Pierwiastkiem arytmetyczny stopnia nieujemnej liczby x, nazywamy nieujemną liczbę y, spełniającą nierówność .
Pierwiastek oznaczamy symbolem

Prościej mówiąc pierwiastek y to jest taka liczba, którą jak podniesiemy do potęgi n to otrzymamy liczbę pod pierwiastkiem x. Przykładowo . Pierwiastek jest odwrotnością potęgi.
Liczbę x nazywamy liczbą pierwiastkowaną.

Pierwiastki szczególne:

• pierwiastek stopnia n=0 jest zawsze równy 1:

• pierwiastek stopnia n=1 jest zawsze równy pierwiastkowanej liczbie:

• pierwiastek stopnia n=2 jest nazywany pierwiastkiem kwadratowym i dla niego często pomija się zapis stopnia:

• pierwiastek stopnia n=3 jest nazywany pierwiastkiem sześciennym:

Jeśli pierwiastki są tego samego stopnia to iloczyn pierwiastków jest równy pierwiastkowi iloczynów.
W odwrotną stronę działa to podobnie: pierwiastek iloczynu jest iloczynem pierwiastków:

Jeśli pierwiastki są tego samego stopnia to iloraz pierwiastków jest równy pierwiastkowi ilorazów.
Również tutaj działa to w odwrotną stronę: pierwiastek ilorazu jest ilorazem pierwiastków

Pamiętaj, że NIE działa to dla odejmowania i dodawania:

Jeśli połączymy pierwiastek z potęgą, to trzeba uważać przy liczbach ujemnych. Zobacz poniższe przykłady:

Dla takiej sytuacji zachodzi ogólna prawidłowość:

czyli:

Warto zapamiętać również przydatne wzory:

Definicję można rozszerzyć o pierwiastkowanie liczb ujemnych dla szczególnych przypadków.
Zauważ, że podnosząc (-2) do potęgi 3 otrzymamy -8. Takie działania są prawidłowe tylko dla potęg o wykładnikach nieparzystych.
Czyli
Przy założeniu, że , nasze rozszerzenie definicji wyglądałoby tak:

Wyłączanie czynnika przed znak pierwiastka

Czasami zdarza się, że z danej liczby nie da się obliczyć pierwiastka. Można wtedy próbować rozbić liczbę pod pierwiastkiem na iloczyn.
Przykładowo, w zbiorze liczb rzeczywistych nie ma pierwiastka liczby 540.
Trzeba teraz poszukać takiej liczby, z której można obliczyć pierwiastek i jednocześnie można przez nią podzielić liczbę 540 otrzymując wynik całkowity.
Najłatwiej zacząć szukać od najmniejszych liczb, z których można obliczyć pierwiastek.
Kolejno są to liczby:
4 (bo ),
9 (bo ),
14 (bo ), i tak dalej.
Zacznijmy od 4: 540:4=135 (540 jest podzielne na 4 ponieważ 2 ostatnie cyfry jako liczba są podzielne przez 4 - 40:4=10)
Zatem możemy rozbić 540:
Wykorzystując właściwości pierwiastków mogę to zapisać jako:
Teraz warto dalej próbować rozbić 135:
135:4 - nie daje wyniku całkowitego, więc bierzemy kolejną liczbę
135:9=15, a więc
15 nie da się już bardziej rozbić, więc można przyjąć, że jest to najprostsza postać pierwiastka

Pierwiastek, który nie posiada rozwiązania w zbiorze liczb wymiernych, jest liczbą niewymierną np.

Usuwanie niewymierności z mianownika

Ogólnie przyjmuje się zasadę, aby nie pozostawiać niewymierności w mianownikach ułamków. Aby je usunąć stosuje się prostą metodę.
Spróbujmy uprościć zapis
Jak wiemy z działu Ułamki zwykłe i dziesiętne ułamek można przemnożyć przez 1.
W mianowniku mamy , więc przemnożymy cały ułamek przez .

Wniosek:

Podobnie postępujemy każdym przypadku. Jeśli w mianowniku jest pierwiastek sześcienny np: , to też mnożymy cały ułamek przez 1 zapisane odpowiednio - tak jak teraz potrzebujemy czyli tutaj:
Po mnożeniu otrzymujemy:

Wniosek: