1. Wstęp teoretyczny

• Opis zestawu doświadczalnego i rola poszczególnych jego elementów

Celem doświadczenia było wyznaczenie stosunku ładunku elektronu do jego masy metodą magnetronu. Magnetron to rodzaj lampy, która przetwarza wejściową energię prądu stałego na energię elektryczną wysokiej częstotliwości. Przetwarzanie to odbywa się w silnym polu magnetycznym. Magnetron składa się z anody – metalowego cylindra i katody – cienkiego drucika osadzonego centrycznie w środku lampy. Gdy działają obie siły: elektryczna i magnetyczna elektrony poruszają się od katody do anody torami krzywoliniowymi. Na kształt toru elektronu ma wpływ wartość indukcji magnetycznej. W trakcie doświadczenia lampa została umieszczona w solenoidzie zasilanym prądem stałym. Po włączeniu układu, po ok. 5 minutach ustaliła się wartość natężenia prądu anodowego I_A. Dla czterech wartości napięcia anodowego: 4V, 6V, 8V, 10V zmieniano wartości natężenia prądu solenoidu I_S w zakresie 0÷750 A i odczytywano odpowiadające im wartości natężenia prądu anodowego.

• Wyprowadzenie wzoru

W jednorodnym polu elektrycznym cząstka porusza się ruchem jednostajnie przyspieszonym. Działająca na cząstkę siła elektryczna równa jest $\mathbf{q*}\overset{\overline{}}{\mathbf{E}}$,

gdzie $\overset{\overline{}}{\mathbf{E}}$ to natężenie pola elektrycznego, q to ładunek cząstki.

Na naładowaną cząstkę, w polu magnetycznym działa siła Lorentza, która wyrażona jest wzorem: $\overset{\overline{}}{\mathbf{F}}\mathbf{= q}\left( \overset{\overline{}}{\mathbf{v}}\mathbf{x}\overset{\overline{}}{\mathbf{B}} \right)\mathbf{,}$

gdzie v to prędkość cząsteczki, B to wektor indukcji magnetycznej.

Siła Lorentza jest siłą dośrodkową, jest zawsze skierowana prostopadle do prędkości ruchu ładunku.

Wypadkową siłę działającą na cząstkę, która umieszczona jest w przenikających się polach:

elektrycznym i magnetycznym wyraża się wzorem Lorentza: $\overset{\overline{}}{\mathbf{F}}\mathbf{=}{\overset{\overline{}}{\mathbf{F}}}_{\mathbf{\text{el}}}\mathbf{+}{\overset{\overline{}}{\mathbf{F}}}_{\mathbf{L}}\mathbf{= q}\overset{\overline{}}{\mathbf{E}}\mathbf{+ q}\left( \overset{\overline{}}{\mathbf{v}}\mathbf{x}\overset{\overline{}}{\mathbf{B}} \right)\mathbf{.}$

Elektron o prędkości początkowej =0, uzyskuje w polu energię kinetyczną równą: eU_a = $\frac{\mathbf{m}\mathbf{v}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{2}}$.

W polu magnetycznym o indukcji równej B_k wektor prędkości elektronu i indukcji magnetycznej są wzajemnie prostopadłe, gdy przyjmuje się, że q = e to: e v B_K = m$\mathbf{\ }\frac{\mathbf{v}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{r}}$,

Po przekształceniu zależności : eU_a = $\frac{\mathbf{m}\mathbf{v}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{2}}$ i e v B_K = m$\mathbf{\ }\frac{\mathbf{v}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{r}}$ otrzymano: $\frac{\mathbf{e}}{\mathbf{m}}$ = $\frac{\mathbf{2}\mathbf{\text{Ua}}}{\mathbf{\text{Bk}}^{\mathbf{2}}\mathbf{r}^{\mathbf{2}}}$, zależność ta pozwala na wyliczenie $\frac{\mathbf{e}}{\mathbf{m}}$ dla elektronu, gdy przy napięciu U_a i znanym r (promień katody), można wyznaczyć wartość krytyczną indukcji magnetycznej B_k.

Indukcja magnetyczna B wiąże się z z natężeniem prądu solenoidu I_s: B = μ₀ n I_s

Po podstawieniu wzoru na indukcję magnetyczną do wzoru $\frac{e}{m}$ otrzymano :

$\frac{\mathbf{e}}{\mathbf{m}}$ =$\frac{\mathbf{2}}{\mathbf{\text{μo}}\mathbf{n}^{\mathbf{2}}\mathbf{r}^{\mathbf{2}}}$.$\frac{\mathbf{\text{Ua}}}{\mathbf{\text{Ik}}^{\mathbf{2}}}$

2. Tabela pomiarów

Napięcie anodowe
Ua = 4 V
Prąd solenoidu Is [A]
0,100 0,200 0,300 0,323 0,327 0,333 0,339 0,345 0,350 0,355 0,360 0,365 0,370 0,390 0,400 0,450 0,500 0,550 0,600 0,650 0,700 0,750

n = N/l = 4164/0,235 ≈17720 [$\frac{\text{zw}}{m}$ ] r= 0,8. 10^-3m U(r) = 0,05 . 10^-3m

2

3. Obliczenia

• Odczytane z wykresu wartości natężenia prądu solenoidu wynoszą kolejno:

U₁ = 4V I_k1 = 0,385A

U₂ =6V I_k2 = 0,445A

U₃ = 8V I_k3 = 0,500 A

U₄ = 10V I_k4 = 0,540A

• Obliczenie średniej wartości stosunku $\frac{\text{Ua}}{\text{Ik}^{2}}$ dla poszczególnych wartości napięć wynosi:

$\frac{U_{1}}{I_{k1}^{2}}$ = $\frac{4}{{(0,385)}^{2}}$ = $\frac{4}{0,148225}$ = 26,98[$\frac{V}{A^{2}}$]

$\frac{U_{2}}{I_{k2}^{2}}$ = $\frac{6}{{(0,445)}^{2}}$ = $\frac{6}{0,198025}$ = 30,30[$\frac{V}{A^{2}}$]

$\frac{U_{3}}{I_{k3}^{2}}$ = $\frac{8}{{(0,500)}^{2}}$ = $\frac{8}{0,25}$ = 32,00[$\frac{V}{A^{2}}$]

$\frac{U_{4}}{I_{k4}^{2}}$ = $\frac{10}{{(0,540)}^{2}}$ = $\frac{10}{0,2916}$ = 34,30[$\frac{V}{A^{2}}$]

• Wyznaczenie stosunku $\frac{e}{m}$; $\frac{e}{m} = \frac{2}{\mu_{0}^{2}n^{2}r^{2}} \bullet \frac{U_{a}}{I_{k}^{2}}$

r= 0,8•10⁻³ [m]

r² = 0,64•10⁻⁶ [m] = 6,4 •10⁻⁷[m²]

$n = \frac{N}{l} = \frac{4164}{0.235}\ \left\lbrack \frac{\text{zw}}{m} \right\rbrack = 17720\lbrack\frac{\text{zw}}{m}\ \rbrack\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ n^{2} = 313998400$ $\lbrack\frac{\text{zw}}{m}\ \rbrack\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $

$\mu_{0} = 4\pi \bullet 10^{- 7}\frac{H}{m}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\mu_{0}^{\ \ 2} = 1.57 \bullet 10^{- 12}$ ${\lbrack\frac{H}{m}\rbrack}^{2}$

μ₀² • n² • r² = 3, 155 .10 ^-10 ${\lbrack\frac{\text{zw} \bullet H}{m}\rbrack}^{2}$

$1)\ \ \ \ \frac{e}{m} = \frac{2 \bullet 26,98}{3,155 \bullet 10^{- 10}} = 1,71 \bullet 10^{11}$ [$\frac{C}{\text{kg}}\rbrack$

$2)\ \ \ \ \frac{e}{m} = \frac{2 \bullet 30,30}{3,155 \bullet 10^{- 10}} = 1,92 \bullet 10^{11}$[$\frac{C}{\text{kg}}\rbrack$

$3)\ \ \ \ \frac{e}{m} = \frac{2 \bullet 32}{3,155 \bullet 10^{- 10}} = 2,03 \bullet 10^{11}$ [$\frac{C}{\text{kg}}\rbrack$

$4)\ \ \ \ \frac{e}{m} = \frac{2 \bullet 34,3}{3,155 \bullet 10^{- 10}} = 2,174 \bullet 10^{11}$ [$\frac{C}{\text{kg}}\rbrack$

• Wyznaczenie średniej wartości (e/m)_śr:

$\frac{e}{m}\left( sr \right) = \frac{1,71 \bullet 10^{11} + 1,92 \bullet 10^{11} + 2,03 \bullet 10^{11} + 2,174 \bullet 10^{11}}{4} = 1,958 \bullet 10^{11}$[$\frac{C}{\text{kg}}\rbrack$

4. Wykres

Wykres przedstawia zależność natężenia prądu anodowego od natężenia prądu solenoidu.

5. Rachunek i dyskusja niepewności pomiaru.

• Wyznaczanie niepewności wzorcowania dla mierzonych wielkości.

Woltomierz:

kl =1,5 z = 10V 1dz.= 0,2 V

Ua = $\frac{\text{klasa}\ \left( x \right).\text{zakres}}{100}$ + 1 dz.

Ua = 0,35

U_c(U_a) = $\frac{\text{ΔdU}}{\sqrt{}3}$ = 0,203 V

Amperomierz:

kl= 1,5 z = 10A

ΔI_s = 0,15

U_c(I_s) = $\frac{\text{ΔdI}}{\sqrt{}3}$ = 0,087 A

Miliamperomierz:

kl = 1,5 z = 20mA

I_a = 0,30

U_c(I_a) = $\frac{\text{ΔdI}}{\sqrt{}3}$ = 0,174A

• Wyznaczanie niepewności dla wartości I_k :

Δ(I_k) = 0,01A

U(I_k) = $\frac{\Delta I_{k}}{\sqrt{}3}$ = 0,0058 A

• Wyznaczanie niepewności całkowitej U_c $\left( \frac{e}{m} \right)$ na podstawie prawa przenoszenia niepewności (μ₀ i n nie są obarczone niepewnościami pomiarowymi):

U_c (y) = $\sqrt{\sum_{i = 1}^{k}\left\lbrack \frac{\partial y}{\partial x_{1}}\ ;u(x_{1}) \right\rbrack}$²

U_c $\left( \frac{e}{m} \right)$ = $\sqrt{\left\lbrack \frac{\partial\frac{e}{m}}{U_{a}}\text{\ .}U_{c}\ (U_{a}) \right\rbrack + \left\lbrack \frac{\partial\frac{e}{m}}{\partial r}\text{\ .}U_{\text{C\ }}(r)\ \right\rbrack + \left\lbrack \frac{\partial\frac{e}{m}}{\partial I_{k}}\text{\ .}U_{c}\ (I_{K})\ \right\rbrack\ }$

U_c($\frac{e}{m})\ = \sqrt{\left\lbrack \frac{2}{\mu_{0}^{2}n^{2}r^{2}I_{k}^{2}} \bullet U_{c}\left( U_{a} \right) \right\rbrack^{2} + \left\lbrack \frac{2}{{I_{k}^{2}\mu}_{0}^{2}n^{2}} \bullet \left( - \frac{2}{r^{3}} \right) \bullet U_{c}\left( r \right) \right\rbrack^{2} + \left\lbrack \frac{2U_{a}}{\mu_{0}^{2}n^{2}r^{2}} \bullet \left( \frac{- 2}{I_{k}^{3}} \right) \bullet U_{c}\left( I_{k} \right) \right\rbrack^{2}}$

U_c $\left( \frac{e}{m} \right)$ $\sqrt{\left\lbrack \frac{e}{m}\text{\ .\ \ }\frac{U_{\begin{matrix} c\ \bullet \ {(U}_{a} \\ \ \\ \end{matrix}})}{U_{a}} \right\rbrack^{2} + \left\lbrack \frac{e}{m}\ \bullet \ \frac{{2U}_{c}\ (r)}{r} \right\rbrack^{2}{+ \ \left\lbrack \frac{e}{m}\ \bullet \ \frac{{2U}_{c}{(I)}_{k}}{I_{k}} \right\rbrack}^{2}}$

r= 0,8. 10^-3m

U(r) = 0,05 . 10^-3m

U_c(U_a) = 0,203 V

U(I_k) = 0,0058 A

1) Wyznaczanie niepewności całkowitej dla U_a = 4V

U_a = 4V

I_k = 0,385A

$\left( \frac{e}{m} \right)$= 1, 71 • 10¹¹ [$\frac{C}{\text{kg}}\rbrack$

U_c $\left( \frac{e}{m} \right) =$

$\sqrt{\left\lbrack 1,71 \bullet 10^{11}\text{\ .\ \ }\frac{0,203}{4} \right\rbrack^{2} + \left\lbrack 1,71 \bullet 10^{11}\ \bullet \frac{2 \bullet 0,05 \bullet 10^{- 3}}{0,8 \bullet 10^{- 3}}\ \right\rbrack^{2}{+ \ \left\lbrack \ 1,71 \bullet 10^{11} \bullet \ \frac{2 \bullet 0,0058}{0,385} \right\rbrack}^{2}}$ =

$\sqrt{\left\lbrack 1,71 \bullet 10^{11} \bullet 0,0501 \right\rbrack^{2} + \left\lbrack 1,71 \bullet 10^{11} \bullet 0,125 \right\rbrack^{2} + \left\lbrack 1,71 \bullet 10^{11} \bullet 0,03013 \right\rbrack^{2}}$ =

$\sqrt{0,00734 \bullet 10^{22} + \ 0,04568\ \bullet 10^{22} + 0,0026545 \bullet 10^{22}}$ = $\sqrt{0,0556745 \bullet 10^{22}}$ =

0,236•10¹¹ [$\frac{C}{\text{kg}}\rbrack$

2) Wyznaczanie niepewności całkowitej dla U_a = 6V

U_a = 6V

I_k = 0,445A

$\left( \frac{e}{m} \right) = \ 1,92 \bullet 10^{11}$[$\frac{C}{\text{kg}}\rbrack$

U_c $\left( \frac{e}{m} \right)$ $= \sqrt{\left\lbrack 1,92 \bullet 10^{11}\text{\ .\ \ }\frac{0,203}{6} \right\rbrack^{2} + \left\lbrack 1,92 \bullet 10^{11}\ \bullet \frac{2 \bullet 0,05 \bullet 10^{- 3}}{0,8 \bullet 10^{- 3}}\text{\ \ } \right\rbrack^{2}{+ \ \left\lbrack \ 1,92 \bullet 10^{11} \bullet \ \frac{2 \bullet 0,0058}{0,445} \right\rbrack}^{2}}$=

$\sqrt{\left\lbrack 1,92 \bullet 10^{11} \bullet 0,03383 \right\rbrack^{2} + \left\lbrack 1,92 \bullet 10^{11} \bullet 0,125 \right\rbrack^{2} + \left\lbrack 1,92 \bullet 10^{11} \bullet 0,\ 02606 \right\rbrack^{2}}$ =

$\sqrt{0,004218 \bullet 10^{22} + 0,0576\ \bullet 10^{22}0,002503 \bullet 10^{22}}$ = $\sqrt{0,060103\ \bullet 10^{22}}$ =

0,245 •10¹¹ [$\frac{C}{\text{kg}}\rbrack$

3) Wyznaczanie niepewności całkowitej dla U_a = 8V

U_a = 8V

I_k = 0,500A

$\left( \frac{e}{m} \right)$= 2, 03 • 10¹¹ [$\frac{C}{\text{kg}}\rbrack$

U_c $\left( \frac{e}{m} \right)$= $\sqrt{\left\lbrack 2,03 \bullet 10^{11}\text{\ .\ \ }\frac{0,203}{8} \right\rbrack^{2} + \left\lbrack 2,03 \bullet 10^{11}\ \bullet \ \frac{2 \bullet 0,05 \bullet 10^{- 3}}{0,8 \bullet 10^{- 3}} \right\rbrack^{2}{+ \ \left\lbrack \ 2,03 \bullet 10^{11} \bullet \ \frac{2 \bullet 0,0058}{0,500} \right\rbrack}^{2}}$=

$\sqrt{\left\lbrack 2,03 \bullet 10^{11} \bullet 0,025375 \right\rbrack^{2} + \left\lbrack 2,03 \bullet 10^{11} \bullet 0,125 \right\rbrack^{2} + \left\lbrack 2,03 \bullet 10^{11} \bullet 0,0\ 232 \right\rbrack^{2}}$ =

$\sqrt{0,00265 \bullet 10^{22} + 0,06439\ \bullet 10^{22} + 0,002218 \bullet 10^{22}}$ = $\sqrt{0,069258 \bullet 10^{22}}$ =

0,263 •10¹¹ [$\frac{C}{\text{kg}}\rbrack$

4) Wyznaczanie niepewności całkowitej dla U_a = 10V

U_a = 10V

I_k = 0,540A

$\left( \frac{e}{m} \right)$= 2, 174 • 10¹¹ [$\frac{C}{\text{kg}}\rbrack$

U_c $\left( \frac{e}{m} \right)$ $= \sqrt{\left\lbrack 2,174 \bullet 10^{11}\text{\ .\ \ }\frac{0,203}{10} \right\rbrack^{2} + \left\lbrack 2,174 \bullet 10^{11}\ \bullet \ \frac{2 \bullet 0,05 \bullet 10^{- 3}}{0,8 \bullet 10^{- 3}} \right\rbrack^{2}{+ \ \left\lbrack \ 2,174 \bullet 10^{11} \bullet \ \frac{2 \bullet 0,0058}{0,540} \right\rbrack}^{2}}$=

$\sqrt{\left\lbrack 2,174 \bullet 10^{11} \bullet 0,0203 \right\rbrack^{2} + \left\lbrack 2,174 \bullet 10^{11} \bullet 0,125 \right\rbrack^{2} + \left\lbrack 2,174 \bullet 10^{11} \bullet 0,021481 \right\rbrack^{2}}$ =

$\sqrt{0,0189 \bullet 10^{22} + 0,072\ \bullet 10^{22} + \ 0,002127 \bullet 10^{22}}$ =$\sqrt{0,074127 \bullet 10^{22}}$

0,272 •10¹¹ [$\frac{C}{\text{kg}}\rbrack$

5)  dla $\frac{e}{m}\left( sr \right) = 1,958 \bullet 10^{11}$[$\frac{C}{\text{kg}}\rbrack$

U_c $\frac{e}{m}\left( sr \right)$= $\sum_{i = 4}^{4}\frac{U_{c}\left( \frac{e}{m} \right)}{4}$ = $\frac{0,236 \bullet 10^{11} + \ \ \ \ \ 0,245\ \bullet 10^{11} + 0,263\ \bullet 10^{11} + \ \ \ \ \ \ \ \ 0,272\ \bullet 10^{11}\ }{4}$ =

0,254 •10¹¹ [$\frac{C}{\text{kg}}\rbrack$

• Wyznaczenie niepewności rozszerzonej:

U(y) = k • U_c(y) ; k=2

U$\left( \frac{e}{m} \right)$ = 2• U_c $\left( \frac{e}{m} \right)$

• Porównanie z wartością tabelaryczną:

$\frac{e}{m}$ = 1,758769 ± 0,000019• 10¹¹ [$\frac{C}{\text{kg}}\rbrack$

1) dla U_a = 4V

$\Delta\left( \frac{e}{m} \right)$ = |1, 71 • 10¹¹ [$\frac{C}{\text{kg}}\rbrack$ -1,758769[$\frac{C}{\text{kg}}\rbrack$ | = 0,048769•10¹¹ [$\frac{C}{\text{kg}}\rbrack$ =

4,8769 •10⁹[$\frac{C}{\text{kg}}\rbrack$

U$\left( \frac{e}{m} \right)$ = 2• 0,236•10¹¹ [$\frac{C}{\text{kg}}\rbrack$ = 0,472•10¹¹ [$\frac{C}{\text{kg}}\rbrack$ = 4,72•10¹⁰ [$\frac{C}{\text{kg}}\rbrack$

$\Delta\left( \frac{e}{m} \right) <$ U$\left( \frac{e}{m} \right)\ $

2) dla U_a=6V

$\Delta\left( \frac{e}{m} \right)$ = |1, 92 • 10¹¹ [$\frac{C}{\text{kg}}\rbrack$ -1,758769[$\frac{C}{\text{kg}}\rbrack$ | = 0,161231•10¹¹ [$\frac{C}{\text{kg}}\rbrack$ =

1,61231 •10⁹[$\frac{C}{\text{kg}}\rbrack$

U$\left( \frac{e}{m} \right)$ = 2• 0,245•10¹¹ [$\frac{C}{\text{kg}}\rbrack$ = 0,49•10¹¹ [$\frac{C}{\text{kg}}\rbrack$ = 4,9•10¹⁰ [$\frac{C}{\text{kg}}\rbrack$

$\Delta\left( \frac{e}{m} \right) <$ U$\left( \frac{e}{m} \right)\ $

2) dla U_a= 8V

$\Delta\left( \frac{e}{m} \right)$ = |2, 03 • 10¹¹ [$\frac{C}{\text{kg}}\rbrack$ -1,758769[$\frac{C}{\text{kg}}\rbrack$ | = 0,271231•10¹¹ [$\frac{C}{\text{kg}}\rbrack$ =

2,71231 •10⁹[$\frac{C}{\text{kg}}\rbrack$

U$\left( \frac{e}{m} \right)$ = 2• 0,263•10¹¹ [$\frac{C}{\text{kg}}\rbrack$ = 0,526•10¹¹ [$\frac{C}{\text{kg}}\rbrack$ = 5,26•10¹⁰ [$\frac{C}{\text{kg}}\rbrack$

$\Delta\left( \frac{e}{m} \right) <$ U$\left( \frac{e}{m} \right)\ $

4) dla U_a = 10V

$\Delta\left( \frac{e}{m} \right)$ = |2, 174 • 10¹¹ [$\frac{C}{\text{kg}}\rbrack$ -1,758769[$\frac{C}{\text{kg}}\rbrack$ | = 0,415231•10¹¹ [$\frac{C}{\text{kg}}\rbrack$ =

4,15231 •10⁹[$\frac{C}{\text{kg}}\rbrack$

U$\left( \frac{e}{m} \right)$ = 2• 0,272•10¹¹ [$\frac{C}{\text{kg}}\rbrack$ = 0,544•10¹¹ [$\frac{C}{\text{kg}}\rbrack$ = 5,44•10¹⁰ [$\frac{C}{\text{kg}}\rbrack$

$\Delta\left( \frac{e}{m} \right) <$ U$\left( \frac{e}{m} \right)\ $

Wartości są zgodne z wartością tabelaryczną.

 

6.Wnioski

W ćwiczeniu wyznaczono stosunek e/m ładunku elektronu do jego masy za pomocą magnetronu. Można zauważyć, że wzrost natężenia prądu solenoidu powodował spadek natężenia prądu anodowego. Przyczyny tego zjawiska należy upatrywać we wzroście natężenia pola magnetycznego, które wzrasta pod wpływem zwiększania natężenia prądu solenoidu

Wyznaczono stosunki e/m dla czterech wartości napięcia anodowego. Wynoszą one kolejno:

1) 1,71±0, 236 • 10¹¹[$\frac{C}{\text{kg}}\rbrack$

2) 1.92±0,245 •10¹¹ [$\frac{C}{\text{kg}}\rbrack$

3) 2,03±0,263 •10¹¹ [$\frac{C}{\text{kg}}\rbrack$

4) 2,174±0,272 •10¹¹ [$\frac{C}{\text{kg}}\rbrack$

5) 1, 958±0,254 •10¹¹ [$\frac{C}{\text{kg}}\rbrack$

Otrzymane wyniki mieszczą się w zakresie niepewności rozszerzonej i są zgodne z wartością tabelaryczną ładunku właściwego.