Tomasz Kowalski

Wykłady z matematyki dla studentów kierunków ekonomicznych

Wykład 7

FUNKCJE. PODSTAWOWE OKREŚLENIA I WŁASNOŚCI

1. Pojęcie funkcji. Dziedzina. Przeciwdziedzina. Wykres

Niech dane będą zbiory X i Y. Funkcją f nazywać będziemy przyporządkowanie każdemu elementowi
ze zbioru X dokładnie jednego elementu

y

ze zbioru Y . Piszemy wtedy

lub

,

.

Y

X

f



:

)

(x

f

y



X

x



Zbiór

X nazywamy dziedziną funkcji, element

X

x

 - argumentem funkcji. Element

przyporządkowany elementowi

oznaczamy

Y

y



X

x



)

(

x

f

y



i nazywamy wartością funkcji w punkcie

x .

Zbiór wszystkich wartości danej funkcji nazywamy przeciwdziedziną

.

Od tej pory zajmować się będziemy wyłącznie funkcjami, które określone są w pewnym podzbiorze
zbioru liczb rzeczywistych

R (przedziale lub sumie przedziałów), a wartości są liczbami rzeczywistymi.

Funkcję określać będziemy najczęściej za pomocą wzoru (wzorów). Jeżeli dziedzina takiej funkcji nie będzie
wyraźnie wskazana, to przyjmować będziemy, że jest nią zbiór wszystkich

x, dla których prawa strona wzoru

ma określoną wartość. Tak rozumianą dziedzinę nazywać będziemy dziedziną naturalną funkcji i oznaczać
symbolem

D lub

. Przeciwdziedzinę oznaczać będziemy przez

f

D

1



D lub

.

1



f

D

Przykład 1.

Dziedziną naturalną funkcji

3

)

(



 x

x

f

jest zbiór

)

;

3

}

0

3

:

{

















x

R

x

D

f

.

Funkcja przyjmuje każdą wartość nieujemną, zatem











;

0

1

f

D

.

Daną funkcję

f o dziedzinie naturalnej D można rozpatrywać na pewnym podzbiorze

D

A

 . Funkcję

nazywamy wtedy zredukowaną do zbioru

A i oznaczamy przez

A

f .

Uwaga. Funkcje występujące w zastosowaniach ekonomicznych są pewnymi funkcjami zredukowanymi
do zbioru wyznaczonego przez istotę rozpatrywanego zjawiska (najczęściej do przedziału

)

;

0





).

Niech

. Wykresem funkcji nazywamy zbiór punktów płaszczyzny

XOY, których współrzędne

x, y spełniają warunek:

(rys.1).

Y

X

f



:

)

(

,

x

f

y

X

x





Uwaga. W praktyce, w celu sporządzenia wykresu funkcji w pewnym przedziale (zawierającym się
w dziedzinie) wybieramy kilka punktów tego przedziału:

i obliczamy wartości funkcji:

. Następnie w układzie kartezjańskim XOY nanosimy punkty:

,

,

,

...,

i łączymy je linią.

n

x

x

x

x

...,

,

,

,

3

2

1

)

(

,

...

),

(

),

(

),

(

3

2

1

n

x

f

x

f

x

f

x

f

))

(

,

(

2

2

x

f

x

))

(

,

(

3

3

x

f

x

(x

))

(

,

(

1

1

x

f

x

))

(

,

n

n

x

f

y

f x

 ( )

P x f x

( , ( ))

x

X

Y

f x

( )

x

0

f (0)

Jeżeli liczba zero należy do dziedziny funkcji f , to punkt
o współrzędnych

)

0

(

,

0

f

y

x





jest punktem przecięcia się

wykresu z osią OY.
Rzędne punktów przecięcia się wykresu z osią OX są
równe 0



y

ązują

, odcięte (miejsca zerowe funkcji) otrzymujemy

rozwi

c równanie

0

)

(



x

f

.

Rys. 1.

Wykład 7. Funkcje. Podstawowe określenia i własności

2

Szkic wykresu funkcji

)

(x

f

y



w wielu przypadkach

stanowi podstawę do określenia zbioru rozwiązań

,

0

nierówności: 0

)

(

)

(

,

0

)

(







x

x

f

f

bądź

0

)

(

x

f



x

f

(nawet jeżeli uwzględniono na nim jedynie położenie

w

odczytujemy rozwiązanie nierównoś

Rys. 2.

. Niektóre własności funkcji liczbowych

snącą

rostem argum

się

)

(x

f

y



)

;

(

)

;

(

0

)

(















b

a

x

x

f

a

X

b

+ +

+

– –

zględem osi OX).

Na rys.2. przedstawiona została sytuacja, w której

ci 0

)

(



x

f

.

2

Niech

Y

X

f



:

będzie funkcją odwzorowującą pewien zbiór X w zbiór liczb rzeczywistych R.

Funkcję nazywać będziemy ro

w zbiorze X

, jeżeli wraz ze wz

entów zwiększają

wartości funkcji, tj. warunek:

2

1

x

x



pociąga za sobą nierówność

)

(

)

(

2

1

x

f

x

f



dla każdej pary

argumentów

1

x ,

2

x ze zbioru X. Podobnie, funkcję nazywamy maleją

biorze X

, jeżeli wraz ze

mentów zmniejszają się warto

cą w z

2

1

x

x

wzrostem

ści funkcji, tj. warunek:

argu



pociąga za sobą nierówność

żdej pary

entów

ze zbioru X.

ojęcia te zostały zilustrowane na rys.3.

)

(

2

x

f

dla ka

)

(

1

x



f

argum

1

x ,

2

x

P

Y

O

X

funkcja rosnąca

y

f x

 ( )

x

1

x

2

f x

( )

2

f x

( )

1

)

(

)

(

2

1

x

f

x

f



Y

O

X

funkcja malejąca

y

f x

 ( )

x

1

x

2

f x

( )

1

f x

( )

2

)

(

)

(

2

1

x

f

x

f



Rys. 3.

notoniczną

, jeżeli w całej swojej dziedzinie jest rosnąca lub w całej

ę nazywamy przedziałami monotoniczną, jeżeli jest w pewnych przedziałach rosnąca, malejąca

b stała.

Funkcję nazywamy (ściśle) mo

swojej dziedzinie jest malejąca.

Funkcj

lu

Przykład 2.

Zbadać monotoniczność funkcji danej wzorem: a)

5

(

3

)

 x 

x

f

, b)

2

)

(

x

x

f



.

) Funkcja jest rosnąca w zbiorze R po

x

Rozwiązanie. a

nieważ warunek

2

1

x



pociąga za sobą nierówność

ypadku post

)

(

)

(

2

1

x

f

x

f



przyjmującą w tym w

ać

5

3

5

3

2

1







x

x

.

cja jest malejąca w zbiorze

)

0

;

b) Funk

(

1







argumentów

, że )

(

)

(

1

x

f

x

f

X

ponieważ dla

2

1

, x

x

z tego zbioru w

2

1

x

x



po

ierówność

2

2

2

1

x

x



oznacz

że

)

(

)

(

2

1

x

f

x

f



. Funkcja jest rosnąca

w zbiorze

)



X

ponieważ dla

1

x

argumentów

arunek

ciąga za sobą n

ającą,

pociąga za sobą

o

oznaczającą

;

0

(

2





ść

2

2

2

1

x

x



2

, x z tego zbioru warunek

2

1

x



x

nierówn

2



.

Wykład 7. Funkcje. Podstawowe określenia i własności

3

Funkcję

nazywamy różnowartościową w zbiorze X, jeżeli różnym argumentom odpowiadają

różne wartości funkcji, tj. warunek

pociąga za sobą warunek

Y

X

f



:

2

1

x

x



)

(

)

(

2

1

x

f

x

f



dla każdej pary

argumentów ,

ze zbioru X.

1

x

2

x

Uwaga.

Każda funkcja ściśle monotoniczna jest różnowartościowa.

Przykład 3. Zbadać różnowartościowość funkcji danej wzorem

x

x

f

4

)

(

 .

Rozwiązanie.

Funkcja jest różnowartościowa w swojej dziedzinie

}

0

{

\

R

D



ponieważ z faktu, że

2

1

x

x



wynika zależność

2

1

4

4

x

x



, czyli

.

)

(

)

(

2

1

x

f

x

f



Niech

będzie funkcją odwzorowującą pewien zbiór X w zbiór liczb rzeczywistych R.

Funkcję tę nazywać będziemy ograniczoną z dołu na zbiorze X , jeżeli wartości funkcji dla argumentów

Y

X

f



:

x X

 spełniają warunek

, gdzie m jest pewną liczbą. Podobnie funkcję nazywać będziemy

ograniczoną z góry

na zbiorze X , jeżeli wartości funkcji dla argumentów

m

x

f



)

(

x X

 spełniają warunek

, gdzie M jest pewną liczbą.

M

x

f



)

(

W przypadku, gdy funkcja jest ograniczona z dołu i z góry, to nazywamy ją ograniczoną na zbiorze.

Powyższe pojęcia ilustruje rys.4.

Uwaga.

Wykres funkcji ograniczonej z dołu na zbiorze X leży powyżej pewnej prostej poziomej

m

y

 ,

dla

. Wykres funkcji ograniczonej z góry na zbiorze X leży poniżej pewnej prostej poziomej

X

x



M

y



.

Y

X

y

f x

 ( )

y=m

O

funkcja ograniczona z dołu

Y

X

y

f x

 ( )

y=M

O

funkcja ograniczona z góry

Y

X

y

f x

 ( )

y=M

y=m

O

funkcja ograniczona

Rys. 4.

Zbiór

R

D

 nazywamy symetrycznym względem zera, jeżeli warunek

D

x

 pociąga za sobą warunek

D

x



 )

(

.

Przykład 4.

Jeżeli

, to zbiory

0



a

)

;

;

(

),

;

(













a

a

a

a

są symetryczne względem zera,

a zbiór

a

a

;

(



nie.

Jeżeli zbiór D stanowiący dziedzinę naturalną funkcji f jest symetryczny względem zera oraz

)

(

)

(

x

f

x

f





x

dla każdego

, to funkcję nazywamy parzystą , jeżeli natomiast

dla każdego

, to funkcję nazywamy nieparzystą .

D

x



f

f

)

(

)

(

x

f

x

f







D



Funkcję nazywamy okresową o okresie

f

T

 0 , jeżeli warunek

D

x

 pociąga za sobą warunek

oraz

dla każdego

D

T

x



 )

(

]

)

(

)

(

x

f

T

x

f





D

x

 . Najmniejszą liczbę dodatnią T będącą okresem

funkcji okresowej nazywamy okresem podstawowym.

Wykład 7. Funkcje. Podstawowe określenia i własności

4

Wprowadzone

wyżej pojęcia zostały zilustrowane na rys.5.

-

x

x

Y

X

)

(

)

(

x

f

x

f





funkcja parzysta

Y

X

-

x

x

f x

( )

f

x

f x

(

)

( )

  

funkcja nieparzysta

x+T

Y

X

x

f x

f x T

( )

(

)





funkcja okresowa

Rys. 5.

Uwagi
1. Wykres funkcji parzystej jest symetryczny względem osi OY, funkcji nieparzystej - symetryczny
względem początku układu.
2. Istnieją funkcje, które nie są ani parzyste, ani nieparzyste. Są to funkcje, których wykresy nie spełniają
żadnego z podanych wcześniej warunków.

Przykład 5. Zbadać parzystość funkcji a)

,

b)

x

x

x

f

3

)

(

3





1

)

(

2

2





x

x

x

f

.

Rozwiązanie. a) Dziedziną funkcji jest

, czyli zbiór symetryczny względem zera.

R

D



Ponieważ

) dla każdego

(

)

3

(

)

(

3

)

(

)

(

3

3

x

f

x

x

x

x

x

f





















R

x

 , to funkcja jest nieparzysta.

b) Dziedziną funkcji jest

)

;

1

(

)

1

;

1

(

)

1

;

(



















D

, czyli podzbiór osi liczbowej symetryczny

względem zera. Jednocześnie

)

(

1

1

)

(

)

(

)

(

2

2

2

2

x

f

x

x

x

x

x

f

















dla każdego

D

x

 . Oznacza to, że

funkcja jest parzysta.

3. Funkcja odwrotna

Niech f będzie funkcją różnowartościową, której dziedziną (niekoniecznie naturalną) jest zbiór X ,
a przeciwdziedziną zbiór Y. Wówczas w zbiorze Y, można w naturalny sposób, określić funkcję
przyporządkowującą każdemu

y Y



ten jedyny

X

x

 , któremu funkcja f przyporządkowała y (rys.6).

Otrzymaną w ten sposób funkcję nazywamy funkcją odwrotną do funkcji f i oznaczamy symbolem

.

1



f

Tak więc, jeżeli

to

oraz gdy

Y

X

f



:

,

X

Y

f





:

1

y

x

f



)

(

, to

.

x

y

f





)

(

1

X

Y

1



f

f

Rys. 6.

Uwaga.

Funkcję odwrotną najczęściej zapisuje się w postaci

. Zapis ten dostosowany jest do

pewnej tradycji matematycznej, w której przyjęło się argumenty funkcji oznaczać przez x, a wartości funkcji
przez y. W praktyce oznacza to, że aby znaleźć wzór funkcji odwrotnej do funkcji danej wzorem

)

(

1

x

f

y





)

(x

f

y



(o ile funkcja odwrotna istnieje) należy we wzorze

)

(x

f

y



zamienić ze sobą zmienne x i y, a następnie

otrzymane równanie

rozwiązać względem y (albo najpierw rozwiązać równanie

względem x , a potem zamienić zmienne).

)

( y

f

x



)

(x

f

y



Wykład 7. Funkcje. Podstawowe określenia i własności

5

Przykład

6. Wyznaczyć w postaci

funkcję odwrotną do funkcji danej wzorem

)

(

1

x

f

y





3

4

2

)

(









x

x

x

f

y

.

Rozwiązanie. Zamieniając zmienne we wzorze danej funkcji otrzymujemy równanie

3

4

2







y

y

x

, którego

rozwiązaniem względem y jest

2

4

3







x

x

y

. Zatem funkcja odwrotna określona jest wzorem

2

4

3

)

(

1











x

x

x

f

y

. Zauważmy, że dziedziną danej funkcji, a tym samym przeciwdziedziną odwrotnej jest

, natomiast przeciwdziedziną danej, czyli dziedziną odwrotnej jest

.

}

3

(

\

R

D



}

2

(

\

1

R

D





Przykład

7. Wyznaczyć w postaci

funkcję odwrotną do funkcji

)

(

1

x

f

y





2

3

)

(







x

x

f

y

.

Sporządzić na jednym rysunku wykresy obu funkcji.
Rozwiązanie. Dana funkcja jest funkcją różnowartościową o dziedzinie

R

X

 i przeciwdziedzinie

R

Y

 .

Funkcja posiada więc funkcje odwrotną .

y

x





3

2

y

x



y

x





1
3

2
3

X

Y

2

2

3

2



3

2



Rys. 7.

Zamieniając zmienne we wzorze danej funkcji otrzymujemy
równanie 2

3



 y

x

, którego rozwiązaniem względem y

jest

3

2

3



x

.

1



y

Oznaczając otrzymaną funkcję przez

otrzymujemy

f

x

1

( )

3

2

3

1

)

(

1









x

y

x

f

.

Wykresy obu funkcji przedstawione zostały na rys.7.

Uwaga. Wykresy funkcji odwrotnych są symetryczne względem prostej

x

y

 .

4. Funkcje złożone

Niech

(patrz rys.38.) przy czym zbiór

R

U

g

R

X

f





:

,

:

}

)

(

:

{

0

U

x

f

X

x

X







jest niepusty.

Na zbiorze

można z pomocą funkcji f i g określić funkcję wzorem:

0

X

))

(

(

)

(

x

f

g

x

h



. Tę nową funkcję

nazywać będziemy złożeniem funkcji g i f i oznaczać symbolem

. Tak więc

f

g 

))

(

(

)

)(

(

)

(

x

f

g

x

f

g

x

h







.

0

X

U

X

R

R

R

x

u

y

f

g

f

g

h





Rys. 8.

Uwaga.

Aby obliczyć należy argument we wzorze funkcji g zastąpić wyrażeniem .

))

(

(

x

f

g

)

(x

f

Wykład 7. Funkcje. Podstawowe określenia i własności

6

Przykład 8.

Niech

będą funkcjami określonymi wzorami:

,

. Wyznaczyć funkcje

f R

R g R

R

:

,

:



g

f

f

g







)

3

)

(

2



 x

x

f

x

x

x

g

cos

)

(



f

f 

,

,

.

Rozwiązanie.

,

3

cos(

)

3

(

)

3

(

))

(

(

)

)(

(

2

2

2













x

x

x

g

x

f

g

x

f

g 

3

cos

)

cos

(

))

(

(

)

)(

(

2

2









x

x

x

x

f

x

g

f

x

g

f 

,

.

3

)

3

(

)

3

(

))

(

(

)

)(

(

2

2

2













x

x

f

x

f

f

x

f

f 

Przy wyznaczaniu dziedziny funkcji złożonej należy zapewnić spełnienie m.in. następujących warunków:

Postać funkcji

Warunek wyznaczający dziedzinę

)

(

)

(

)

(

x

u

x

p

x

f



0

)

(



x

u

)

(

)

(

x

u

x

f



0

)

(



x

u

)

(

log

)

(

x

u

x

f

a



0

)

(



x

u

)

(

arcsin

)

(

x

u

x

f



1

)

(

1







x

u

Przykład 9.

Wyznaczyć dziedzinę funkcji: a)

x

x

x

f

4

)

(

2







, b)

,

)

2

3

ln(

)

(

2

3

x

x

x

x

f







c)

2

2

)

(

2











x

x

x

x

f

.

Rozwiązanie.

0

4

X

)

4

(







x

x

y

_

+ +

_ _

Rys. 9.

) Funkcja jest określona, gdy wyrażenie logarytmowane jest dodatnie. Zatem

ewej stronie tej nierówności

u przedstawia rys.10. Na jego podstawie stwierdzam

a) Wzór określający funkcję ma sens, gdy wyrażenie

podpierwiastkowe jest nieujemne.

:

{







R

x

D

f

Rozwiązując nierówność otrzymuje
wykresu trójmianu występującego po lewej stronie tej
nierówności przedstawia rys.9. Stąd

}

0

4

2



 x

x

.

my

0

)

4

(





 x

x

. Szkic

4

;

0



f

D

.

b

}

0

2

3

:

{

2

3











x

x

x

R

x

D

f

. Rozkładając na czynniki występujący po l

)

2

)(

1

(

)

2

3

(

2

3

)

(

2

2

3



















x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

W

.

Szkic wykresu tego wielomian

y, że

wielomian dostajemy kolejno

)

;

2

(

)

1

;

0

(









f

D

.

0

1

2

X

y W x

 ( )

+

_ _

+

_ _

Rys. 10.

c) Z określenia pierwiastka kwadratowego wynika, że wyrażenie podpierwiastkowe jest nieujemne,
z określenia funkcji wymiernej, że mianownik jest różny od zera. Zatem

}

0

2

0

2

2

2







x

x

Pierwiastkami jednokrotnym

2

,

1

2

1

;

{















x

x

R

x

D

. Otrzymany układ nierówności jest w zbiorze

równoważny nierównoś

. Lewa strona tej nierówności jest wielom

}

2

{

\



R

ianem .

ci: 0

)

2

)(

2

(

2











x

x

x

i tego wielomianu są:





 x

x

oraz

2

3



x

. Na tej podstawie

sporządzamy szkic wykresu przedstawiony na rys.11.

Wykład 7. Funkcje. Podstawowe określenia i własności

7

-

2

1

2

X

y W x

 ( )

+

_ _ _

+

_ _

Zbiorem rozwiązań nierówności, a tym samym
dziedziną funkcji jest

.

)

2

;

1

2

;

(











f

D

Rys. 11.

5. Przekształcenia wykresów funkcji

Wykres funkcji powstaje z wykresu funkcji

)

(x

f

y



przez

)

(

a

x

f

y





przesunięcie o wektor

(przesunięcie wzdłuż osi OX o a jednostek)

]

0

,

[ a

A

x

f

y





)

(

przesunięcie o wektor

(przesunięcie wzdłuż osi OY o A jednostek)

]

,

0

[

A

)

( x

f

y





symetryczne odbicie względem osi OY

)

(x

f

y





symetryczne odbicie względem osi OX

)

(x

f

y



symetryczne odbicie względem osi OX tej części wykresu funkcji

, która

leży poniżej osi OX i pozostawieniu bez zmian tej części, która leży powyżej.

)

(x

f

y



Przykład 10.

Dokonując odpowiedniego przekształcenia wykresu funkcji

naszkicować wykresy

funkcji:

,

,

,

3

x

y



3

)

2

(



 x

y

3

3



 x

y

3

x

y





3

x

y



.

Rozwiązanie.

Linią przerywaną na rys.12. naszkicowano wykres danej funkcji

. Wykres funkcji

powstał z wykresu danej przez przesunięcie wzdłuż osi OX o 2 jednostki w lewo, wykres

funkcji przez przesunięcie w dół o 3 jednostki, wykres funkcji

przez symetryczne

odbicie względem osi OX, wykres funkcji

3

x

y



3

x



3

)

2

(



 x

y

 x

y

3

3



y



3

x

y



przez symetryczne odbicie względem osi OX tej części

wykresu danej funkcji, która leżała poniżej osi OX i pozostawieniu bez zmian tej części, która znajdowała
się powyżej.

]

0

;

2

[







u

–2

8

3

)

2

(



 x

y

X

Y

]

3

;

0

[







u

–3

X

Y

3

3



 x

y

X

Y

3

x

y





X

Y

3

x

y



Rys. 12.