymamy:

Zauważmy, że w ostatniej kolumnie działamy najnormalniej w świecie: 1 mnożymy przez 4 i dodajemy do a. Teraz wykreślamy pierwszy wiersz i trzecią kolumnę (zgodnie z zasadami obliczania rzędów) i zwiększamy rząd macierzy o 1. Mamy:

Teraz „zerujemy” drugą kolumnę, mnożąc pierwszy wiersz przez -3 i dodając do drugiego.

Po wykreśleniu trzeciej kolumny otrzymamy:

Teraz zwróćmy uwagę, że rząd macierzy, jaka nam pozostała po tych wszystkich wykreśleniach zależy od parametru a.

Jeżeli a będzie równe 5, macierz będzie składała z samych zer, a rząd macierzy będzie wtedy równy 0. W tym przypadku rząd macierzy uzupełnionej będzie równy 2.

Jeżeli a będzie jednak różne od 5, macierz będzie miała element niezerowy, a rząd macierzy będzie wtedy równy 1.W tym przypadku rząd macierzy uzupełnionej będzie równy 3.

Można to zapisać:

dla

dla różnego od

Podsumowując wartości rzędów macierzy głównej i uzupełnionej otrzymujemy:

dla

i dla różnego od

Czyli układ ma nieskończenie wiele rozwiązań dla (bo wtedy rzędy macierzy są równe i mniejsze od liczby niewiadomych), a nie ma w ogóle rozwiązań dla różnego od (bo wtedy rządy macierzy są różne).

Przypadek, gdzie układ ma 1 rozwiązanie nie zachodzi nigdy.

Rząd macierzy - definicje

Podmacierz macierzy A powstaje poprzez skreślenie pewnej ilości wierszy i kolumn. Minor to wyznacznik podmacierzy kwadratowej.
Rząd macierzy to najwyższy stopień niezerowego minora danej macierzy.

Przykład - wyznaczanie rzędu macierzy

Należy wyznaczyć rząd macierzy A:

Rozwiązanie
Ponieważ dana macierz ma wymiary 3x4 dlatego teoretycznie macierz może być co najwyżej rzędu 3. Sprawdźmy to. Poprzez wykreślenie jednej kolumny wyznaczamy wszystkie podmacierze kwadratowe 3 stopnia (czyli o wymiarach 3x3) i liczymy dla nich wyznaczniki (minory).

Wszystkie minory są równe 0. Dana macierz nie jest rzędu 3. Dlatego sprawdzamy teraz czy dana macierz jest rzędu drugiego.

Udało nam się znaleźć minor stopnia drugiego. Rząd danej macierzy jest równy 2.