1

MATEMATYKA

ZESTAW – CAŁKI PODWÓJNE

1. Obliczyć całki podwójne:

a.





2

3

2

1

0

dx

x

y x dy



 

,

c.





3

2

2

0

1

dy

x

y x dx



 

,

b.

4

12

0

4

dx xydy

 

,

d.





1

3

0

0

dx xy x

y dy



 

.

2. Obliczyć całki po prostokącie:

a.

2

3

2

3

D

y

x

dxdy

x

y

















,

   

1, 3

1,

D

e





,

b.









2

2

4

D

xy

x

y dxdy





,

  



1

,

1

2

,

0







D

,

c.

x y

D

e

dxdy





,



 



0,1

0,1

D 



,

d.





dxdy

y

x

D







2

2

6

, po prostokącie o bokach zawartych na prostych

2

,

1

,

2

,

1













y

x

y

x

,

e.





dxdy

e

y

D

x



2

3

,

  



1

,

1

2

,

0







D

,

f.

dxdy

y

x

D



2

,

   

6

,

4

2

,

1





D

.

3. Obliczyć całki podwójne po podanych obszarach całkowania:

a.





2

1

D

x

y

dxdy







, gdzie obszarem całkowania D jest obszar trójkąta

o wierzchołkach

     

5

,

5

,

3

,

5

,

1

,

1

C

B

A

,

b.









D

dxdy

x 1

2

,

gdzie

obszarem

całkowania

D

jest

obszar

trójkąta

o wierzchołkach



   



0

,

0

,

1

,

1

,

1

,

1

C

B

A 

,

c.









D

dxdy

y

x

2

,

gdzie

obszarem

całkowania

D

jest

obszar

trójkąta

o wierzchołkach



 

 



1

,

1

,

2

,

2

,

0

,

0



C

B

A

,

d.





2

3

1

D

x

y

dxdy







, gdzie obszarem całkowania D jest obszar trójkąta

o wierzchołkach













1, 3 ,

1, 1 ,

2, 4

A

B

C

 



,

e.

D

xydxdy



,

gdzie

obszarem

całkowania

D

jest

obszar

trójkąta

o wierzchołkach













0, 0 ,

3, 0 ,

0, 4

A

B

C

,

2

f.





1

D

x

y

dxdy

 



, gdzie obszarem całkowania D jest obszar ograniczony

krzywymi

3

1

y

x



 oraz

2

1

y

x



 ,

g.





D

x

y dxdy





, gdzie

2

{( , ) :

2

;

2

1}

D

x y

y

x

y

x



 





,

h.

D

y lnxdxdy





, gdzie

{( , ) :

1;

2;

2}

D

x y

xy

x

y









,

i.





2

D

x

xy dxdy





, gdzie

2

{( , ) :

;

3

}

D

x y

y

x y

x

x









,

j.

D

xydxdy



, gdzie

{( , ) :

6

;

}

D

x y

y

x y

x



 



,

k.

D

xydxdy



, gdzie

{( , ) :

0;

0,

1},

D

x y

x

y

x

y











,

l.

2

2

D

x

dxdy

y



, gdzie

1

{( , ) :

2;

;

}

D

x y

x

y

x y

x









,

m.

D

xydxdy



, gdzie

2

{( , ) :

1;

3}

D

x y

y

y

x









,

n.

2

D

xy dxdy



, gdzie

2

{( , ) :

,

2},

D

x y

y

x

x

y









,

o.





1

D

xy

dxdy





, gdzie

2

{( , ) :

2 ;

2}

D

x y

y

x x







,

p.

x

D

e dxdy



, gdzie

{( , ) :

0;

2;

}

x

D

x y

x

y

y

e









.

4. W podanych całkach iterowanych zamienić kolejność całkowania:

a.





2

2

2

6

1

4

,

y

y

f x y dxdy







 

,

b.





2

0 sin

,

x

f x y dydx



 

,

c.





2

2

2

2

2

1

,

y

y

f x y dxdy





 

.

5. Obliczyć pole obszaru ograniczonego krzywymi:

a.

2

,

y

x

x y

x







,

c.

2

3,

4 ,

0

x

y

y

x y









,

b.

4,

8,

3

0,

3

5

x

y

x

y

x

y

x

y















 .

5. Wprowadzając współrzędne biegunowe obliczyć całki:

a.





2

2

D

x

y

dxdy





, gdzie

2

2

:

2

0

D

x

y

y







,

b.

D

xydxdy



, gdzie

2

2

{( , ) :

0; 1

2},

D

x y

x

x

y











c.





2

2

D

x

y

dxdy





, gdzie

2

2

{( , ) :

0;

},

D

x y

y

y

x

y

x











d.

D

xdxdy



, gdzie





2

2

{( , ) :

1

1;

},

D

x y

x

y

y

x











,

e.

D

ydxdy



, gdzie

2

2

2

2

{( , ) :

4;

1;

;

0},

D

x y

x

y

x

y

y

x y















f.

2

2

D

x

y dxdy





, gdzie

2

2

{( , ) :

4;

}

D

x y

x

y

y

x









.