Mediana (wartość środkowa)

- gdy n jest parzyste $Me = \frac{x_{\frac{n}{2}} + x_{\frac{n + 1}{2}}}{2}$

- gdy n jest nieparzyste $Me = x_{\frac{n + 1}{2}}$

Kwartyle (wartości ćwiartkowe)

- gdy n jest podzielne przez 4 bez reszty

$Q_{1} = \frac{x_{\frac{n}{4}} + x_{\frac{n + 1}{4}}}{2}$ ; Q₂ = Me ;

$Q_{3} = \frac{x_{\frac{3n}{4}} + x_{\frac{3n + 1}{4}}}{2}$

- gdy n jest podzielne przez 4 z resztą 1,2 lub 3

$Q_{1} = x_{\approx \uparrow \frac{n}{4}}$ ; $Q_{3 = x_{\approx \uparrow \frac{3n}{4}}}$

Decyle (wartości dziesiętne)

- gdy n jest podzielne przez 10 bez reszty

$D_{1} = \frac{x_{\frac{n}{10}} + x_{\frac{n + 1}{10}}}{2}$ ; $D_{9} = \frac{x_{\frac{9n}{10}} + x_{\frac{9n + 1}{10}}}{2}$

- gdy n jest podzielne przez 10 z resztą $D_{1} = x_{\approx \uparrow \frac{n}{10}}$ ; $D_{9} = x_{\approx \uparrow \frac{9n}{10}}$

Momenty zwykłe (a=0)

- średnia arytmetyczna

- średnia kwadratów $m_{2} = \frac{\sum_{i = 1}^{n}{(x_{i})}^{2}}{n}$

- średnia sześcianów $m_{3} = \frac{\sum_{i = 1}^{n}{(x_{i})}^{3}}{n}$

- moment zwykły czwarty

$m_{4} = \frac{\sum_{i = 1}^{n}{(x_{i)}}^{4}}{n}$

Momenty centralne ()

- własność średniej arytmetycznej

$\mu_{1} = \frac{\sum_{i = 1}^{n}{(x_{i} - \overset{\overline{}}{x})}}{n} = 0$

- wariancja $\mu_{2} = \frac{\sum_{i = 1}^{n}{(x_{i} - \overset{\overline{}}{x})}^{2}}{n} = S^{2}(x)$

- moment centralny trzeci

$\mu_{3} = \frac{\sum_{i = 1}^{n}{(x_{i} - \overset{\overline{}}{x})}^{3}}{n}$

- moment centralny czwarty

$\mu_{4} = \frac{\sum_{i = 1}^{n}{(x_{i} - \overset{\overline{}}{x})}^{4}}{n}$

Odchylenie standardowe

$S\left( x \right) = \sqrt{S^{2}(x)}$

MIARY KLASYCZNE

Miary bezwzględne

- średnia arytmetyczna

- odchylenie standardowe (S(x)) [S(x)>Q]

- miara asymetrii (μ₃)

- miara skupienia (μ₄)

Miary względne

- współczynnik zmienności $V\left( x \right) = \frac{S(x)}{\overset{\overline{}}{x}}$

- współczynnik asymetrii $A_{s} = \frac{\mu_{3}}{S^{3}(x)}$

[0-ideał; >(-)1-silna asymetria;

>(-)2-skrajna asymetria]

- wskaźnik symetrii $W_{s} = \frac{\mu_{4}}{S^{4}(x)}$

[3-ideał; >3-wysmukły; <3-spłaszczony] Kurtoza: K=W_s-3

MIARY POZYCYJNE

Miary bezwzględne

- średnie (mediana, dominanta, kwartale, decyle)

- odchylenie ćwiartkowe $Q = \frac{Q_{3} - Q_{1}}{2}$

Miary względne

- współczynnik zmienności $V\left( x \right) = \frac{Q}{\text{Me}}$

- współczynnik asymetrii

$A_{s} = \frac{\left( Q_{3} - Me \right) - \left( Me - Q_{1} \right)}{\left( Q_{3} - Me \right) + \left( Me - Q_{1} \right)}$

$A_{s} = \frac{\left( D_{9} - Me \right) - (Me - D_{1})}{\left( D_{9} - Me \right) + (Me - D_{1})}$

[wzory nieczułe na elementy skrajne]

- wskaźnik symetrii $W_{s} = \frac{D_{9} - D_{1}}{Q_{3} - Q_{1}}$

”Przy grupowaniu używamy KONI”

Zad.3

1. dla n>30
   $P\left\{ \overset{\overline{}}{x} - u_{\alpha} \bullet \frac{S\left( x \right)}{\sqrt{n}} < m < \overset{\overline{}}{x} + u_{\alpha} \bullet \frac{S\left( x \right)}{\sqrt{n}} \right\} = 1 - \alpha$

dla n<30
$P\left\{ \overset{\overline{}}{x} - t_{\text{αS}} \bullet \frac{S\left( x \right)}{\sqrt{n - 1}} < m < \overset{\overline{}}{x} - t_{\text{αS}} \bullet \frac{S\left( x \right)}{\sqrt{n - 1}} \right\} = 1 - \alpha$

Z prawdopodobieństwem …% mogę twierdzić, że nieznana wartość średnia wydatków dla ogółu gospodarstw przyjmie wartość liczbową z przedziału {…;…}.

1. dla n>30
   $P\left\{ S(x) - u_{\alpha} \bullet \frac{S\left( x \right)}{\sqrt{2n}} < \delta < S(x) + u_{\alpha} \bullet \frac{S\left( x \right)}{\sqrt{2n}} \right\} = 1 - \alpha$

Z prawdopodobieństwem …% mogę twierdzić, że nieznana wartość zróżnicowania wydatków dla ogółu przyjmie wartość liczbową z przedziału {…;…}.

1. Etapy weryfikacji hipotez:

1. sformułowanie hipotezy zerowej (H₀) i alternatywnej (H₁) – hipoteza zerowa zawsze ma znak „=”; hipoteza alternatywna jeden ze znaków „<”, „>”, „≠”

[np. H₀: m=m₀ ; H₁: m>m₀ ]

1. wybór statystyki (duża próba/mała próba) i wyznaczenie jej wartości

($u_{\text{obl}} = \frac{\overset{\overline{}}{x} - m_{0}}{S(x)} \bullet \sqrt{n}$ / $t_{\text{obl}} = \frac{\overset{\overline{}}{x} - m_{0}}{S(x)} \bullet \sqrt{n - 1}$ )

1. wybór poziomu dopuszczalnego błędu (α=5%, α=10%, α=1%) i wyznaczenie obszarów krytycznych testu

H1: m<m0
α
0,10
0,05
0,01
H1: m≠m0
α
0,10
0,05
0,01
H1: m>m0
α
0,10
0,05
0,01

1. podjęcie decyzji weryfikacyjnej

   1. Odrzucam hipotezę zerową na korzyść alternatywnej. Z prawdopodobieństwem popełnienia błędu wynoszącego …% mogę twierdzić, że średni dochód na jedną osobę dla ogółu gospodarstw jest istotnie większy/mniejszy/różny od kwoty …zł.

   2. Brak podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej. Z prawdopodobieństwem popełnienia błędu wynoszącego …% mogę twierdzić, że średni dochód na jedną osobę dla ogółu gospodarstw jest równy …zł.

1. S(x)>δ₀ !!!

1. sformułowanie hipotezy zerowej (H₀) i alternatywnej (H₁ )

[np. H₀: δ=δ₀ ; H₁: δ>δ₀ ]

1. wybór statystyki (duża próba/mała próba) i wyznaczenie jej wartości

2. ($u_{\text{obl}} = \sqrt{2 \bullet {\chi_{\text{obl}}}^{2}} - \sqrt{2n - 3}$ ; $\chi_{\text{obl}} = \frac{n \bullet S^{2}(x)}{{\delta_{0}}^{2}}$)

3. wybór poziomu dopuszczalnego błędu (α=5%, α=10%, α=1%) i wyznaczenie obszarów krytycznych testu

4. podjęcie decyzji weryfikacyjnej

   1. Odrzucam hipotezę zerową na korzyść alternatywnej. Z prawdopodobieństwem popełnienia błędu wynoszącego …% mogę twierdzić, że zróżnicowanie dochodów na jedną osobę dla ogółu gospodarstw jest istotnie większe/mniejsze/różne od kwoty …zł.

   2. Brak podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej. Z prawdopodobieństwem popełnienia błędu wynoszącego …% mogę twierdzić, że zróżnicowanie dochodów na jedną osobę dla ogółu gospodarstw jest równe kwocie …zł.

1. Współczynnik korelacji Pearsona $r_{\text{xy}} = \frac{\sum_{}^{}{\left( x_{i} - \overset{\overline{}}{x} \right)(y_{i} -}\overset{\overline{}}{y})}{\sqrt{\sum_{}^{}{{(x_{i} - \overset{\overline{}}{x})}^{2} \bullet \sum_{}^{}{(y_{i} - \overset{\overline{}}{y})}^{2}}}}$ ;

-1 ≤ r_xy ≤ 1;

r_xy = 0 – brak związku;

|r_xy| = 1

$$t_{\text{obl}} = \frac{r_{\text{xy}}}{\sqrt{1 - {(r_{\text{xy}})}^{2}}} \bullet \sqrt{n - 2}$$

1. Odrzucam hipotezę zerową na korzyść alternatywnej. Z prawdopodobieństwem popełnienia błędu wynoszącego …% mogę twierdzić, że współczynnik korelacji pomiędzy dochodami a wydatkami jest istotnie różny od 0, tzn. występuje istotny związek pomiędzy dochodami i wydatkami.