Za rozwiązanie wszystkich zadań można otrzymać łącznie: 50 punktów (od redakcji: wystarczy tylko 16 punktów, aby zdać egzamin maturalny z matematyki na poziomie podstawowym)

 

                                                              ZADANIA ZAMKNIĘTE

W zadaniach od 1. do 25. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi jedną poprawną odpowiedź.

Zadanie 1. (1 pkt)
Punkty A = (1, -2), C = (4, 2) są dwoma wierzchołkami trójkąta równobocznego ABC. Wysokość tego trójkąta jest równa:

A. ,          B.  ,           C. ,           D.

Zadanie 2. (1 pkt)
Wskaż nierówność, która opisuje przedział zaznaczony na osi liczbowej.

 

A. x + 2 ≤ 3            B. x - 2 ≤ 3              C. x - 3 ≤ 2               D. x + 3 ≤ 2

 

Zadanie 3. (1 pkt)
Drut o długości 27 m pocięto na trzy części, których stosunek długości jest równy 2:3:4. Jaką długość ma najkrótsza z tych części?

A. 4,5 m                 B. 6 m                 C. 6,75 m              D. 9 m

Zadanie 4. (1 pkt)
Ile punktów wspólnych ma prosta o równaniu y = -x+2 z okręgiem o środku w początku układu współrzędnych i promieniu 2?

A. 0                  B. 1                  C. 2             D. 3

 

Zadanie 5. (1 pkt)
Liczby: 1, 3, x-11, w podanej kolejności, są pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Liczba x jest równa

A. 5                B. 9                  C. 16             D. 20

 

Zadanie 6. (1 pkt)
Na rysunku 1. jest przedstawiony wykres funkcji y = f(x).

Funkcja przedstawiona na rysunku 2. jest określona wzorem:

A. y = f(x)+2        B. y = f(x)-2        C. y = f(x-2)      D. y = f(x+2)

 

Zadanie 7. (1 pkt)
Kąt  jest ostry i . Wtedy  jest równy:

A.          B        C.       D.

Zadanie 8. (1 pkt)
Wskaż funkcję kwadratową, której zbiorem wartości jest przedział .

A. y = -2x²+2       B. y = -(x+1)^2-2           C. y = 2(x-1)²+2           D. y = (x+)^2-2

 

Zadanie 9. (1 pkt)
Liczba log36 jest równa

A. 2log18            B. log 40 - 2log 2      C. 2log 4 - 3log 2              D. 2log 6 - log1

 

Zadanie 10. (1 pkt)
Ile jest wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych, w których obie cyfry są parzyste?

A. 16                    B. 20                       C. 24                     D. 25

 

Zadanie 11. (1 pkt)
Powierzchnia boczna stożka po rozwinięciu jest półkolem o promieniu 12 cm. Podstawa tego stożka jest kołem o promieniu

A. 12 cm                 B. 6 cm                  C. 3 cm                D. 1 cm

Zadanie 12. (1 pkt)
Wyniki sprawdzianu z matematyki są przedstawione na diagramie

Mediana ocen uzyskanych przez uczniów jest równa

A. 6                 B. 5                     C. 4,5                D. 4

 

Zadanie 13. (1 pkt)
Prosta l ma równanie y = 2x-11. Wskaż równanie prostej równoległej do l.

A. y = 2x    B. y = -2x         C. y = -0,5x     D. y = 0,5x

 

Zadanie 14. (1 pkt)
Liczba rozwiązań równania  jest równa

A. 3               B. 2                   C. 1           D. 0

 

Zadanie 15. (1 pkt)
Wskaż przedział, który jest zbiorem rozwiązań nierówności

A.   (-∞, -2)         B. (-∞, 2)            C. (-2, +∞)         D. (2, +∞)

Zadanie 16. (1 pkt)
Przekątna prostopadłościanu o wymiarach 3 × 4 × 5 ma długość

A.           B.            C.          D.

Zadanie 17. (1 pkt)
Liczba x = -7 jest miejscem zerowym funkcji liniowej f (x) = (3-a)x+7 dla

A. a = -7          B. a = 2              C. a = 3                   D. a = -1

Zadanie 18. (1 pkt)
Zbiorem rozwiązań nierówności   jest

A. (-∞, -3> ∪ <3,+∞)          B. <-3, 3>            C. <-3, +∞)               D. <3,+∞)

 

Zadanie 19. (1 pkt)
Zaznaczony na rysunku kąt  jest równy

A. 50        B. 40        C. 30        D. 10      

 

Zadanie 20. (1 pkt)
Która z liczb jest rozwiązaniem równania 2(x-1)+x = x-3(2-3x)?

A.           B.        C.   
D. -1

 

Zadanie 21. (1 pkt)
Liczba 2⁴⁰ 4²⁰ jest równa

A. 4⁴⁰          B. 4⁵⁰           C. 8⁶⁰            D. 8⁸⁰⁰

Zadanie 22. (1 pkt)
Wskaż liczbę, której 4% jest równe 8.

A. 3,2                B. 32                 C. 100           D. 200

Zadanie 23. (1 pkt)
Kąt jest ostry i . Wówczas

A.       B.     C.            D. 

Zadanie 24. (1 pkt)
Trzeci wyraz ciągu geometrycznego jest równy 4, a czwarty wyraz tego ciągu jest równy (-2). Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy

A. 16               B. -16                C. 8             D. -8

Zadanie 25. (1 pkt)
Ze zbioru liczb {1,2,3,4,5,6,7,8} wybieramy losowo jedną liczbę. Liczba p jest prawdopodobieństwem wylosowania liczby podzielnej przez 3. Wtedy 

A. p < 0,3               B. p = 0,3               C. p = 1/3            D. p > 1/3

ZADANIA OTWARTE 

Rozwiązania zadań o numerach od 26. do 33. należy zapisać w wyznaczonych miejscach pod treścią zadania.

 

Zadanie 26. (2 pkt)
Dany jest ciąg (a_n) określony wzorem a_n=(-1)ⁿ  dla . Oblicz a₂ i a₅.

Odpowiedź: a₂ = ............... i a₅ = ............ .

Zadanie 27. (2 pkt)
Rozwiąż równanie x^3-12x²+x-12 = 0.

Odpowiedź: ..................................................................

Zadanie 28. (2 pkt)
Punkt E leży na ramieniu BC trapezu ABCD, w którym AB || CD. Udowodnij, że

 

Zadanie 29. (2 pkt)
Podaj przykład liczb całkowitych dodatnich a i b, spełniających nierówność

Odpowiedź: Liczby takie to np.: a = ............ i b = ............

 

 

Zadanie 30. (2 pkt)
Dany jest prostokąt o bokach a i b oraz prostokąt o bokach c i d. Długość boku c to 90% długości boku a. Długość boku d to 120% długości boku b. Oblicz, ile procent pola prostokąta o bokach a i b stanowi pole prostokąta o bokach c i d.

Odpowiedź: Pole prostokąta o bokach c i d stanowi ...... % pola prostokąta o bokach a i b.

 

Zadanie 31. (6 pkt)
Dwa pociągi towarowe wyjechały z miast A i B oddalonych od siebie o 540 km. Pociąg jadący z miasta A do miasta B wyjechał o godzinę wcześniej niż pociąg jadący z miasta B do miasta A i jechał z prędkością o 9 km/h mniejszą. Pociągi te minęły się w połowie drogi. Oblicz, z jakimi prędkościami jechały te pociągi.

 

Zadanie 32. (4 pkt)
Dane są dwa pojemniki. W pierwszym z nich znajduje się 9 kul: 4 białe, 3 czarne i 2 zielone. W drugim pojemniku jest 6 kul: 2 białe , 3 czarne i 1 zielona. Z każdego pojemnika losujemy po jednej kuli. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania dwóch kul tego samego koloru. 

Zadanie 33. (5 pkt)
Wysokość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 8. Krawędź boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 40. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Odpowiedzi do zadań zamkniętych:

1. - A

2. - A

3. - B

4. - C

5. - C

6. - B

7. - B

8. - D

9. - D

10. - B

11. - B

12. - B

13. - A

14. - C

15. - D

16. - C

17. - B

18. - A

19. - A

20. - C

21. - A

22. - D

23. - A

24. - A

25. - A

Odpowiedzi do zadań otwartych:

26. a₂= 0, a₅= 0,12

27. x = 12

28. dowód

29. np. a = 1, b = 2

30. 108%

31. 45 km/h, 54km/h

32. 19/54

33.

ZADANIA ZAMKNIĘTE

W zadaniach od 1. do 20. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi jedną poprawną odpowiedź.

 

Zadanie 1. (1 pkt)
Pole powierzchni całkowitej sześcianu jest równe 54. Objętość tego sześcianu jest równa

A. 27           B. 81              C. 243          D. 729

 

Zadanie 2. (1 pkt)
Zbiorem rozwiązań nierówności (x-2)(x+5) jest:

A.
B.
C. 
D.

  
Zadanie 3. (1 pkt)
Kąt  jest ostry i . Wtedy  jest równy

A.           B.            C.             D.

 

Zadanie 4. (1 pkt)
Okrąg opisany na trójkącie równobocznym ma promień równy 6. Wysokość tego trójkąta jest równa 

A.      B. 18         C. 9         D. 

 

Zadanie 5. (1 pkt)
Wskaż rysunek, na którym jest przedstawiony zbiór rozwiązań nierówności |x+6|>3. 

Zadanie 6. (1 pkt)
Punkty A=(-3,1) i B=(2,3) są kolejnymi wierzchołkami kwadratu. Obwód tego kwadratu
jest równy

A.       B.       C.      D.

Zadanie 7. (1 pkt)
Największą wartością funkcji kwadratowej f(x)=-2(x+3)²-4  jest

A. 3                 B. -2            C. -4            D. 4

Zadanie 8. (1 pkt)
Płyta kosztowała 80 zł, a po obniżce 60 zł. O ile procent obniżono cenę płyty?

A. 20%              B. 25%              C. 33          D. 75%

Zadanie 9. (1 pkt)
Dany jest okrąg o równaniu (x-5)²+(y+1)²=25. Długość tego okręgu jest równa

A.       B.            C.             D.

Zadanie 10. (1 pkt)
Dane są wielomiany W(x)=3x²-2x+5 oraz P(x)=x³-2x+5. Wielomian W(x) - P(x) jest równy

A. 2x³+3x²            B. 2x³-3x²          C. -2x³+3x²            D. -2x³-3x² 

  

Zadanie 11. (1 pkt)
Wyniki sprawdzianu z matematyki są przedstawione na diagramie słupkowym.

Średnia ocen ze sprawdzianu jest równa

A. 4                   B. 3,6                C. 3,5             D. 3

 

Zadanie 12. (1 pkt)
Prosta o równaniu y=5x-m+3 przechodzi przez punkt A=(4,3). Wtedy

A. m=20           B. m=14          C. m=3            D. m=0

 
Zadanie 13. (1 pkt)
Liczba (8)^{-1 .} 16⁴ jest równa

A. 8⁹              B. 2³⁶          C. 8⁷            D. 2¹³

Zadanie 14. (1 pkt)
W ciągu geometrycznym drugi wyraz jest równy (-2) a trzeci wyraz (-18). Iloraz tego
ciągu jest równy

A. -9              B. -3             C. 3             D. 9

 

Zadanie 15. (1 pkt)
Piąty wyraz ciągu arytmetycznego jest równy 17, a różnica tego ciągu jest równa (-2). Drugi wyraz tego ciągu jest równy

A. 9                B. 11            C. 23           D. 25

Zadanie 16. (1 pkt)
Ostrosłup ma 12 krawędzi. Liczba wszystkich wierzchołków tego ostrosłupa jest równa

A. 12             B. 9               C. 8              D. 7

Zadanie 17. (1 pkt)
Wysokość CD trójkąta równoramiennego ABC jest równa 8, a ramię AC ma długość 10.
Podstawa AB tego trójkąta ma długość

A. 12            B. 6              C.             D.

Zadanie 18. (1 pkt)
Punkty A, B, C, D, E, F, G, H dzielą okrąg na 8 równych łuków. Miara kąta GAD zaznaczonego na rysunku jest równa

A. 45          B. 62,5           C. 67,5           D. 75

 
Zadanie 19. (1 pkt)
Liczba log₃27 - log₂8 jest równa

A. 0              B.            C. 5           D. 19

Zadanie 20. (1 pkt)
Wybieramy jedną liczbę ze zbioru {3,4,5} i jedną liczbę ze zbioru {2,3}. Na ile sposobów można wybrać te liczby tak, aby ich suma była liczbą nieparzystą?

A. 3            B. 4          C. 5           D. 6

ZADANIA OTWARTE
Rozwiązania zadań o numerach od 21. do 31. należy zapisać w wyznaczonych miejscach pod treścią zadania.

 

Zadanie 21. (2 pkt)
Rozwiąż nierówność 3x² > 8x+3 .

Odpowiedź: .............................................................................................. .

Zadanie 22. (2 pkt)
Rozwiąż równanie 2x³-18x=0 .

Odpowiedź: .............................................................................................. .

 

Zadanie 23. (2 pkt)
Wyznacz równanie prostej przechodzącej przez początek układu współrzędnych i przez środek okręgu o równaniu x² + y² - 2x + 4y - 5 = 0. 

Odpowiedź: .............................................................................................. .

Zadanie 24. (2 pkt)
Wyznacz wartość największą i najmniejszą funkcji kwadratowej f(x)=2x²-5x+3 w przedziale <-1,2>.

Odpowiedź: .............................................................................................. .

 

Zadanie 25. (2 pkt)
Udowodnij, że jeśli k i n są liczbami naturalnymi oraz , to .

 

Zadanie 26. (2 pkt)
Punkty D i E dzielą bok BC trójkąta ABC na trzy równe części (zobacz rysunek). Wykaż,
że pole trójkąta ADE jest trzy razy mniejsze od pola trójkąta ABC.

 

Zadanie 27. (2 pkt)
Kąt  jest ostry i cos. Oblicz

Odpowiedź: .............................................................................................. .

 

Zadanie 28. (2 pkt)
Sprawdź, czy czworokąt ABCD, gdzie A=(-3,1), B=(53,-2), C=(54,4), D=(-2,3) jest równoległobokiem. Odpowiedź uzasadnij 
 

Odpowiedź: .............................................................................................. .

 

Zadanie 29. (5 pkt)
Ciąg (a,b,c) jest arytmetyczny i a+b+c=33. Ciąg (a, b+3, c+13) jest geometryczny.
Oblicz a, b i c.

Odpowiedź: .............................................................................................. .

Zadanie 30. (4 pkt)
Punkty A=(-9,-3) i B=(5,5) są wierzchołkami trójkąta prostokątnego ABC, w którym AB jest przeciwprostokątną. Wyznacz współrzędne wierzchołka C wiedząc, że leży on na osi Ox.

Odpowiedź: .............................................................................................. .

 

Zadanie 31. (5 pkt)
Za wynajęcie autobusu na wycieczkę uczniowie klasy IA mieli zapłacić 1800 złotych. Ponieważ 4 uczniów zrezygnowało z tej wycieczki, każdy z pozostałych uczniów zapłacił o 15 zł więcej. Oblicz, ilu uczniów jest w klasie IA.

Odpowiedź: .............................................................................................. .

Za rozwiązanie wszystkich zadań można otrzymać łącznie: 50 punktów (od redakcji: wystarczy 16 punktów, aby zdać egzamin maturalny z matematyki na poziomie podstawowym)

 

                                                              ZADANIA ZAMKNIĘTE

W zadaniach od 1. do 20. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi jedną poprawną odpowiedź.

Zadanie 1. (1 pkt)
Liczba 2²⁰  4⁴⁰ jest równa:

A. 2⁶⁰          B. 4⁵⁰               C. 8⁶⁰           D. 8⁸⁰⁰

Zadanie 2. (1 pkt)
Zbiór rozwiązań nierówności jest przedstawiony na rysunku:

Zadanie 3. (1 pkt)
O zdarzeniach losowych A, B wiadomo, że: P(A) = 0,5, P(B) = 0,3 i P(AB) = 0,7. Prawdopodobieństwo iloczynu zdarzeń A i B spełnia warunek:

A. P(AB)=0,2       B. P(AB)>0,3         C. P(AB)<0,2    D.  P(AB)=0,3  

Zadanie 4. (1 pkt)
Wskaż liczbę, której 6% jest równe 6.

A. 0,36               B. 3,6                   C. 10                 D. 100

Zadanie 5. (1 pkt)
Różnica miar dwóch sąsiednich kątów wewnętrznych równoległoboku jest równa 30. Kąt rozwarty tego równoległoboku jest równy:

A. 105           B. 115           C. 125         D. 135

Zadanie 6. (1 pkt)
Funkcja f jest określona wzorem . Ile miejsc zerowych ma ta funkcja?

A. 0             B. 1               C. 2              D. 3

Zadanie 7. (1 pkt)
Kąt jest ostry i . Wówczas:

A.        B.          C.          D. 

Zadanie 8. (1 pkt)
  jest równa:

A.          B. 7³          C.            D. 7²

Zadanie 9. (1 pkt)
Dana jest funkcja y = f (x) określona dla x <−1,8>, której wykres jest przedstawiony na rysunku:

Wskaż zbiór wartości tej funkcji.

A. {−1,0,1, 2,3, 4,5,6,7,8}               B. (−1, 4)                  C. <−1, 4>            D. <−1,8>

Zadanie 10. (1 pkt)
Trzeci wyraz ciągu geometrycznego jest równy 4, a piąty wyraz tego ciągu jest równy 1. Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy:

A. 4            B.            C. 16                D.

Zadanie 11. (1 pkt)
Pewien wielościan ma 6 krawędzi. Liczba jego ścian jest równa :

A. 4            B. 5                  C. 6                  D. 9

Zadanie 12. (1 pkt)
Wykres funkcji kwadratowej f (x) = (x-3)² - 2 nie ma punktów wspólnych z prostą o równaniu

A. y = −3            B. y = −1            C. y = 1             D. y = 3

Zadanie 13. (1 pkt)
Odcinki AB i CD są równoległe. Długości odcinków AB, CD i AD są podane na rysunku.

Długość odcinka DE jest równa

A. 44              B. 40            C. 36             D. 15

Zadanie 14. (1 pkt)
Wskaż równanie okręgu o środku S = (1,− 2) i promieniu r = 2 .

A. (x −1)² + (y + 2)² = 2

B. (x +1)² + (y − 2)² = 2

C. (x −1)² + (y + 2)² = 4

D. (x +1)² + (y − 2)² = 4

Zadanie 15. (1 pkt)
Równanie

A. ma dwa rozwiązania: x=-1/3, x=1

B. ma dwa rozwiązania: x=1/3, x=1

C. nie ma żadnego rozwiązania.

D. ma tylko jedno rozwiązanie: x = 1.

Zadanie 16. (1 pkt)
Suma długości wszystkich krawędzi sześcianu jest równa 24. Objętość tego sześcianu jest równa

A. 64                  B. 27                C. 24                D. 8

Zadanie 17. (1 pkt)
Ciąg (a_n) jest określony wzorem a_n=(-1)ⁿ(n²-2n) n1. Wtedy:

A. a₃>3                B. a₃=3          C. a₃<2               D. a₃=2

Zadanie 18. (1 pkt)
Liczba log12 jest równa:

A. log3log 4           B. log3 + log 4              C. log16 - log 4          D. log10 + log 2

Zadanie 19. (1 pkt)
Zbiorem rozwiązań nierówności x² > 4x jest

A. (−∞,− 4)∪(0,+∞)

B. (4,∞)

C. (− ∞,− 2)∪(2,∞)

D. (− ∞,0)∪(4,+ ∞)

Zadanie 20. (1 pkt)
Prosta l ma równanie y = −7x + 2. Równanie prostej prostopadłej do l i przechodzącej przez punkt P = (0,1) ma postać

A. y = 7x −1                B. y = 7x +1            C. y = 1/7x +1           D. y = 1/7x - 1

ZADANIA OTWARTE

Rozwiązania zadań o numerach od 21. do 29. należy zapisać w wyznaczonych miejscach pod treścią zadania.

Zadanie 21. (2 pkt)
Punkty A = (-3,-5), B = (4,-1), C = (-2,3) są wierzchołkami trójkąta równoramiennego. Oblicz długość ramienia tego trójkąta.

Odpowiedź: ...................................................................................................................

 

Zadanie 22. (2 pkt)
Rozwiąż równanie x³ − 4x² − 3x +12 = 0.

Odpowiedź: ...................................................................................................................

Zadanie 23. (2 pkt)
W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długości 2 i 4, a jeden z kątów ostrych ma miarę . Oblicz .

Odpowiedź: = ............................................................

 

Zadanie 24. (2 pkt)
Uczeń otrzymał pięć ocen: 5, 3, 6, x, 3. Średnia arytmetyczna tych ocen jest równa 4.
Oblicz x i medianę tych pięciu ocen. 

Odpowiedź: x = ..... , a mediana tych pięciu ocen jest równa ........ . 

Zadanie 25. (2 pkt)
Liczby x-2, 3, x+6 są w podanej kolejności pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Oblicz x.

Odpowiedź: x = .....

Zadanie 26. (6 pkt)
Do zbiornika o pojemności 700m³ można doprowadzić wodę dwiema rurami. W ciągu jednej godziny pierwsza rura dostarcza do zbiornika o 5m³ wody więcej niż druga rura. Czas napełniania zbiornika tylko pierwszą rurą jest o 16 godzin krótszy od czasu napełniania tego zbiornika tylko drugą rurą. Oblicz, w ciągu ilu godzin pusty zbiornik zostanie napełniony, jeśli woda będzie doprowadzana przez obie rury jednocześnie.

Zadanie 27. (4 pkt)
Rzucamy dwa razy symetryczną, sześcienną kostką, której jedna ściana ma jedno oczko, dwie ściany mają po dwa oczka i trzy ściany mają po trzy oczka. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia: liczby oczek otrzymane w obu rzutach różnią się o 1.

Zadanie 28. (5 pkt)
Podstawą ostrosłupa ABCS jest trójkąt równoboczny ABC o boku długości 8. Punkt D jest środkiem krawędzi AB , odcinek DS jest wysokością ostrosłupa. Krawędzie AS i BS mają długość 7. Oblicz długość krawędzi CS tego ostrosłupa.

Zadanie 29. (5 pkt)
Punkt M leży wewnątrz prostokąta ABCD (zob. rysunek). Udowodnij, że
|AM|² + |CM|² = |BM|² + |DM|²

r zadania	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
Odpowiedź	B	A	C	D	A	A	D	B	C	C	A	A	B	C	A	D	C	B	D	C

Odpowiedzi do zadań otwartych:

Zadanie 21: |AB|=|AC|=

Zadanie 22: x=4, x= , x=

Zadanie 23:

Zadanie 24: x=3, mediana jest równa 3

Zadanie 25: x=1

Zadanie 26: 23 godziny 20 minut

Zadanie 27:

Zadanie 28: |CS|=9

Zadanie 29: Dowód