Całki Wielokrotne

1. Znaleźć granice całkowania całki



D

f (x, y) dx dy, jeśli:

(a) D jest trójkątem o wierzchołkach O = (0, 0), A = (4, 2), B = (−4, 2),

(b) D = {(x, y) : y

2

≥ x

2

∧ y ≤ 4 − x

2

}.

2. Zmienić kolejność całkowania w całkach iterowanych:

(a)

2

−6

2−x

x2

4

f (x, y) dy dx,

(b)

2

0

√

2x

√

2x−x

2

f (x, y) dy dx,

(c)

1

−7

2+

√

7−6y−y

2

2−

√

7−6y−y

2

f (x, y) dx dy,

(d)

e

1

ln x

0

f (x, y) dy dx,

(e)

1

0

√

3−y

2

y2

2

f (x, y) dx dy,

(f)

π

0

sin x

0

f (x, y) dy dx,

3. Zmienić kolejność całkowania

1



−7

2+

√

7−6y−y

2



2−

√

7−6y−y

2

f (x, y) dx dy.

4. Obliczyć pole płata powierzchniowego wyciętego walcem z

2

= 2py (p > 0) ze stożka

z

2

= x

2

+ y

2

.

5. Obliczyć



D

x

y

dx dy, gdzie D jest obszarem ograniczonym krzywymi: y = e

x

, x = 0, y = e.

6. Obliczyć



D

y

x

dx dy, gdzie D jest obszarem ograniczonym krzywymi: y = ln x, y = 0, x = e.

7. Obliczyć



D

1

x

dx dy, gdzie D jest obszarem ograniczonym krzywymi: x = e, y = ln x, y = 0.

8. Obliczyć



D

1

y

dx dy, gdzie D jest obszarem ograniczonym krzywymi: y = e, y = e

x

, x = 0.

9. Obliczyć



D

dx dy

(2 + x

2

+ y

2

)

2

, gdzie D jest obszarem ograniczonym krzywymi: x

2

+ y

2

= 2y

oraz x

2

+ y

2

= 6y.

10. Obliczyć



D

s

1 − x

2

− y

2

1 + x

2

+ y

2

dx dy, gdzie D = {(x, y) : x

2

+ y

2

≤ 0, x ≥ 0, y ≥ 0}.

1

11. Stosując uogólnione współrzędne biegunowe obliczyć całkę



D

c

s

1 −

x

2

a

2

−

y

2

b

2

dx dy,

gdzie D =

n

(x, y) :

x

2

a

2

+

y

2

b

2

≤ 1

o

, (a, b, c > 0).

12. Obliczyć



D

dx dy

(2 + x

2

+ y

2

)

2

gdzie D jest obszarem ograniczonym krzywymi: x

2

+ y

2

= 2y oraz x

2

+ y

2

= 6x.

1. Obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami: y = x

2

, y + z = 1, z = 0.

2. Obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami: z = x

2

+ y

2

, z = 2 +

√

x

2

+ y

2

,

x = 0 (x ≥ 0).

3. Obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami: z = 5 − x

2

− y

2

, z = 2 −

√

x

2

+ y

2

,

y = 0 (y ≥ 0).

4. Obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami: x

2

+ y

2

+ z

2

= 2, z = x

2

+ y

2

.

5. Obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami: x

2

+ y

2

+ z

2

= 8, z =

q

x

2

+ y

2

.

6. Obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami: y

2

+ z

2

= 2y, x

2

+ y

2

+ z

2

= 4.

7. Obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami z = 4 − x

2

− y

2

, z =

√

x

2

+ y

2

oraz

x

2

+ y

2

= 1.

8. Obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami: x

2

+ y

2

+ z

2

= 4a

2

oraz x

2

+ y

2

= 2ax.

9. Obliczyć pole płata powierzchni o równaniu z =

x

2

2a

+

y

2

2b

wyciętego walcem

x

2

a

2

+

y

2

b

2

= 1.

10. Obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami: z = x

2

+ y

2

, z = 2 +

√

x

2

+ y

2

.

11. Obliczyć pole płata powierzchniowego wyciętego walcem

x

2

a

2

+

y

2

b

2

= 1 z paraboloidy z =

x

2

2a

+

y

2

2b

.

12. Obliczyć pole płata powierzchniowego wyciętego walcem z

2

= 2py, (p > 0) ze stożka z

2

=

x

2

+ y

2

.

13. Obliczyć pole powierzchni sfery x

2

+ y

2

+ z

2

= 4a

2

wyciętej walcem x

2

+ y

2

= 2ax.

14. Obliczyć pole powierzchni stożka z =

q

x

2

+ y

2

wyciętego walcami x

2

+y

2

= 4x oraz x

2

+y

2

=

2x

2

15. Obliczyć pole powierzchni stożka z =

q

x

2

+ y

2

wyciętego walcem x

2

+ y

2

= 6y.

16. Obliczyć



V

1

√

x

2

+ y

2

dx dy dz,

gdzie V jest obszarem ograniczonym, powierzchniami: z = 6 − x

2

− y

2

, z =

√

x

2

+ y

2

oraz

x

2

+ y

2

= 1 (gdzie x

2

+ y

2

≥ 1).

17. Obliczyć



V

1

x

2

+ y

2

+ z

2

dx dy dz,

gdzie V jest obszarem ograniczonym powierzchniami: x

2

+ y

2

+ z

2

= 2, z =

√

x

2

+ y

2

.

18. Obliczyć



V

z dx dy dz,

gdzie V jest obszarem ograniczonym, powierzchniami: x

2

+ y

2

+ z

2

= 2 , z =

√

x

2

+ y

2

.

19. Obliczyć całkę wprowadzając odpowiednią zmianę zmiennych:

R



−R

dx

√

R

2

−x

2



−

√

R

2

−x

2

dy

√

R

2

−x

2

−y

2



0



x

2

+ y

2



dz.

20. Obliczyć masę bryły ograniczonej powierzchniami x

2

+ y

2

+ z

2

= 2 oraz z =

√

x

2

+ y

2

,

jeśli gęstość tej bryły w dowolnym jej punkcie jest równa połowie odległości tego punktu

płaszczyzny OXY.

21. Obliczyć masę bryły ograniczonej powierzchniami z = x

2

+ y

2

oraz z = 2 −

√

x

2

+ y

2

, jeśli

gęstość tej bryły w dowolnym jej punkcie jest równa odległości tego punktu od osi OZ.

22. Obliczyć środek ciężkości półkuli (jednorodnej) ograniczonej sferą x

2

+ y

2

+ z

2

= a

2

i płasz-

czyzną x = 0, (x ≥ 0).

Wskazówka!

Zakładając, że ρ (x, y, z) to gęstość bryły w punkcie (x, y, z):

1. Masę bryły wyraża wzór:

M =



V

ρ (x, y, z) dx dy dz.

2. Współrzędne środka ciężkości bryły S = (α, β, γ) można obliczyć z zależności:

α =

M

yz

M

, β =

M

xz

M

, γ =

M

xy

M

,

3

gdzie

M

yz

=



V

x · ρ (x, y, z) dx dy dz,

M

xz

=



V

y · ρ (x, y, z) dx dy dz,

M

xy

=



V

z · ρ (x, y, z) dx dy dz.

3. Gęstość bryły jednorodnej w dowolnym jej punkcie jest wartością stałą

(tzn. ∀ (x, y, z) ∈ V : ρ (x, y, z) = k > 0).

4