Tomasz Kowalski
Wykłady z matematyki dla studentów kierunków ekonomicznych
Wykład 6
CIĄGI I SUMY – lista zadań
1. Obliczyć granicę ciągu o wyrazie ogólnym:
a)
2
3
2
4
n
n
a
n
, b)
n
n
n
a
2
3
, c)
4
2
5
3
n
n
n
n
a
, d)
n
n
n
a
)
4
3
(
)
2
1
(
,
e) a
n
n
n
n
2
4
4
, f ) a
n
n
n
3
3
1
2
, g) a
n
n
n
3
5
2
1
, h)
1
4
3
4
2
2
n
n
n
n
a
n
,
i)
9
)
1
3
)(
3
2
(
2
n
n
n
a
n
, j)
4
2
)
1
3
(
2
2
n
n
a
n
, k)
5
2
4
n
n
a
n
, l)
4
5
7
2
n
n
a
n
,
ł)
n
n
n
n
a
4
)
1
(
, m)
5
2
)
1
(
n
n
n
n
a
, n)
n
n
n
n
a
2
)
3
(
, o)
6
)
5
(
n
n
n
n
a
, p)
n
n
n
n
a
3
)
3
4
(
.
2. Wypisać wszystkie składniki sumy. Obliczyć tę sumę:
a)
, b)
, c)
, d)
, e)
, f)
4
2
i
i
7
1
3
i
i
3
1
2
i
i
4
1
2
k
k
6
1
)
2
3
(
k
k
5
1
1
k
k
, g)
,
h)
, i)
, j)
.
1
2
3
2
k
k
6
3
k
k
3
10
1
2
k
4
4
k
k 2
k
3. Następujące sumy zapisać w notacji „sigmowej”:
a)
, b)
9
...
3
2
1
6
1
5
1
4
1
3
1
2
1
1
, c)
7
1
6
1
5
1
4
1
3
1
, d)
32
27
22
17
12
7
,
e)
, f)
, g)
24
12
6
3
21
...
5
3
1
73
...
13
8
3
.
4. Obliczyć sumy: a)
, b)
.
100
1
)
2
3
(
k
k
50
5
)
1
2
(
k
k
5. Następujące sumy zapisać w notacji „sigmowej” oraz obliczyć wartość tych sum:
a)
, b)
1023
...
7
5
3
995
...
110
105
100
.
6. Czy następujące sumy są sobie równe?
a)
,
b)
c)
.
3
1
3
1
3
3
1
3
2
)
2
(
i
i
i
i
i
i
i
5
1
5
1
2
2
)
(
i
i
i
i
n
i
i
n
i
n
i
4
3
)
4
3
(
1
1
7. Obliczyć sumy:
a)
, b)
.
20
1
20
1
)
5
(
n
n
n
n
40
1
20
1
20
1
)
1
2
(
2
n
n
n
n
n
n
8. Niech
będzie ciągiem określonym rekurencyjnie:
( )
a
n
2
1
a
,
1
2
1
n
n
a
a
dla
. Obliczyć
sumy: a)
, b)
, c)
.
n
2
4
2
1
n
n
a
3
3
2
1
n
n
a
3
1
3
)
2
(
n
n
a
