IX RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE

Równaniem różniczkowym nazywamy równanie funkcyjne, w którym występują pochodne funkcji niewiadomej

Np. 1) x * y”–3xyy’+sin(x * y)=0, gdzie funkcją niewiadomą jest y= y(x)

2) $2x\frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y} - e^{\frac{x}{y}} = 0$, gdzie funkcją niewiadomą jest f= f(x, y)

Równanie różniczkowe nazywamy zwyczajnym, gdy funkcja niewiadoma zależy od jednej zmiennej. Równanie różniczkowe nazywamy cząstkowym, gdy funkcja niewiadoma zależy od wielu zmiennych. Będziemy rozwiązywać równania różniczkowe zwyczajne. Rzędem równania różniczkowego nazywamy rząd najwyżej pochodnej funkcji niewiadomej występującej w równaniu, np. równanie 1) jest II rzędu .Rozwiązanie równania różniczkowego nazywamy całką ogólną równania. Zależy ona od tylu niezależnych stałych ile wynosi rząd równania. Jeżeli w miejscu stałych wstawimy konkretne liczby, to z całki ogólnej otrzymamy tzw. całkę szczególną równania.

Przykład. Prawo rozpadu radu polega na tym, że chwilowa prędkość rozpadu jest proporcjonalna do ilości R radu, który w danej chwili nie uległ jeszcze rozpadowi. Znaleźć zależność R od czasu t. Rozwiązanie: Prędkość: v=$\frac{\text{dR}}{\text{dt}}$ = C R, gdzie C- współczynnik proporcjonalności. W chwili początkowej t=0 ilość radu wynosi R₀ Rozwiązujemy równanie różniczkowe

(*) $\frac{\text{dR}}{\text{dt}}$ =C*R , R’(t)=C*R/ * dt

R’(t)dt=C*Rdt

R’(t)dt=dR

dR=CRdt/ : R

$\frac{\text{dR}}{R}$ =Cdt

Całkujemy obustronnie powyższe równanie $\int_{}^{}{\frac{\text{dR}}{R} = \int_{}^{}\text{Cdt}}$ Wtedy lnR = Ct + C₁ a stąd mamy R = e^{C_t + C₁} R = e^C₁ ⋅ e^C_t e^C₁ = C₂ R(t)=C₂*e^Ct- całka ogólna równania różniczkowego. Dla t=0 mamy R(0)=R0=C₂*e^C*0=C₂, czyli C₂=R₀. Zatem R(t)=R₀*e^Ct- całka szczególna równania (*)

Dla t=1600 lat mamy R(1600)= $\frac{\mathbb{R}\mathrm{0}}{2}$

Stąd $\frac{\mathbb{R}\mathrm{0}}{2}$ =R₀ e ^c*1600lat

$\frac{1}{2} = e^{c1600}$

$\ln\frac{1}{2} = \ln{(e^{c1600})}$

$c = \frac{\ln\frac{1}{2}}{1600lat} \approx - 0,000433\frac{1}{\text{rok}}$

$R\left( t \right) = R_{0}e^{- 0,000433\frac{1}{\text{rok}}t}$

Pewne typy równań różniczkowych zwyczajnych:1⁰Równanie różniczkowe o zmiennych rozdzielonych p(y)dy=q(x)dx, y=y(x) –funkcja niewymierna, przy czym funkcje p=p(y), q=q(x) są ciągłe odpowiednio na przedziałach (a,b), (c,d). Aby rozwiązać to równanie należy je obustronnie scałkować. Przykład: Rozwiązać równanie 2x²y’=y Rozwiązanie: 2x²y^′ = y |dx  2x²y’dx=y dx y^′dx = dy 2x²dy = ydx

$\frac{\text{dy}}{y} = \frac{\text{dx}}{2x^{2}}$ $\int_{}^{}\frac{\text{dy}}{y} = \int_{}^{}\frac{\text{dx}}{2x^{2}}$ $\ln\left| y \right| = \frac{1}{2}\int_{}^{}x^{- 2}\text{dx}$ $\ln{\left| y \right| = \frac{1}{2}*\frac{x^{- 1}}{- 1} + C}$ $\left| y \right| = e^{- \frac{1}{2x} + C}$ $\left| y \right| = e^{c} \bullet e^{- \frac{1}{2x}}$ e^C = C₁ > 0 (*) $y = \pm C_{1} \bullet e^{- \frac{1}{2x}} = C_{2}e^{- \frac{1}{2x}}$ $y = C_{2} \bullet e^{- \frac{1}{2x}}$ Sprawdzenie: $L = 2x^{2} \bullet C_{2} \bullet e^{- \frac{1}{2x}}\left( - \frac{1}{2}\left( x^{- 2} \right) \right) = C_{2}e^{- \frac{1}{2x}}$ P = C₂e^−2x L=P

2⁰ Równanie różniczkowe linowe niejednorodne I-rzędu

y’+ p (x)y = q(x), gdzie funkcje p = p(x), q = q(x) są ciągłe na (a,b).

1. Rozwiązujemy równanie różniczkowe liniowe jednorodne

y^′ + p(x)y = 0 y’ = - p(x)y |dx y’dx = - p(x) ydx

y’dx = dy dy =- p(x) ydx $\frac{\text{dy}}{y} = - p(x)$ $\int_{}^{}{\frac{\text{dy}}{y} = - \int_{}^{}{p\left( x \right)\text{dx}}}$ ln|y| = −∫p(x)dx + C₀ lny = C • e^−∫p(x)dx

1. Całki ogólnej równania niejednorodnego szukamy w postaci

(*) y = C(x)e^−∫p(x)dx tzw. Metoda uwzględniania całki

Wstawiając (*) do równania wyjściowego otrzymujemy C^′(x)e^−∫p(x)dx + C(x) • e^−∫p(x)dx(−p(x)) + p(x) • C(x) • e^−∫p(x)dx = q(x)

C^′(x)e^−∫p(x)dx = q(x) |e^∫q(x)dx C^′(x) = e^∫p(x)dxq(x) $C\left( x \right) = \int_{}^{}\begin{matrix} \left( q\left( x \right) \bullet e^{\int_{}^{}{p\left( x \right)\text{dx}}} \right)dx + C \\ \\ \end{matrix}$

Całka ogólna równania wyjściowego ma postać y = (∫(q(x)•e^∫p(x)dx)dx + C)•e^−∫p(x)dx

Spis treści:

1. Granice funkcji rzeczywistej jednej zmienne

5. Twierdzenie o trzech funkcjach

6. Granica jednostronna

8. Granica właściwa

10. Granica niewłaściwa

12. Twierdzenie Bolano – Cauchy

13. Ciągłość funkcji

14. Nieciągłość funkcji (I i II rodzaju)

18. Ciągłość jednostajna

23. Pochodna funkcji rzeczywistej zmiennej rzeczywistej

26. Pochodna skończona

30. Pochodne funkcji trygonometrycznych

31. Pochodne funkcji cyklometrycznych

33. Pochodne funkcji logarytmicznych

36. Tabelka podstawowych pochodnych

37. Interpretacja geometryczna i mechaniczna pochodnych

39. Pochodne funkcji przedstawionej parametrycznie

40. Różniczka

41. Konieczność i dostateczność różniczkowania

43. Interpretacja geometryczna różniczki + twierdzenie Rolle’a

45. Twierdzenie Lagrange’a

46. Twierdzenie Cauchy’ego o wartości średniej

48. Pochodne wyższych rzędów + wzór Leibnitza

49. Wzór Taylora

50. Wzór Taylora z resztą w postaci Peano

52. Ekstrema lokalne funkcji jednej zmiennej + warunek konieczny

54. Warunek dostateczny istnienia ekstremum lokalnego

58. Punkt przegięcia

61. Asymptoty

65. Wyrażenia nieoznaczone

72. Algebra wektorów

75. Macierze + działania na macierzach

76. Wyznaczniki macierzy kwadratowej

77. Własności wyznaczników + rozwinięcie Laplance’a

78. Twierdzenie 2 o posiadaniu macierzy odwrotnej + układ Crammera

79. Twierdzenie Crammera

82. Grupa

83. Ciała

84. Przestrzenie liniowe + odwzorowania

86. Iloczyn wektorowy wektorów

88. Funkcja pierwotna / Całka nieoznaczona

89. Całkowanie przez podstawienie

90. Całkowanie przez część

92. Tabelka całek + całkowanie funkcji wymiernych

96. Całkowanie funkcji niewymiernych + podstawienie Eklera

100. Całkowanie wyrażeń z funkcjami trygonometrycznymi

101. Całka oznaczona Riemanna

102. Interpretacja geometryczna całki oznaczonej + własności

102-103. Twierdzenie Newtona – Leibnitza

104. Zastosowanie całek oznaczonych + pole obszaru płaskiego

106. Objętość + Pp bocznej bryły obrotowej + długość łuku krzywej

107. Całki niewłaściwe

108. Kryterium porównawcze + zbieżności

110. Całki niewłaściwe z funkcji nieograniczonych

112. Pochodne cząstkowe funkcji

114. Twierdzenie Schwarza

115. Równania różniczkowe