Tomasz Kowalski

Wykłady z matematyki dla studentów kierunków ekonomicznych

Wykład 4

UKŁADY CRAMERA - lista zadań

1. Znaleźć macierz X spełniającą równanie:

AX

B



, jeżeli

a)

A

B

, b)













































0 1 2
1 0 1
1 2 1

3

2
4

,

1 1

1

0 1 1

1

2

3 ,

1 0 1

2

3

3

1 1 2

A

B

















 

































.

2. Znaleźć macierz X spełniającą równanie macierzowe:

a)

, b)

5 2
7 3

1 2

3

1

2 1

3 2























 











X

3 2

1 2

1

3

3

4 3

2 3

2

4

T

X











 



 









 











 



,

c)

,

d)

.

1 2
2 3

3

2

4

3

2 1
0 3























 











X

X

X





























2

2

2

0

2 1

3 2

3. Rozwiązać metodą wyznacznikową układy równań:

a)

b)

c)

d)

.

3

2

8

3

1

x

y

x

y







   



,

.

,

.

,

.

.

,

.

2

5
1,

2

0

x

y

z

x

y

z

x

y

z

 





    





  































.

2

3

,

3

2

,

1

2

3

2

1

3

2

1

3

2

1

x

x

x

x

x

x

x

x

x





























.

0

5

3

,

1

3

2

,

2

5

4

3

z

y

x

z

y

x

z

y

x

4. Rozwiązać metodą macierzową następujące układy równań:

a)

, b)

c)

1

2

1

2

2

5

3

3

1

x

x

x

x







   



2

7,

2

3

11

x

y

x

y















1

2

3

1

2

3

1

2

3

3

2

1

2

5

3,

3

8

2

2

x

x

x

x

x

x

x

x

x





























d)





























.

2

3

,

3

2

,

1

2

3

2

1

3

2

1

3

2

1

x

x

x

x

x

x

x

x

x

5. Wykazać, że podany niżej układ równań ma dokładnie jedno rozwiązanie:

1

2

3

1

2

3

1

2

3

2

2

... 2

0,

2

2

... 2

0,

..............................................

2

2

2

...

0

n

n

n

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

.





 











 















 





6. Rozwiązać podany układ równań macierzowych:

1 1

,

0 1

1 0

2

3

0 1

X

Y

X

Y



.





 























 











Układy Cramera – lista zadań

2

2

Odpowiedzi

1.

1

A B





, a)

1

1
2

0

3

1

4

4

1

1

2

2

1

1

1

2

4

4

A

























 



















,

X

1
1
1

X

 

 

  

 

 

, b)

1

3

1

2

1

1

1

A



3

0

1
















 











,

.

1

4

5











3

5

8

2

2

4

X





 

















2. a)

, b)

, c)

9

5

21 12

X







 









28

20

29

21

X







 









6

3

8

5

X







 









, d)

8

5

13

8

X









 











.

3. a) W

W

,

11,

11,

22

x

y

W

 

 

 

1,

2.

x

y





 



b) W

W

7,

7,

0,

14

x

y

z

W

W









1

2

3

5,

5,

10,

5

W

W

 

 

 

 

,

1,

0,

2.

x

y

z





 



 



c) W

W

,

1

2

3

1,

2,

1.

x

x

x











 



d) W

W

1,

13,

8,

1

x

y

z

W

W



 

 



13,

8,

1.

x

y

z





 





,

 





4. a)

,

b)

1

1

2

A





 







3

5







14,

x



1

2

5.

x





 



1

3

2

11

11

1

3

11

11

A













 















,

2,

x

1.

y





 



c)

,

d)

1

18

10 13

7

4

5

1

1

1

A



















 













1

2

3

22,

9,

2.

x

x

x

 









  



1

0 0, 2

0, 2

1

1

1

1 0, 4

0,6

A















 











,

1

2

3

1,

2,

1.

x

x

x











 



5. Wsk. Wystarczy pokazać, że wyznacznik główny układu jest liczbą nieparzystą, a w konsekwencji
różny od zera.

6.

.

2 3

1

2

,

0 2

0

1

X

Y

































