OKREŚLENIE WSPÓŁCZYNNIKA FILTRACJI
NA PODSTAWIE POMPOWANIA BADAWCZEGO STUDNI

Projekt nr 2
Punktacja
Podpis

1. Wstęp teoretyczny

Wartość współczynnika filtracji można określić przy pomocy wzorów empirycznych, badań laboratoryjnych bądź badań polowych.

Metoda wzorów empirycznych wykorzystuje stwierdzone empirycznie związki między wartością współczynnika filtracji, a cechami strukturalnymi gruntu
tj. temperaturą wody, uziarnieniem, porowatością. Metoda ta służy jedynie
do przybliżonego oszacowania wartości współczynnika filtracji. Wyniki obliczeń mogą być obarczone znacznym błędem ze względu na fakt, że wzory empiryczne nie uwzględniają niektórych cech warstwy wodonośnej, np. sposobu ułożenia
i zagęszczenia ziaren, mających istotny wpływ na wartość współczynnika filtracji. Należy zauważyć, że w metodzie tej nie istnieje wzór uniwersalny. Zastosowanie poszczególnych wzorów jest ograniczone do gruntów o określonych cechach uziarnienia. Wyliczona wartość współczynnika filtracji warstwy wodonośnej stanowi jedynie punktowe rozpoznanie tego współczynnika.

Metody laboratoryjne opierają się na pomiarze prędkości przepływu wody przez próbkę gruntu przy stałych lub zmiennych wartościach spadku hydraulicznego i obliczeniach za pomocą wzorów wyprowadzonych z równania Darcy’ego. Badania przeprowadza się w permeametach. Dokładny przebieg badań przedstawia Mieczysław Wacławski (Geologia inżynierska i hydrogeologia. Część II. Hydrogeologia, rozdział 11.3.2.). Dokładność i reprezentatywność wyników oznaczania współczynnika filtracji metodą badań laboratoryjnych wygląda podobnie jak w przypadku wzorów empirycznych.

Metody polowe pozwalają uzyskać najbardziej miarodajne wartości współczynnika filtracji. W przeciwieństwie do wyżej wymienionych metod, badania polowe prowadzone są w naturalnych warunkach hydrodynamicznych. Metody te oparte są na pomiarach parametrów strumienia filtracyjnego wód podziemnych
tj. wydatku, prędkości, depresji zwierciadła, spadku hydraulicznego.

W przypadku pompowania badawczego metody określania współczynnika filtracji najczęściej dzieli się ze względu na rodzaj przepływu wody. Ze względu
na to kryterium możemy wyróżnić metody wykorzystujące wyniki pompowania studni w warunkach ruchu ustalonego i metody oparte na dopływie wody do studni w warunkach ruchu nieustalonego. Podział ten jest powiązany z fazą i czasem pompowania.

W czasie pompowania długotrwałego mogą wystąpić trzy fazy procesu:

• I faza – wzrost depresji zwierciadła w studni i poza studnią, przepływ nieustalony,

• II faza – pompowanie przy ustabilizowanej depresji,

• III faza – wznios zwierciadła po przerwaniu pompowania.

W przypadku pompowania krótkotrwałego zazwyczaj występują dwie fazy:

• I faza - wzrost depresji zwierciadła,

• II faza – wznios zwierciadła.

Maria Plewa (Geologia inżynierska i hydrogeologia. Część III. Przewodnik
do ćwiczeń laboratoryjnych) wydziela następujące główne grupy metod określania współczynnika filtracji przy uwzględnieniu warunków przepływu w poszczególnych fazach pompowania badawczego:

• metody pompowania badawczego przy przepływie nieustalonym. Odnoszą się one do pierwszej fazy pompowania krótkotrwałego i długotrwałego,

• metody pompowania badawczego przy przepływie ustalonym (druga faza pompowania),

• metody wzniosu zwierciadła po pompowaniu krótkotrwałym
  lub długotrwałym,

• metody wzniosu zwierciadła w studni po gwałtownym sczerpaniu wody
  w studni – tzw. metody ekspresowe.

Istota metod pompowania badawczego w warunkach ruchu nieustalonego zawiera się w obliczaniu współczynnika filtracji z formuł opisujących zmianę depresji wody w studni lub w otworach obserwacyjnych w czasie pompowania studni w fazie dopływu nieustalonego. W metodzie tej zakłada się, że warstwa wodonośna zawierająca wody o zwierciadle napiętym rozprzestrzenia się nieograniczenie na poziomym podłożu, ma stałą miąższość, jest jednorodna
i izotropowa pod względem własności hydrogeologicznych, nie jest zasilana przez infiltrację. Do opisu nieustalonego dopływu do studni powszechnie stosuje się równanie Theisa:

$$s_{r} = \frac{Q}{4\pi T}W\left( u \right)$$

gdzie:

s_r – depresja w punkcie (otworze obserwacyjnym) położonym w odległości r
od studni, po czasie t, w m,

Q – wydatek studni, w m³/s,

T – przewodność hydrauliczna warstwy, w m²/s,

W(u) – funkcja charakterystyczna studni, wielkość bezwymiarowa, liczona
ze wzoru:

$$W\left( u \right) = - 0,572 - lnu + u - \frac{u^{2}}{2*2!} + \frac{u^{3}}{3*3!\ldots}$$

gdzie:

u – argument funkcji charakterystycznej studni, wielkość bezwymiarowa, liczona ze wzoru:

$$u = \frac{r^{2}}{4a^{*}t}$$

gdzie:

r – odległość otworu obserwacyjnego od studni, w m,

a* - współczynnik piezoprzewodności charakteryzujący prędkość przekazywania zmian ciśnienia w warstwie wodonośnej, w m²/s,

t – czas liczony od rozpoczęcia pompowania, w s.

W przypadku prowadzenia pomiarów depresji w jednym otworze obserwacyjnym sporządza się wykres zależności w układzie bilogarytmicznym s_r=f(1/t) i nakłada się go na wykres funkcji charakterystycznej W(u). Następnie należy wybrać punkt arbitralny – punkt A na odcinku najlepszego pokrywania się obu wykresów. Rzędne W(u)_A i s_A spełniają równanie Theisa, a odcięte u_A i (1/t)_A spełniają równanie argumentu funkcji charakterystycznej. Przekształcając równanie Theisa wyliczamy wartość przewodności hydraulicznej warstwy wodonośnej T:

$$T = \frac{Q}{4\pi s_{A}}{w(u)}_{A}$$

a następnie poszukiwaną wartość współczynnika filtracji:

$$k = \frac{T}{m}$$

W przypadku wystąpienia w rozpatrywanym obszarze filtracji przepływu quasi-ustalonego argument funkcji studni u przyjmuje dla tego obszaru małą wartość. Wartość funkcji W(u) w tym przypadku może być opisana przybliżeniem logarytmicznym:

$$W\left( u \right) = - 0,572 - lnu = ln\frac{2,25a^{*}t}{r^{2}}$$

Po wstawieniu uproszczonej postaci funkcji W(u) do równania Theisa otrzymuje się wzór przybliżenia logarytmicznego Theisa-Jacoba:

$$s_{r} = \frac{Q}{4\pi T}\ln\frac{2,25a^{*}t}{r^{2}}$$

Po odpowiednich przekształceniach równanie zostaje sprowadzone
do postaci:

$$s_{r} = \frac{0,183Q}{T}\lg{\frac{2,25a^{*}}{r^{2}} + \frac{0,183Q}{T}\text{lgt}}$$

Równanie to jest powszechnie stosowane przy określaniu współczynnika filtracji w warunkach quasi-ustalonego.

W przypadku pomiaru depresji zwierciadła w otworze obserwacyjnym sporządza się wykres zależności s_r=f(lgt) w układzie półlogarytmicznym,
a poszukiwany współczynnik filtracji wylicza z zależności:

$$k = \frac{0,183Q}{\text{mc}}$$

W powyższym wzorze wielkości Q i m stanowią znane wartości wydatku studni i miąższości warstwy wodonośnej. Wartość współczynnika c wyznacza się
z prostoliniowego odcinka wykresu s_r=f(lgt) według zależności:

$$c = \frac{s_{r}}{lgt}$$

Zgodnie z tym wzorem jako wartość c można przyjąć wartość depresji Δs_r, odpowiadającej jednemu cyklowi logarytmicznemu skali czasu. Dla takiego przedziału czasu Δlgt=1.

Współczynnik filtracji może być określony jeżeli pomiary depresji zwierciadła prowadzi się w samej studni. W tym przypadku do wzorów obliczeniowych w miejsce odległości od studni r przyjmuje się promień studni r₀.

Za pomocą przedstawionej metody przeprowadza się określanie współczynnika filtracji w studniach zaopatrzonych w kilka otworów obserwacyjnych, w zespołach studni badawczych, w różnych warunkach hydrogeologicznych warstw naporowych, a także w warstwach wodonośnych
o swobodnym zwierciadle wody.

Metodę ekspresową opartą na wynikach pomiaru wzniosu zwierciadła wody
w studni stosuje się dla szybkiego określenia przybliżonej wartości współczynnika filtracji. Zgodnie z metodą A. Wieczystego ze studni badawczej sczerpuje się szybko pewną ilość wody. Pompowanie przerywa się po wytworzeniu depresji początkowej s₀. Następnie w określonych odstępach czasu t_i, mierzonych
od przerwania pompowania do chwili t₀, mierzy się depresję wznoszącego zwierciadła wody w studni s_i. Uzyskuje się w ten sposób ciąg par wartości (t₀, s₀, (t₁, s₁), …, (t_n, s_n), charakteryzujących przebieg wzniosu. Odpowiedni dobór wartości depresji początkowej s₀ i częstotliwości pomiarów zwierciadła jest jednym z warunków uzyskania wiarygodnych wyników określenia współczynnika filtracji. Depresja początkowa nie może być zbyt mała. Pomiary stanu zwierciadła w studni powinny być prowadzone:

• w początkowych kilku minutach co 0,5-1 minutę,

• po kilku minutach wzniosu co 1,3 minut,

• po upływie około 10 minut co 10-15 minut,

• w końcowej fazie wzniosu co 0,5-1 godzinę.

Pomiary zwierciadła w studni powinny być prowadzone do jego całkowitej stabilizacji. Na podstawie uzyskanego ciągu par wartości sporządza się wykres $t = f(\lg{\frac{s_{0}}{s_{i}})}$. Kształt wykresu zależy od rodzaju wzniosu. W przypadku wzniosu naturalnego punkty wykresu układają się wzdłuż linii prostej, natomiast
przy wzniosie zależnym punkty wykresu układają się wzdłuż krzywej zbliżonej
do paraboli.

W przypadku wzniosu naturalnego współczynnik filtracji wylicza się ze wzoru:

$$k = \frac{0,12\sqrt[3]{r_{s}^{5}}}{\text{abC}}\ \left\lbrack \frac{m}{s} \right\rbrack$$

gdzie:

r_s – promień studni, w m,

C – miano nieprzepuszczalności, w min,

a- współczynnik liczbowy uwzględniający stan utrzymania studni,

b – współczynnik liczbowy uwzględniający sposób dopływu wody do studni
oraz konstrukcję studni.

Przy wzniosie zależnym sposób określania współczynnika filtracji jest złożony. Jego wartość może być określona za pomocą wzoru opracowanego przez A. Wieczystego. W tym przypadku do obliczeń, oprócz pomiarów stanów zwierciadła w czasie wzniosu, niezbędna jest znajomość ilości wypompowanej wody.

1. Dane

W niniejszym projekcie wykorzystane zostały dane zamieszczone
w tabeli nr 1.

Tabela nr 1.

czas [min]	depresja[m]
0	0
1	2,5
2	3,3
3	4,3
4	5,2
5	5,9
6	6,3
7	6,7
8	6,9
13	7,4
18	7,9
23	8,3
28	8,6
38	8,8
48	8,9
58	9
96	9
Q=3,8 m^3/h
m=19 m

1. Cel i metodyka badań

Cel projektu stanowi określenie wartości współczynnika filtracji
na podstawie wyników pomiaru depresji zwierciadła wody w otworze obserwacyjnym.

W ramach projektu wykonano wykres zależności s_r=f(lgt) w skali półlogarytmicznej. Na podstawie depresji s₁ i s₂ odczytanych z wykresu wyznaczono wartość współczynnika nachylenia prostej c. Ponadto obliczono przewodność warstwy wodonośnej i wartość współczynnika filtracji. Wyznaczona wartość współczynnika filtracji pozwoliła określić rodzaj utworów skalnych.

Etapy tworzenia wykresu zależności s_r=f(lgt) przedstawiono poniżej:

1. Utworzenie arkusza roboczego programu Grapher (File→New→Worksheet).

2. Wklejenie tabelarycznych danych zapisanych uprzednio w programie Excel (Edit→Paste Special→Text).

3. Zapisanie arkusza roboczego programu Grapher w formacie *dat (File→Save As).

4. Utworzenie wykresu obrazującego dane zapisane uprzednio w arkuszu roboczym (Graph→2D XY Graphs→Line/Scatter).

5. Przypisanie osi X i Y poszczególnych kolumn z arkusza roboczego (X→Column A:czas [min]; Y→Column B: depresja [m]).

6. Zmiana skali osi X z liniowej na logarytmiczną (Axis Properties→Scale→Log).

7. Dodanie tytułów osi X i Y (Properties→Axis→Axis title→Title).

8. Aproksymacja funkcji (Properties – Line/Scatter→Plot→Fits→Available Fits→Log→Add).

9. Zmiana stylu linii funkcji na niewidoczny (Properties – Line/Scatter→ Line→Style→Invisible).

10. Określenie przedziału jednego cyklu logarytmicznego skali czasu: t₁=10⁰
    i t₂=10¹_.

11. Zrzutowanie wartości t₁ i t₂ na prostą, a następnie na oś rzędnych.

12. Odczytanie wartości depresji s₁=3,1m i s₂=6,6m.

13. Dodanie tytułu wykresu (Draw→Text)

Znając wartości s₁ i s=2 możliwe jest obliczenie wartości współczynnika nachylenia prostej c=Δs:

c = Δs = s₂ − s₁[m]

c=6,6-3,1=3,5 [m]

Pomierzony wydatek studni Q i miąższość warstwy wodonośnej m, a także obliczony współczynnik kierunkowy c umożliwiają obliczenie współczynnika filtracji:

$$k = \frac{0,183Q}{\text{mc}}\ \left\lbrack \frac{m}{s} \right\rbrack$$

gdzie:

Q – wydatek studni, w m³/s,

m – miąższość warstwy wodonośnej, w m,

c – współczynnik nachylenia prostej, w m.

Q=3,8m³/h=0,00106m³/s

m=19m

$$k = \frac{0,183*0,00106}{19*3,5} = 2,92*10^{- 6}\ \left\lbrack \frac{m}{s} \right\rbrack$$

Współczynnik filtracji stanowi czynnik parametru T zwanego przewodnością warstwy wodonośnej lub przewodnictwem wodnym, liczony ze wzoru:

$$T = k*m\ \left\lbrack \frac{m^{2}}{s} \right\rbrack$$

gdzie:

k – współczynnik filtracji, w m/s,

m – miąższość warstwy wodonośnej, w m.

T=2,92*10^-6*19m=5,54*10^-5 [m²/s]

4. Wnioski i podsumowanie

Analiza wykresu zależności s_r=f(lgt) pozwoliła określić wartość współczynnika filtracji. Wyznaczenie tego współczynnika umożliwiło natomiast rozpoznanie utworów skalnych. Obliczona wartość współczynnika filtracji k wynosi
2,92*10^-6 [m/s], a zatem mieści się w przedziale 10^-6-10^-5. Zgodnie z podziałem utworów skalnych według własności filtracyjnych opracowanym przez Z. Pazdrę, tego rzędu wartości świadczą o występowaniu skał słabo przepuszczalnych tj. piaski pylaste, gliniaste, muły, piaskowce, czy skały masywne z rzadką siecią drobnych spękań. W utworach takich przeważają próżnie subkapilarne i mniejszych rozmiarów próżnie kapilarne. Ponadto w utworach trudno przepuszczalnych,
w zależności od prędkości filtracji i spadku hydraulicznego mogą występować trzy rodzaje filtracji – filtracja prelineralna, linearna i postlinearna. W tego rodzaju utworach filtracja rozpoczyna się dopiero wówczas, gdy spadek hydrauliczny przekroczy wartość graniczną J­₀, nazwaną spadkiem początkowym.

Wiedząc, że przy filtracji wody w temperaturze 20°C pomiędzy wartościami współczynników przepuszczalności i filtracji zachodzą następujące relacje:

1 darcy=10^-5m/s

1m/s=10⁵ darcy

możemy określić wartość współczynnika przepuszczalności k_p:

k=2,92*10^-6 m/s

k_p=k*10⁵=2,92*10^-6*10⁵=0,292 darcy

4. Literatura

1. Plewa Maria, Geologia inżynierska i hydrogeologia. Część III. Przewodnik
   do ćwiczeń laboratoryjnych, Wydawnictwo Politechniki Krakowskiej, 1998.

2. Wacławski Mieczysław, Geologia inżynierska i hydrogeologia. Część II. Hydrogeologia, Wydawnictwo Politechniki Krakowskiej, 1999.