Trębacz Paweł, gr. 12M Elektrotechnika, I rok, II st.

Obwodowe/polowe modelowanie układów elektromagnetycznych.

Wyznaczanie indukcyjności własnych i wzajemnych uzwojeń w przetworniku elektromechanicznym.

Celem ćwiczenia było wyznaczenie macierzy indukcyjności, do których dane wzięto z obliczeń w pakiecie polowym MagNet. W tym celu wykonano w programie MagNet model przetwornika elektromechanicznego w skali 2,5 i dokonano obliczeń niezbędnych wartości. Model przetwornika przedstawia rysunek poniżej.

Przetwornik ma zdefiniowane następujące materiały:

• Stojan i wirnik – ferromagnetyk liniowy MU4 o przenikalności magnetycznej μ = 10000
  i długości l = 100mm

• Szczelina – powietrze

• Żłobki – miedź o konduktywności $5,77*10^{7}\frac{S}{m}$

Cewki stojana mają liczbę zwojów równą 100, natomiast cewki wirnika – 10 zwojów. Daje
to przekładnię n = 10.

Ogólna postać macierzy indukcyjności własnych i wzajemnych wygląda następująco:

$$\begin{bmatrix} \psi_{s1} \\ \psi_{s2} \\ \psi_{r1} \\ \psi_{r2} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} L_{s1s1} & L_{s1s2} & L_{s1r1} & L_{s1r2} \\ L_{s2s1} & L_{s2s2} & L_{s2r1} & L_{s2r2} \\ L_{r1s1} & L_{r1s2} & L_{r1r1} & L_{r1r2} \\ L_{r2s1} & L_{r2s2} & L_{r2r1} & L_{r2r2} \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} i_{s1} \\ i_{s2} \\ i_{r1} \\ i_{r2} \\ \end{bmatrix}$$

Zakłada się:

L_s1s2 = L_s2s1;   L_s1r1 = L_r1s1;   L_s1r2 = L_r2s1;   L_s2r1 = L_r1s2;   L_s2r2 = L_r2s2;   L_r1r2 = L_r2r1

L_s = L_s1 = L_s2;   L_r = L_r1 = L_r2;   L_sr = L_s1r1 = L_s2r2;   L_s1s2 = L_r1r2 = 0;   L_s2r1 = L_s2r2 = 0

Zastosowanie powyższych założeń pozwala na uproszczenie macierzy indukcyjności własnych
i wzajemnych. Macierz ta przyjmuje następującą postać:

$$\begin{bmatrix} L_{s} & 0 & L_{\text{sr}} & 0 \\ 0 & L_{s} & 0 & L_{\text{sr}} \\ L_{\text{sr}} & 0 & L_{r} & 0 \\ 0 & L_{\text{sr}} & 0 & L_{r} \\ \end{bmatrix}$$

W macierzy tej otrzymano 3 wartości indukcyjności, które są nieznane. Oznaczają one kolejno:

L_s − indukcyjnosc wlasna stojana

L_r − indukcyjnosc wlasna wirnika

L_sr − indukcyjnosc wzajemna miedzy stojanem a wirnikiem

Założono prąd płynący przez cewkę 2-4 stojana (oś pozioma):

i_s1 = 5 A

Strumień uzyskany w stojanie na cewce 2-4 wynosi:

ψ_s1 = 0, 3073019818363 Wb

Indukcyjność cewki 2-4 stojana wylicza się ze wzoru:

$$L_{s} = L_{s1} = \frac{\psi_{s1}}{i_{s1}} = \frac{0,3073019818363\ Wb}{5\ A} = 0,0615H = 61,5mH$$

Założono prąd płynący przez cewkę 2-4 wirnika (oś pozioma):

i_r1 = 5 A

Strumień uzyskany w wirniku na cewce 2-4 wynosi:

ψ_r1 = 0, 003084711759027 Wb

Indukcyjność cewki 2-4 wirnika wylicza się ze wzoru:

$$L_{r} = L_{r1} = \frac{\psi_{r1}}{i_{r1}} = \frac{0,003084711759027\ Wb}{5\ A} = 0,00061694H = 0,61694mH \approx 0,62mH$$

Strumień wytworzony przez cewkę 2-4 wirnika i przenikający cewkę 2-4 stojana uzyskuje wartość:

ψ_s1r1 = 0, 03015639191424 Wb

Zatem indukcyjność wzajemną cewki 2-4 stojana i cewki 2-4 wirnika wylicza się ze wzoru:

$$L_{\text{sr}} = L_{s1r1} = \frac{\psi_{s1r1}}{i_{r1}} = \frac{0,03015639191424\ Wb}{5\ A} = 0,00603H = 6,03\text{mH}$$

Poniżej przedstawiono schematy indukcyjności uzwojeń stojana i wirnika oraz ich schemat zastępczy typu T.

Kolejnym krokiem jest sprowadzenie parametrów uzwojeń wirnika na stronę stojana. Dokonuje się tego poprzez przemnożenie wartości indukcyjności własnej wirnika przez kwadrat przekładni,
a indukcyjności wzajemnej przez przekładnię.

Przekładnia jest to stosunek liczby zwojów stojana do liczby zwojów wirnika, czyli:

$$n = \frac{N_{1}}{N_{2}} = \frac{100}{10} = 10$$

gdzie:

N₁ − liczba zwojow stojana

N₂ − liczba zwojow wirnika

Po dokonaniu mnożeń otrzymuje się wartości parametrów sprowadzonych na stronę stojana:

L_r^′ = L_r * n² = 0, 61694mH * 10² = 61, 694mH ≈ 61, 7mH

L_sr^′ = L_sr * n = 6, 03mH * 10 = 60, 3mH

W oparciu o powyższe obliczenia należy uzupełnić macierz indukcyjności, która wygląda następująco:

$$\begin{bmatrix} L_{s} & 0 & L_{\text{sr}}^{'} & 0 \\ 0 & L_{s} & 0 & L_{\text{sr}}^{'} \\ L_{\text{sr}}^{'} & 0 & L_{r}^{'} & 0 \\ 0 & L_{\text{sr}}^{'} & 0 & L_{r}^{'} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 61,5 & 0 & 60,3 & 0 \\ 0 & 61,5 & 0 & 60,3 \\ 60,3 & 0 & 61,7 & 0 \\ 0 & 60,3 & 0 & 61,7 \\ \end{bmatrix}\text{mH}$$

Powyższa metoda wyznaczania macierzy indukcyjności własnych i wzajemnych jest jedną z dwóch. Druga metoda opiera się na indukcyjnościach rozproszeń i zostanie przedstawiona poniżej.

Prąd stojana na cewce 2-4 pozostaje taki sam jak poprzednio, czyli:

i_s1 = 5 A

Zmianie ulega prąd wirnika, który przyjmuje dwie wartości:

i_r1 = i_s1 * n = 50 A lub i_r1 = −i_s1 * n = −50 A

Strumień magnetyczny cewki 2-4 stojana przyjmuje wartość:

ψ_s1 = 0, 005737861919276 Wb

Indukcyjność rozproszenia stojana oblicza się ze wzoru:

$$L_{\text{σs}} = \frac{\psi_{s1}}{i_{s1}} = \frac{0,005737861919276\ Wb}{5\ A} = 0,0012H = 1,2\text{mH}$$

Strumień magnetyczny cewki 2-4 wirnika przy prądzie i_r1 = −50 A wynosi:

ψ_r1 = −0, 0006973942585692 Wb

Indukcyjność rozproszenia wirnika oblicza się ze wzoru:

$$L_{\text{σr}} = \frac{\psi_{r1}}{i_{r1}} = \frac{- 0,0006973942585692\ Wb}{- 50\ A} = 0,000013948H = 0,013948mH = 13,948\mu H$$

Indukcyjność rozproszenia wirnika należy sprowadzić na stronę stojana, przez co otrzymuje się:

L_σr^′ = L_σr * n² = 0, 013948mH * 10² = 1, 3948mH ≈ 1, 4mH

Energia zgromadzona w polu magnetycznym dla i_r1 = i_s1 * n wynosi:

E(i_s1, i_r1=i_s1*n) = 3, 047499802131 J

Energia zgromadzona w polu magnetycznym dla i_r1 = −i_s1 * n wynosi:

E(i_s1, i_r1=−i_s1*n) = 0, 03177951150468 J

Można zatem obliczyć wartość wzajemnej indukcyjności rozproszenia cewki stojana i wirnika. Dokonuje się tego przy użyciu wzoru:

$$L_{\text{sr}} = \frac{E\left( i_{s1},\ i_{r1} = i_{s1}*n \right) - E\left( i_{s1},\ i_{r1} = {- i}_{s1}*n \right)}{2{*i}_{s1}{*i}_{r1}}$$

$$L_{\text{sr}} = \frac{3,047499802131\ J - 0,03177951150468\ J}{2*5*50} = 0,00603H = 6,03mH$$

Indukcyjności główne można obliczyć ze wzorów, które zostały podane poniżej:

L_μ = L_sr * n = 6, 03mH * 10 = 60, 3mH

L_s = L_σs + L_μ = 1, 2mH + 60, 3mH = 61, 5mH

L_r^′ = L_σr^′ + L_μ = 1, 4mH + 60, 3mH = 61, 7mH

Macierz indukcyjności własnych i wzajemnych uzyskana z obliczeń na bazie indukcyjności rozproszeń przedstawiona została poniżej:

$$\begin{bmatrix} L_{\mu} + L_{\text{σs}} & 0 & L_{\mu} & 0 \\ 0 & L_{\mu} + L_{\text{σs}} & 0 & L_{\mu} \\ L_{\mu} & 0 & L_{\mu} + L_{\text{σr}}^{'} & 0 \\ 0 & L_{\mu} & 0 & L_{\mu} + L_{\text{σr}}^{'} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 61,5 & 0 & 60,3 & 0 \\ 0 & 61,5 & 0 & 60,3 \\ 60,3 & 0 & 61,7 & 0 \\ 0 & 60,3 & 0 & 61,7 \\ \end{bmatrix}mH$$

Graficzne wyniki otrzymane w programie MagNet przedstawiono poniżej.

• Natężenie indukcji magnetycznej B – kontur

• Natężenie indukcji magnetycznej B – mapa cieniowana

• Rozkład strumienia pola magnetycznego – kontur

Ćwiczenie pokazało, że wartości indukcyjności własnych i wzajemnych można wyznaczyć bezpośrednio jak również poprzez indukcyjności rozproszenia. Wyniki otrzymane w obu metodach
są takie same, zatem metody są równoważne.