Rząd macierzy

Definicja rzędu macierzy

Rzędem macierzy niezerowej A rzA nazywamy największy ze stopni minorów niezerowych macierzy A czyli taki, że wyznacznik tego minoru jest różny od 0 ( det M ≠ 0 ), a każdy minor stopnia większego (jeśli istnieje) ma wyznacznik równy 0.

Twierdzenie: Własności rzędu macierzy

Jeśli A jest macierzą o wymiarach n × m to: 1) rzA ≤ min( n, m)

2) rz( AT ) = rzA

3) n = m ∧ det A ≠ 0 ⇒ rzA = n

 a

a

K

a 

 11

12

n

1 

 0

a

K

a

22

2 n 

4) rz

= liczba niezerowych elementów na przek



ątnej.

M

O

O

M 





 0

K

0

ann 

Twierdzenie: Operacje na macierzach nie zmieniające rzędu macierzy A o wymiarach n × m : 1) r [

z k ,K, k ,K, k ,K, k ] = r [

z k ,K, k ,K, k ,K, k ]

1

i

j

n

1

j

i

n

2) ∀α ∈ R \

}

0

{

: r [

z k ,K, k ,K, k ] = r [

z k ,K,α ⋅ k ,K, k ]

1

i

n

1

i

n

3) r [

z k ,K, k ,K, k ,K, k ] = r [

z k ,K, k + k ,K, k ,K, k ]

1

i

j

n

1

i

j

j

n

4) to samo dotyczy wierszy.

Wniosek: r [

z k ,K, k ,0] = r [

z k ,K, k ] .

1

n

1

n

Twierdzenie (Kroneckera-Capelliego): Układ równań liniowych ma rozwiązanie nad ciałem K wtedy i tylko wtedy, gdy rząd macierzy współczynników tego układu jest równy rzędowi macierzy uzupełnionej (rozszerzonej).

Algorytm wyznaczania rzędu macierzy.

Wyjściową macierz M za pomocą następujących przekształceń elementarnych:

• przemnożenie wiersza lub kolumny przez niezerowy skalar;

• dodanie do i-tego wiersza, wiersza j-tego przemnożonego ewentualnie przez skalar;

• dodanie do i-tej kolumny, kolumny j-tej przemnożonej ewentualnie przez skalar;

• zmiana kolejności wierszy lub kolumn;

• skreślenie wiersza lub kolumny zerowej;

doprowadzamy do postaci macierzy jednostkowej I. Wówczas rząd macierzy M jest równy wymiarowi (ilości wierszy lub kolumn) macierzy I.

Przykład

Wyznaczymy rząd następującej macierzy:

1

Stosujemy przekształcenia elementarne:

Ostatecznie rząd macierzy M wynosi rzM = 4 .

2