POLITECHNIKA CZĘSTOCHOWSKA

WYDZIAŁ BUDOWNICTWA

SAMODZIELNY ZAKŁAD

WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW

Laboratorium

Sprawozdanie Nr 7

Temat:

Wyboczenie pręta ściskanego

Bartosz Zimierski

Rok II, Grupa dziekańska VI

Rok akademicki 2011/2012

Studia stacjonarne

Wprowadzenie

Równowaga ciał może być stateczna, niestateczna lub obojętna. Równowagę stateczną nazywamy taką formę równowagi w której ciało wychylone z położenia pierwotnego z powrotem do niego wraca (rysunek 1a). Inaczej mówiąc, ruch ciała jest taki, że wychylenia dowolnego punktu ciała nie są większe od początkowych. O równowadze niestatycznej mówimy wówczas, gdy ciało wychylone z położenia pierwotnego nie powraca do tego położenia, ale przechodzi do niego (rysunek 1b). Jeśli ciało znajduje się w potencjalnym polu sił wówczas położeniu równowagi statecznej odpowiada minimum energii potencjalnej zaś równowadze niestatycznej odpowiada maksimum energii potencjalnej. Szczególny przypadek, gdy przy dowolnie małym wychyleniu wartość energii potencjalnej nie zmienia się, nazywamy równowagą obojętną (rysunek 1c).

Rys. 1 Rodzaje równowagi ciała a) stateczna b) niestateczna c) obojętna [1]

Żadne ciało praktycznie nie może pozostać w położeniu równowagi niestatecznej, będącym stanem granicznym. Ciało przechodzi do innego możliwego położenia. Przejście to może charakteryzować się dużymi przemieszczeniami, powstaniem plastycznych odkształceń, zniszczeniem materiału i itp. Taką formę przejścia z jednego położenia równowagi do drugiego nazywamy utratą stateczności. W praktyce często mamy do czynienia ze zjawiskiem, gdy do przeprowadzenia układu w stan równowagi chwiejnej potrzebna jest na tyle mała ilość energii, że w danych warunkach może ona być dostarczona zupełnie przypadkowo (rysunek 2). Wówczas mówi się, że stateczność układu jest niewystraczająca.

Rys. 2 Układ o małej stateczności [1]

Stateczność układu może zależeć nie tylko od jego geometrycznej postaci, ale od wielkości działających sił. Jeśli np. siła obciążająca układ będzie mniejsza od pewnej charakterystycznej wartości, to stateczność będzie zachowana; przy sile większej układ znajduje się w położeniu równowagi niestatecznej. Przejście siły przez tę szczególną wartość powoduje zmianę równowagi układu ze statecznej na niestateczną. Tę charakterystyczną wartość siły obciążającej określamy mianem siły krytycznej. Zagadnienie jest to o tyle istotne, że utrata stateczności następuje nagle, bez widocznych objawów poprzedzających „niebezpieczny” stan konstrukcji. Dlatego przedstawienie eksperymentalnego sposobu określania siły krytycznej przy wyboczeniu sprężystym i porównanie z wynikiem uzyskanym analitycznie (wzór Eulera) pozwala na szersze rozeznanie w zagadnieniach stateczności prętów ściskanych.

Utrata stateczności prętów ściskanych

W przeciwieństwie do układów sztywnych w układach odkształconych wartość występujących sił mają wpływ na rodzaj równowagi. Rozpatrywany jest nieważki pręt AB ściskany siłą osiową P (rysunek 3a) na tyle małą, że oś pręta pozostaje prosta. Jeśli na pręt zadziała się statycznie siłą Q prostopadłą do osi pręta, to siła ta powoduje ugięcie pręta. Po cofnięciu siły Q pręt powraca do swej początkowej (prostej) postaci. Jeśli działanie siłą Q będzie działaniem dynamicznym, wówczas wywoła ona drgania pręta wokół prostej osi. Zwiększenie wartości siły P powoduje początkowo jedynie wzrost okresu drgań. Jednakże po przekroczeniu pewnej charakterystycznej wartości siły P, zwanej siłą krytyczną P_kr , pręt po chwilowym zadziałaniu siły Q nie wróci do swej pierwotnej postaci. Po przekroczeniu przez siłę P wartości krytycznej pręt znajdzie się w równowadze chwiejnej i gwałtownie przybierze nową postać równowagi stałej o osi wygiętej. Towarzyszy temu nagły wzrost przemieszczeń końca pręta B. Wygięcie pręta spowodowane przekroczeniem przez siłę ściskającą P wartości krytycznej P_kr nazywamy wyboczeniem.

1. b)

Rys. 3 a) nieważki pręt ściskany osiowo b) zależność u – P [1]

Rysunek 3b przedstawia zależność między przemieszczeniem u końca B pręta AB a wartością siły ściskającej P. Prosta l odpowiada sytuacji, gdy pręt prosty jest wyłącznie ściskany. Po osiągnięciu przez siłę P wartości krytycznej charakterystyka rozdwaja się w punkcie M. Punkt ten zwany jest punktem bifurkacji (rozdwojenia). Zwiększenie wartości siły ściskającej powyżej wartości P _kr spowoduje bądź równowagę niestateczną pręta, który pozostanie nadal prosty (prosta l), bądź równowagę stateczną – pręt o osi wygiętej (krzywa 2). Linia 0-M-2 zwana jest ścieżka równowagi. Założenie całkowicie osiowego ściskania jest oczywiście idealizacją – w praktyce zawsze ma się do czynienia z pewnym mimośrodem. Krzywa 3 na wykresie jest wykresem zależności u-P przy założeniu istnienia małego początkowego mimośrodu. Im mimośród jest mniejszy, tym krzywa początkowo dokładnie pokrywa się z prostą l, by później ulec gwałtowniejszemu zakrzywieniu (gwałtowniejszy wzrost przemieszczeń).

Sprężyste wyboczenia pręta

Wyboczeniem sprężystym nazywać będziemy taki przypadek utraty stateczności, w którym siła krytyczna spowoduje powstanie naprężeń normalnych mniejszych od granicy proporcjonalności R_H. Podstawy teoretyczne sprężystego wyboczenia prętów prostych dał Euler wyprowadzając wzór na siłę krytyczną (wyboczeniową) przy ściskaniu pręta prostego podpartego dwustronnie przegubowo (rys.4). Jako że warunki podparcia nie określają uprzywilejowanego kierunku wygięcia pręta, zatem wygięcie nastąpi w płaszczyźnie najmniejszej sztywności na zginanie EI. W stanie równowagi w postaci wygiętej pojawia się dodatkowo moment gnący.

Rys. 4 Pręt prosty ściskany osiowo [1]

Siła krytyczna P_kr jest to najmniejsza siła ściskająca (P) która jest w stanie utrzymać pręt w postaci wygiętej (wyboczonej). Innymi słowy jest to taka siła ściskająca P której przekroczenie powoduje zmianę statecznej postaci z prostej na wygiętą, względnie przy zmniejszaniu się P powoduję zmianę statecznej postaci względnej na prostą. Krytyczną wartość siły ściskającej P_kr (dla zakresu odkształceń sprężystych) przy której pręt o długości l ulega wyboczeniu określa wzór Eulera (1)

$P_{\text{kr}} = \frac{\pi^{2}EJ_{\min}}{l_{w}^{2}}\ \lbrack N\rbrack$ (1)

J_min- minimalny moment bezwładności przekroju poprzecznego pręta względem osi obojętnej

przy zginaniu

l_w- długość wyboczeniowa pręta

E – współczynnik sprężystości wzdłużnej materiału pręta

Naprężenia krytyczne wyznaczane są ze wzoru (2)

$\sigma_{\text{kr}} = \frac{P_{\text{kr}}}{F} = \frac{\pi^{2}E}{S^{2}}\ \lbrack MPa\rbrack$ (2)

S- smukłość pręta

F- pole przekroju poprzecznego pręta

Minimalny promień bezwładności przekroju wyznacza się ze wzoru (3)

$i_{\min} = \sqrt{\frac{J_{\min}}{F}}\ $ (3)

W przypadku różnych sposobów zamocowania końców pręta ściskanego długość wyboczeniową pręta l_w występującą we wzorach można wyznaczyć w zależności (4)

l_w = η x l (4)

l- długość rzeczywista pręta

η- współczynnik zależny od sposobu zamocowania końców pręta

Wartości liczbowe współczynników η dla najczęściej spotykanych warunków brzegowych prętów podano na rysunku 5

Rys. 5 Sposoby zamocowania pręta [1]

Fizycznie l_w przedstawia długość sinusoidalnej półfali wyboczenia pręta. Wzory (1) i (2) są słuszne wówczas gdy naprężenia krytyczne są mniejsze od granicy proporcjonalności. Warunek ten jest spełniony gdy smukłość pręta jest większa od smukłości granicznej S_gr obliczane ze wzoru (5)

$S_{\text{gr}} = \pi\sqrt{\frac{E}{R_{H}}}\ $ (5)

R_h- granica proporcjonalności

Przebieg ćwiczenia

Ćwiczenie przeprowadzane jest na stanowisku umożliwiającym ściskanie prętów o dowolnych przekrojach (rys. 6a). Najczęściej badany jest pręt o przekroju teonowym (rys. 6b). Przed przystąpieniem do ćwiczenia należy zmierzyć długość pręta oraz wymiary jego przekroju poprzecznego. Mocowanie prętów jest bądź dwustronnie przegubowe, bądź też – po założeniu na jeden z przegubów (głowic) specjalnej obejmy – z jednej strony przegubowe, z drugiej zaś (zwykle dolnej) pręt jest utwierdzony. Górna głowica jest ruchoma, a jej położenie można zmienić za pomocą śruby regulacyjnej. Należy zwrócić uwagę by zamocować pręt w głowicach tak, aby był on możliwie maksymalnie osiowo ściskany.

1. b)

Rys. 6 a) Schemat stanowiska do badania prętów na wyboczenie b) przekrój poprzeczny

badanego pręta; 1- badany pęt 2- głowica mocująca 3- czujnik zegarowy 4- śruba

regulacyjna 5- waga do pomiaru siły ściskającej [1]

Po zamocowaniu pręta należy wytarować wagę, która pokazuje wartość siły ściskającej pręt. W badanym pręcie teowym główna centralna oś bezwładności, względem której moment bezwładności przekroju jest najmniejszy, jest równoległa do osi x. W związku z tym czujnik należy zamocować tak, by jego oś była prostopadła do półki teownika i pokazywała przemieszczenie w połowie długości pręta. W przypadku innych prętów może być konieczne zastosowanie dwóch czujników. Za pomocą śruby regulacyjnej należy zwiększyć stopniowo wartość siły ściskającej i odczytywać odpowiadającej jej wskazania czujnika. W celu wyeliminowania wpływu tarcia w przegubach na wskazania czujnika przed każdym odczytem należy lekko postukać obudowę stanowiska. Wyniki należy zamieścić w tabeli 7.1. pomiary należy powtórzyć dla drugiego sposobu mocowania pręta (utwierdzania z jednej strony)

Literatura:

[1] Witold Beluch, Tadeusz Burczyński : ,,Laboratorium z wytrzymałości materiałów”

Wydawnictwo Politechniki Śląskiej, Gliwice 2002.

[2] www.wikipedia.pl