Matematyka Ogólna, RMT, MTA

2010/2011, sem. letni

Całki podwójne

Zad.1. Opisać analitycznie obszary ograniczone liniami:

(1) y = x

2

, y = x + 2;

(2) y =

√

x, y = x − 2, y = 0;

(3) y = 1 − |x|, y = x

2

− 1;

(4) y = x

3

, y = −x − 2, y = 5x − 2;

(5) y =

√

4 − x

2

, y = 0;

(6) x = −

p

9 − y

2

, x = 0;

(7) x =

p

1 − y

2

, x = |y| − 1;

(8) y =

√

6x − x

2

, y = 0;

(9) y =

√

1 − x

2

, y

√

3 + 2x − x

2

, x = 1;

(10) x = y

2

, x = 3 − 2|y|;;

(11) x

2

− 2x + y

2

− 2y − 7 = 0, y + x − 5 = 0, x = 1;

(12) x = 0, 8y = x

3

, y = 3 +

√

4 − x

2

;

(13) x = 1 −

p

1 − y

2

, y = 1, y = −1, y − x + 1 = 0.

(14) y − x + 2 = 0, y + x − 4 = 0, y − 2x + 2 = 0;

(15) x

2

− 6x + y

2

− 4y + 4 = 0, y − x − 2 = 0, y − x + 4 = 0.

Zad.2. Zamienić porządek całkowania:

(1)

1

R

0

[

2−2x

R

0

f (x, y) dy] dx,

(2)

3

R

0

[

0

R

y−3

f (x, y) dx] dy,

(3)

3

R

1

[

2x

R

x−3

2

f (x, y) dy] dx,

(4)

2

R

−1

[

x+1

R

x

2

−1

f (x, y) dy] dx,

(5)

2

R

−2

[

√

4−y

2

R

0

f (x, y) dx] dy,

(6) *

5

R

3

[

3+

√

8x−x

2

−11

R

3−

√

8x−x

2

−11

f (x, y) dy] dx.

Zad.3. Obliczyć całki iterowane:

(1)

2

R

−1

[

x

R

0

y dy] dx,

(2)

e

R

2

[

2

R

1

(3x

2

+

1

x

2

) dx] dy,

(3)

2

R

1

[

2x−1

R

−1

(2x − y) dy] dx,

(4)

4

R

0

[

1+y

R

1−y

(x

2

+ y

2

) dx] dy,

(5)

2

R

1

[

√

x+1

R

1

(xy +

√

y) dy] dx,

(6)

0

R

−1

[

2

R

0

(x

3

y + y

2

x) dy] dx,

(7)

e

R

1

[

e

R

1

(

y
x

+

x

2

y

) dy] dx,

(8)

1

R

0

[

3x

R

0

√

4 − x − y dy] dx,

(9)

1

R

0

[

x

R

0

x

2

+1

y

2

+1

dy] dx,

(10)

1

R

0

[

√

y

R

y

2

xy(x − y) dx] dy,

(11)

2

R

1

[

2

R

1

1

(x+2y)

2

dy] dx.

Zad.4. Obliczyć całki podwójne po obszarach D opisanych za pomocą nierówności lub ograniczonych krzy-

wymi:

(1)

RR

D

(x

2

+ y

2

√

x) dx dy,

D :











y = x

y = 1

x = 4;

(2)

RR

D

e

y

dx dy,

D :











y = ln x

x = 1

x = 2;

(3)

RR

D

(y ln x + x) dx dy,

D :











y = 2x + 2

y = x

x = 1;

(4)

RR

D

(y

3

(x+1)+yx) dx dy,

D :

(

0 ≤ y ≤

√

9 − x

2

−2 ≤ x ≤ 3;

1

Matematyka Ogólna, RMT, MTA

2010/2011, sem. letni

(5)

RR

D

(x

2

y − x

√

y) dx dy,

D :



















xy = −3

y = 3x

x = 3y

x ≥ 0;

(6)

RR

D

x

2

+y

y

2

dx dy,

D :



















y = (x − 2)

2

xy = 4

x = 2

x = 4;

(7)

RR

D

x

2

y

3

dx dy,

D :

(

x = y

2

− 1

y = 1 − x;

(8)

RR

D

x cos y dx dy,

D :

(

x − 1 ≤ y ≤ 1 − x

2

0 ≤ x ≤ 1;

(9)

RR

D

x

2

sin(2y + x) dx dy,

D :











y = x

2y = x

xy = 1;

(10)

RR

D

((1 − y)x +

√

y) dx dy,

D :



















8y = x

3

y = 3 − x

x = 0

x = 2;

(11)

RR

D

(4x − y) dx dy,

D :

(

y = 2x

2

+ 2x + 3

y = −x

2

− 5x + 20;

(12)

RR

D

(y

2

−2x) dx dy,

D :

(

y = 2x

2

+ x − 4

y = −x

2

− 5x + 20;

(13)

RR

D

(xy − 1) dx dy,

D :

(

y = x

2

− 5x + 5

y = x − 3;

(14)

RR

D

(y

6

√

x − y

3

x

2

) dx dy,

D :



















8y = 3x − 8

y

3

= x

x = 0

x = 2;

(15)

RR

D

(x+3yx

2

) dx dy,

D :

(

y+4

2

≤ x ≤ 2 +

p

5 − y

2

0 ≤ y ≤ 2.

(16)

RR

D

(x +

1
y

) dx dy,

D :











xy = 2

y = x + 3

y = 1;

(17)

RR

D

(x + 2y) cos(y − 2x) dx dy,

D :











y = x + 2

y = −x + 4

2y = x + 2.

2