MATEMATYKA

ZESTAW – CAŁKI PODWÓJNE

1. Obliczyć całki podwójne: 2

3

3

2

a.

dx

 

2

x  y x dy ,

c. dy

 

2

x  y x dx , 1

0

0

1

4

12

1

3

b.

dx xydy

 

,

d. dx xy  x  y dy

 

.

0

4

0

0

2. Obliczyć całki po prostokącie: 2

 2 y

3 x 

a.



dxdy



, D  1, 

3 1, e,

3



x

y

D 



b.  2

xy 2 x  4 y dxdy , D   , 0 2 



1

,

1 ,

D

c.

x y

e

dxdy



, D  0, 

1 0, 

1 ,

D

d.

  x 2

6

y 2  dxdy





, po prostokącie o bokach zawartych na prostych D

x  ,

1 y  ,

2 x   ,

1 y  2

 ,

2

e.

 y 3 ex  dxdy



, D   ,

0 2 



1

,

1 ,

D

x

f.

dxdy



, D   ,

1 

2  



6

,

4

.

y 2

D

3. Obliczyć całki podwójne po podanych obszarach całkowania: a.

2 x  y  

1 dxdy



, gdzie obszarem całkowania D jest obszar trójkąta D

o wierzchołkach 

A



1

,

1 , B



3

,

5

, C 5

,

5  ,

b.

2 x





 1 dxdy ,

gdzie

obszarem

całkowania

D

jest

obszar

trójkąta

D

o wierzchołkach 

A 



1

,

1 , B 

1

,

1 , C 0

,

0 ,

c.

 x 2 y

 

dxdy ,

gdzie

obszarem

całkowania

D

jest

obszar

trójkąta

D

o wierzchołkach 

A ,

0 0, B ,

2 2, C



1

,

1

,

d.

2 x  3 y  

1 dxdy



, gdzie obszarem całkowania D jest obszar trójkąta D

o wierzchołkach A 1, 3, B  1

 ,  

1 , C 2, 4

  ,

e.

xydxdy



,

gdzie

obszarem

całkowania

D

jest

obszar

trójkąta

D

o wierzchołkach A 0, 0, B 3, 0 , C 0, 4 , 1

f.

 x  y  

1 dxdy



, gdzie obszarem całkowania D jest obszar ograniczony D

krzywymi y  3 x 1 oraz 2

y  x  1,

g.

 x  y dxdy



, gdzie

2

D  {( x, y) : y  2  x ; y  2 x 1} , D

h.

y  lnxdxdy



, gdzie D  {( , x y) : xy  1; x  2; y 

2},

D

i.  2

x  xy  dxdy , gdzie 2

D  {( ,

x y) : y  ;

x y  3 x  x } , D

j.

xydxdy



, gdzie D  {( x, y) : y  6  ; x y 

x} ,

D

k.

xydxdy



, gdzie D  {( x, y) : x  0; y  0, x  y  1}, , D

2

x

1

l.

dxdy



, gdzie D  {( x, y) : x  2; y  ; x y  } ,

2

y

x

D

m.

xydxdy



, gdzie

2

D  {( x, y) : y  1; y  x  3} , D

n.

2

xy dxdy



, gdzie

2

D  {( ,

x y) : y  x , x  y  2}, , D

o.

 xy  

1 dxdy



, gdzie

2

D  {( ,

x y) : y  2 ; x x  2} ,

D

p.

x

e dxdy



, gdzie

 {( , ) :

 0;

 2;

x

D

x y

x

y

y  e } .

D

4. W podanych całkach iterowanych zamienić kolejność całkowania: 2

y

2 2 y



2

2

2

a.

f  x, y dxdy

 

,

b.

f  x, y dydx

 

,

c.

f  x, y dxdy

 

.

2

6 y

0 sin x

2

 2 y

1



1



4

5. Obliczyć pole obszaru ograniczonego krzywymi: a.

2

y  x  ,

x y  x ,

c.

2

x  y  3, y  4 x, y  0 , b. x  y  4, x  y  8, x  3 y  0, x  3 y  5 .

5. Wprowadzając współrzędne biegunowe obliczyć całki: a.  2

2

x  y  dxdy , gdzie 2

2

D : x  y  2 y  0 , D

b.

xydxdy



, gdzie

2

2

D  {( ,

x y) : x  0; 1  x  y  2},

D

c.  2

2

x  y  dxdy , gdzie 2

2

D  {( ,

x y) : y  0; y  x  y  }, x

D

d.

xdxdy



, gdzie D 

x y

x   y  2

2

{( , ) :

1

 1; y  }

x , ,

D

e.

ydxdy



, gdzie

2

2

2

2

D  {( ,

x y) : x  y  4; x  y  1; y  ; x y  0},

D

f.

2

2

x  y dxdy



, gdzie

2

2

D  {( x, y) : x  y  4; y  }

x .

D

2