Tomasz Kowalski

Wykłady z matematyki dla studentów kierunków ekonomicznych

Wykład 6

CIĄGI I SUMY – lista zadań

1. Obliczyć granicę ciągu o wyrazie ogólnym:

a)

2

3

2

4

n

n

a

n







, b)

n

n

n

a







2

3

, c)

4

2

5

3







n

n

n

n

a

, d)

n

n

n

a

)

4

3

(

)

2

1

(







,

e) a

n

n

n

n





2

4

4

, f ) a

n

n

n







3

3

1

2

, g) a

n

n

n







3

5

2

1

, h)

1

4

3

4

2

2











n

n

n

n

a

n

,

i)

9

)

1

3

)(

3

2

(

2









n

n

n

a

n

, j)

4

2

)

1

3

(

2

2







n

n

a

n

, k)

5

2

4







n

n

a

n

, l)

4

5

7

2







n

n

a

n

,

ł)

n

n

n

n

a

4

)

1

(





, m)

5

2

)

1

(







n

n

n

n

a

, n)

n

n

n

n

a

2

)

3

(





, o)

6

)

5

(







n

n

n

n

a

, p)

n

n

n

n

a

3

)

3

4

(







.

2. Wypisać wszystkie składniki sumy. Obliczyć tę sumę:

a)

, b)

, c)

, d)



, e)



, f)





4

2

i

i





7

1

3

i

i





3

1

2

i

i



4

1

2

k

k





6

1

)

2

3

(

k

k





5

1

1

k

k

, g)

,

h)

, i)

, j)

.









1

2

3

2

k

k





6

3

k

k

3





10

1

2

k







4

4

k

k 2

k

3. Następujące sumy zapisać w notacji „sigmowej”:

a)

, b)

9

...

3

2

1









6

1

5

1

4

1

3

1

2

1

1











, c)

7

1

6

1

5

1

4

1

3

1









, d)

32

27

22

17

12

7











,

e)

, f)

, g)

24

12

6

3







21

...

5

3

1









73

...

13

8

3









.

4. Obliczyć sumy: a)

, b)

.







100

1

)

2

3

(

k

k







50

5

)

1

2

(

k

k

5. Następujące sumy zapisać w notacji „sigmowej” oraz obliczyć wartość tych sum:

a)

, b)

1023

...

7

5

3









995

...

110

105

100









.

6. Czy następujące sumy są sobie równe?

a)

,

b)





c)

.



















3

1

3

1

3

3

1

3

2

)

2

(

i

i

i

i

i

i

i







5

1

5

1

2

2

)

(

i

i

i

i

n

i

i

n

i

n

i

4

3

)

4

3

(

1

1















7. Obliczyć sumy:

a)

 

, b)

.









20

1

20

1

)

5

(

n

n

n

n



















40

1

20

1

20

1

)

1

2

(

2

n

n

n

n

n

n

8. Niech

będzie ciągiem określonym rekurencyjnie:

( )

a

n

2

1



a

,

1

2

1







n

n

a

a

dla

. Obliczyć

sumy: a)

, b)

, c)



.

n

 2

4

2

1

n

n

a





3

3

2

1

n

n

a











3

1

3

)

2

(

n

n

a

Ciągi i sumy – lista zadań

2

Odpowiedzi

1. a) 4, b) 5, c)

4
5

 , d) 0, e) 1, f)

1
3

, g)

3
2

, h) 4, i) 6, j)

9
2

, k) 2, l) 7, ł)

, m)

, n) ,

4

e

2

e

6

e

o) , p) .

5

e

3

e

2. a)

, b)

, c)

2 3 4 9

  

3 6 9 12 15 18 21 84

  









2

2

2

1

2

3

14







, d)

,

1

2

3

4

2

2

2

2

30









e)

, f)

5 8 11 14 17 20 75

  







1 1 1 1 137

1

2 3 4 5

60

    

, g)

1

2

3

4

2

2

2

2

30









,

h) 3

4

, i)

, j)

.

3

3

3

3

64

5

6

432









10 razy

2 2 ... 2 20

   







3. a)

, b)

9

1

k

k





6

1

1

k

k





, c)

5

7

1

3

1

1

2

k

k

k

k













, d)

6

1

(5

2)

k

k







, e)

4

1

1

3 2

k

k









, f)

, g)

11

1

(2

1)

k

k







15

1

(5

2)

k

k







.

4. a)

5 302

100 15 350

2







, b)

9 99

46 2 484

2







.

5. a)

511

1

3 1023

(2

1)

511 262143

2

k

k





 







, b)

180

1

100 995

(5

95)

180 98 550

2

k

k















.

6. a) tak, b) nie

,

, c) tak.

5

2

1

55

i

i







5

2

2

1

(

)

15

225

i

i









7. a) 100, b) 0.

8.

,

,

,

1

2

a



2

5,

a



3

11

a



4

23

a



5

47

a



,

6

95

a



,

7

191

a



,

8

383

a



,

.

9

767

a



a)

, b)

2

4

6

8

5 23 95 383 506

a

a

a

a







 







1

4

7

2 23 191 216

a

a

a





 





,

c)

.

3

6

9

(

2) (

2) (

2) 13 97 769 879

a

a

a





 









