Marek Burdzy Nr indeksu: 191324	Mgr inż. Mateusz Pustułka	Ćwiczenie nr: 4
Rok: III	semestr: zimowy	Projektowanie cyfrowych korektorów nieodpornych i odpornych
Wydział Elektryczny Politechniki Wrocławskiej		Ocena:
4.12.2013 Śr/TN 17:05

1. Cel ćwiczenia:

1. Poznanie zasad projektowania cyfrowych regulatorów dedykowanych do zadanego obiektu.

2. Projektowanie korektorów nieodpornych dla zadanych parametrów dynamicznych układu po korekcji.

3. Projektowanie korektorów odpornych dla zadanych parametrów dynamicznych układu po korekcji.

4. Porównanie właściwości korektorów odpornych oraz nieodpornych.

1. Program ćwiczeń:

1. Wyznaczono transmitancje obiektu G_O(s) przed korekcją oraz wyznaczono cyfrowy odpowiednik transmitancji obiektu regulacji za pomocą polecenia c2d.

G_O(s)= $\frac{1}{(6s + 1)(5s + 1)}$ = $\frac{1}{30s^{2} + 11s + 1}$

>> L=[1];

M=[30 11 1];

G0s=tf([1],[30 11 1])

Z odpowiedzi na skok jednostkowy obiektu odczytano i przeliczono czas próbkowania Tp, który wyniósł 0,27[s].

t_ust= 39 [s]

Transfer function:

1

-----------------

30 s^2 + 11 s + 1

>> G0z=c2d(G0s,0.27,'zoh')

Transfer function: Komentarz: Transmitancja cyfrowego odpowiednika obiektu G_OE(z)

0.001176 z + 0.001137

----------------------

z^2 - 1.903 z + 0.9057

Sampling time: 0.27

Dyskretna transmitancja obiektu:

$$G_{o}\left( z \right) = \frac{0.001176z + 0.001137}{z^{2} - 1.903z + 0.9057}$$

1. Projektowanie korektora nieodpornego do zadanego obiektu

• Określenie transmitancji korektora przy założeniu, że układ po korekcji K(z) ma być minimalno – czasowy

G_k(z) =   $\frac{K(z)}{1 - K(z)}$* $\frac{1}{G_{\text{OE}}(z)}$

Za K(z) = $\frac{1}{z}$ dla minimalno czasowego

G_k(z) =   $\frac{\frac{1}{z}}{\frac{z - 1}{z}}\ $* $\frac{z^{2} - 1.903z + 0,9057}{0,001176z + 0,001137}$ = $\frac{z^{2} - 1.903z + 0,9057}{0,001176z^{2} - 0,000039z - 0,001137}$

• Zbadanie odpowiedzi na skok jednostkowy układu po korekcji

Sygnał sterujący s(n)

Powyższy wykres pokazuje jak bardzo intensywny jest sygnał sterujący wychodzący z korektora. Przyjmuje on wartości nawet ponad 1500 krotnego wzmocnienia. Jest to bardzo intensywne sterowanie.

1. Określenie transmitancji korektora, przy założeniu, że odpowiedź układu po zastosowaniu korektora ma charakter inercyjny o czasie ustalenia 3 krotnie krótszym niż ten który zaobserwowano dla obiektu przed korekcją.

t_ust= 13 [s] – dla poprzedniego obiektu czas ustalenia wyniósł 39 [s]

Goz=c2d(Gos,0.27,'zoh')

Transfer function:

0.1263

----------

z - 0.8737

Sampling time: 0.27

• Obliczenie transmitancji korektora ( tak samo jak w poprzednim punkcie)

K(z)= $\frac{0,1263}{z - 0,8737}$

G_k(z) =   $\frac{K(z)}{1 - K(z)}$* $\frac{1}{G_{\text{OE}}(z)}$

G_K(z) = $\frac{0,1263z^{2} - 0,2403z + 0,1144}{0,001176z^{2} - 0,000039z - 0,001137}$

• Zbadanie odpowiedzi na skok jednostkowy układu po korekcji

Można zaobserwować, że zmniejszone wymagania co do odpowiedzi układu znacznie zmniejszyły amplitudę sygnału sterującego. W tym przypadku najwyższa amplituda osiągana przez sygnał sterujący wynosi ok. 100 (dla układu minimalno-czasowego amplituda ta wynosiła ponad 1500). Sterowanie jest mniej intensywne niż dla układu minimalno-czasowego. Nasuwa to wniosek, że sterowanie jest tym intensywniejsze im większe są zmiany parametrów dynamicznych i statycznych obiektu sterowanego.

1. Wyznaczenie transmitancji korektora przez zadanie biegunów transmitancji K(z), w taki sposób, aby osiągnąć założone parametry dynamiczne układu po korekcji.

Do celów projektowych założono parametry dynamiczne:

• Przeregulowanie y ≈ 0 %

• Czas ustalenia t_ust2% = 12 s

Dobranie współczynnika tłumienia n i pulsacji własnej ω_n

$${y}_{mas\%} = 100\exp\left( \frac{- \pi n}{\sqrt{1 - n^{2}}} \right) \rightarrow n = \frac{ln(\frac{100\%}{{y}_{mas\%}})}{\sqrt{\pi^{2} + \ln^{2}(\frac{100\%}{{y}_{mas\%}})}}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (4)$$

$$t_{ust2\%} = 4\frac{1}{n\omega_{n}} \rightarrow \omega_{n} = \frac{4}{t_{ust2\%}n}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (5)$$

Po podstawieniu żądanych parametrów do równań (4) i (5) otrzymano:

• Współczynnik tłumienia n = 0, 9908

• Pulsacja własna ω_n = 0, 336

Transmitancja ciągłego układu zamkniętego o zadanych parametrach

$$G_{z}\left( s \right) = \frac{\omega_{n}^{2}}{s^{2} + {2n\omega}_{n}s + \omega_{n}^{2}} = \frac{\omega_{n}^{2}}{\left( s - s_{1} \right)(s - s_{2})} = \frac{0.1129}{s^{2} + 0.67s + 0.1129}$$

Transmitancja dyskretnego układu zamkniętego o zadanych parametrach dla T_p = 0,27s

$$G_{z}\left( z \right) = \frac{0.003875z + 0.003648}{z^{2} - 1.827z + 0.8345}$$

Transmitancja korektora

$$G_{k}\left( z \right) = \frac{G_{z}\left( z \right)}{1 - G_{z}\left( z \right)} \bullet \frac{1}{G_{o}\left( z \right)} =$$

$$G_{k}\left( z \right) = \frac{{{0.003875z}^{3} - 0.003726z}^{2} - 0.003433z + 0.003304}{{0.001176z}^{3} - {0.001016z}^{2} - 0.001105z + 0.0009447}$$

Model układu:

Odpowiedź na skok układu zamkniętego o zadanych parametrach y ≈ 0 % i t_ust2% =  12 s.

Jak widać układ zachowuje się dokładnie tak jak zakładały plany projektowe. Przeregulowanie oraz czas ustalenia zgadzają się z zakładanymi.

Jednak występuje błąd ustalony, który może być spowodowany zbyt małą wartością logarytmu naturalnego, podczas obliczeń współczynnika tłumienia.

Sygnał sterujący jest najmniej intensywny z dotychczas badanych przypadków. Jego maksymalna amplituda wynosi zaledwie ok. 3,3 i bardzo szybko traci na intensywności. Korektor nie jest tak bardzo obciążany jak w poprzednich przypadkach. Tak jak w przypadku poprzedniego wykresu zauważalne jest to że wartość błędu ustalonego nie dąży do 0 i utrzymuje się na stałym poziomie ok. 0.2, co spowodowane jest złym dobraniem wartości logarytmu naturalnego.

1. Wnioski

• Przy pomocy odpowiednich obliczeń teoretycznych można wyznaczyć korektory cyfrowe, których wpływ spowoduje, że układ zamknięty osiągnie pożądane przez nas parametry dynamiczne i statyczne. W zależności od tego, jak bardzo rygorystyczne wymagania zostaną postawione dla obiektu zamkniętego, tak bardzo intensywny będzie sygnał sterujący korektora.

• Zjawisko intensywności sygnału sterującego można było zaobserwować na przykładzie przedstawionych trzech różnych przypadków. Sygnał sterujący korektora minimalno-czasowego, który miał spowodować, że odpowiedź układu będzie taka sama jak sygnał wejściowy, lecz z lekkim opóźnieniem zależnym od czasu próbkowania, był bardzo intensywny (osiągał wartości amplitudy nawet ponad 1500). Kiedy wymagania zostały znacznie zmniejszone, tzn. odpowiedź układu miała mieć czas ustalenia trzykrotnie mniejszy od obiektu bez korekcji, sygnał sterujący znacznie stracił na intensywności. Jego amplituda tutaj osiągała wartości blisko 100, co nadal jest silnym sygnałem sterującym. Dopiero dla korektora ostatniego, który miał ustalić parametry przeregulowania na poziomie 0 % oraz czasu ustalenia rzędu 12 s, sygnał sterujący był dość niski, bo osiągał wartość amplitudy ok. 3,5 i szybko spadał do wartości 1.

• Ostatni z korektorów projektowany przez zadanie biegunów układu zamkniętego (zakładający, że układ zamknięty jest obiektem 2 lub wyższego rzędu) okazał się najlepszym ze sposobów, ponieważ jego sygnał sterujący utrzymywał się na dopuszczalnym poziomie z punktu widzenia większości maszyn rzeczywistych. Mimo, że korektor drugi, który zakładał, że układ zamknięty ma być obiektem inercyjnym miał znacznie intensywniejszy sygnał sterujący.

• Należy nadmienić, że filtr projektowany przez zadanie biegunów układu zamkniętego jest tylko w przybliżeniu obiektem inercyjnym, ponieważ, jak już wspomniano wcześniej, metoda ta przeznaczona jest do projektowania układów 2 lub wyższego rzędu. Stąd przeregulowanie obiektu wynosi w przybliżeniu 0 (nie dokładnie 0) oraz współczynnik tłumienia różny od 1 (n = 0, 9908). Jednak trzeba nadmienić, że współczynnik tłumienia musi być możliwie jak najbliżej wartości 1. W ostatnich wykresach widać wyraźnie jak nawet niewielka odchyłka współczynnika tłumienia powoduje powstanie błędu ustalonego, na poziomie kilku % dla odpowiedzi układu, a w przypadku sygnału sterującego ok. 20%.

• Wartym wspomnienia jest również fakt, że przy projektowaniu korektora cyfrowego poprzez wyznaczenie jego biegunów nie mamy wpływu na zera transmitancji układu, które również wpływają na właściwości układu.

• Zanim zacznie się projektowanie korektora należy pamiętać o ocenie realizowalności układu oraz wyznaczyć odpowiedni czas próbkowania, który wyznacza się na podstawie odpowiedzi obiektu sterowanego na skok jednostkowy.