MATEMATYKA
ZESTAW – CAŁKI PODWÓJNE
1. Obliczyć całki podwójne: 2
3
3
2
a.
dx
2
x y x dy ,
c. dy
2
x y x dx , 1
0
0
1
4
12
1
3
b.
dx xydy
,
d. dx xy x y dy
.
0
4
0
0
2. Obliczyć całki po prostokącie: 2
2 y
3 x
a.
dxdy
, D 1,
3 1, e,
3
x
y
D
b. 2
xy 2 x 4 y dxdy , D , 0 2
1
,
1 ,
D
c.
x y
e
dxdy
, D 0,
1 0,
1 ,
D
d.
x 2
6
y 2 dxdy
, po prostokącie o bokach zawartych na prostych D
x ,
1 y ,
2 x ,
1 y 2
,
2
e.
y 3 ex dxdy
, D ,
0 2
1
,
1 ,
D
x
f.
dxdy
, D ,
1
2
6
,
4
.
y 2
D
3. Obliczyć całki podwójne po podanych obszarach całkowania: a.
2 x y
1 dxdy
, gdzie obszarem całkowania D jest obszar trójkąta D
o wierzchołkach
A
1
,
1 , B
3
,
5
, C 5
,
5 ,
b.
2 x
1 dxdy ,
gdzie
obszarem
całkowania
D
jest
obszar
trójkąta
D
o wierzchołkach
A
1
,
1 , B
1
,
1 , C 0
,
0 ,
c.
x 2 y
dxdy ,
gdzie
obszarem
całkowania
D
jest
obszar
trójkąta
D
o wierzchołkach
A ,
0 0, B ,
2 2, C
1
,
1
,
d.
2 x 3 y
1 dxdy
, gdzie obszarem całkowania D jest obszar trójkąta D
o wierzchołkach A 1, 3, B 1
,
1 , C 2, 4
,
e.
xydxdy
,
gdzie
obszarem
całkowania
D
jest
obszar
trójkąta
D
o wierzchołkach A 0, 0, B 3, 0 , C 0, 4 , 1
x y
1 dxdy
, gdzie obszarem całkowania D jest obszar ograniczony D
krzywymi y 3 x 1 oraz 2
y x 1,
g.
x y dxdy
, gdzie
2
D {( x, y) : y 2 x ; y 2 x 1} , D
h.
y lnxdxdy
, gdzie D {( , x y) : xy 1; x 2; y
2},
D
i. 2
x xy dxdy , gdzie 2
D {( ,
x y) : y ;
x y 3 x x } , D
j.
xydxdy
, gdzie D {( x, y) : y 6 ; x y
x} ,
D
k.
xydxdy
, gdzie D {( x, y) : x 0; y 0, x y 1}, , D
2
x
1
l.
dxdy
, gdzie D {( x, y) : x 2; y ; x y } ,
2
y
x
D
m.
xydxdy
, gdzie
2
D {( x, y) : y 1; y x 3} , D
n.
2
xy dxdy
, gdzie
2
D {( ,
x y) : y x , x y 2}, , D
o.
xy
1 dxdy
, gdzie
2
D {( ,
x y) : y 2 ; x x 2} ,
D
p.
x
e dxdy
, gdzie
{( , ) :
0;
2;
x
D
x y
x
y
y e } .
D
4. W podanych całkach iterowanych zamienić kolejność całkowania: 2
y
2 2 y
2
2
2
a.
f x, y dxdy
,
b.
f x, y dydx
,
c.
f x, y dxdy
.
2
6 y
0 sin x
2
2 y
1
1
4
5. Obliczyć pole obszaru ograniczonego krzywymi: a.
2
y x ,
x y x ,
c.
2
x y 3, y 4 x, y 0 , b. x y 4, x y 8, x 3 y 0, x 3 y 5 .
5. Wprowadzając współrzędne biegunowe obliczyć całki: a. 2
2
x y dxdy , gdzie 2
2
D : x y 2 y 0 , D
b.
xydxdy
, gdzie
2
2
D {( ,
x y) : x 0; 1 x y 2},
D
c. 2
2
x y dxdy , gdzie 2
2
D {( ,
x y) : y 0; y x y }, x
D
d.
xdxdy
, gdzie D
x y
x y 2
2
{( , ) :
1
1; y }
x , ,
D
e.
ydxdy
, gdzie
2
2
2
2
D {( ,
x y) : x y 4; x y 1; y ; x y 0},
D
f.
2
2
x y dxdy
, gdzie
2
2
D {( x, y) : x y 4; y }
x .
D
2