Tomasz Kowalski
Wykłady z matematyki dla studentów kierunków ekonomicznych
Wykład 14
ZASTOSOWANIA RACHUNKU RÓŻNICZKOWEGO
FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ W EKONOMII
1. Funkcje w zagadnieniach ekonomicznych
Przykład 1. Przeprowadzić w zbiorze
)
;
c
D
badanie funkcji Tőrnquista
b
x
c
x
ax
x
T
)
(
3
przyjmując, że a, b, c są pewnymi stałymi dodatnimi.
Rozwiązanie.
Ponieważ
0
)
(
lim
3
c
T
b
x
c
x
ax
c
x
,
]
[
1
1
1
lim
lim
x
b
x
c
x
x
ax
b
x
c
x
ax
, to funkcja nie posiada
asymptoty poziomej, może jednak posiadać asymptotę ukośną prawostronną.
a
a
b
x
c
x
a
x
x
T
m
x
b
x
c
x
x
x
1
1
lim
lim
)
(
lim
3
,
b
x
c
b
ax
x
b
x
c
x
ax
mx
x
T
n
x
x
x
)
(
lim
]
[
lim
]
)
(
[
lim
3
)
(
1
)
(
lim
c
b
a
c
b
a
x
b
x
.
Prosta jest asymptotą ukośną prawostronną.
)
(
c
b
a
ax
y
Obliczając pochodną funkcji dostajemy
2
2
/
2
/
/
3
)
(
)
(
)
)(
2
(
)
(
)
(
))
(
(
b
x
acx
ax
b
x
ac
ax
b
x
acx
ax
b
x
c
x
ax
x
T
2
2
2
2
)
(
)
(
)
(
)
(
2
b
x
c
x
ab
bx
x
a
b
x
abc
abx
ax
.
Ponieważ zarówno mianownik jak i licznik wyrażenia (który jest sumą wyrażeń dodatnich) są
w rozpatrywanym zbiorze dodatnie, to otrzymana pochodna jest dodatnia i tym samym
jest rosnąca
w przedziale
T
2
)
;
c
D
.
/
2
2
//
3
)
)
(
)
(
)
(
(
))
(
(
b
x
c
x
ab
bx
x
a
x
T
4
2
4
2
2
)
(
)
)(
(
2
)
(
)
(
2
)
2
(
)
)(
2
2
(
b
x
bc
b
b
x
a
b
x
b
x
bc
bx
x
a
b
x
b
x
a
.
Druga pochodna jest dodatnia w rozpatrywanym przedziale, zatem jest wypukła.
3
T
Wykres funkcji przedstawia rys.1.
Y
b
x
c
x
ax
x
T
)
(
3
c
b+c
X
Rys. 1.
Wykład 14. Zastosowania rachunku różniczkowego w ekonomii
2
W badaniach ekonomicznych ważne znaczenie ma tzw. funkcja logistyczna opisująca popyt na nowo
wprowadzone na rynek dobro w zależności od czasu t, określona wzorem:
ct
be
a
t
f
1
)
(
,
gdzie a, c są stałymi dodatnimi,
.
1
b
Przykład 2. Przeprowadzić badanie funkcji logistycznej w zbiorze
)
;
0
D
.
Rozwiązanie. Obliczając granice na końcach przedziału dostajemy
b
a
be
a
t
f
ct
t
t
1
1
lim
)
(
lim
0
0
oraz
a
be
a
t
f
ct
t
t
1
lim
)
(
lim
. Oznacza to, że funkcja posiada asymptotę poziomą prawostronną
a
y
.
Pochodna funkcji:
)
(
)
1
(
]
)
1
(
[
)
1
(
)
(
2
/
1
/
/
c
be
be
a
be
a
be
a
t
f
ct
ct
ct
ct
2
)
1
(
ct
ct
be
abce
.
Otrzymana pochodna jest dodatnia w zbiorze D, zatem f jest rosnąca i nie posiada ekstremów.
/
2
//
)
)
1
(
(
)
(
ct
ct
be
abce
t
f
4
2
)
1
(
)
(
)
1
(
2
)
1
)(
(
ct
ct
ct
ct
ct
ct
be
c
be
be
abce
be
c
abce
3
2
4
2
)
1
(
)
1
(
)
1
(
]
2
1
)[
1
(
ct
ct
ct
ct
ct
ct
ct
ct
be
be
e
abc
be
be
be
be
e
abc
X
b
1
Y
lnb
c
+
_ _ _
h t
be
ct
( )
1
.
Znak drugiej pochodnej jest w rozpatrywanym zbiorze identyczny
jak znak funkcji
, której wykres przedstawiony jest
na rys.2.
1
)
(
ct
be
t
h
Rys. 2.
Y
X
a
a
2
a
b
1
l n b
c
Układamy tabelkę zmienności:
t
0
)
;
0
(
ln
c
b
)
;
(
ln
c
b
/
f
+
+
//
f
+ 0 –
f
a
b
1
a
2
p.p.
c
b
ln
a
Wykres funkcji przedstawiony jest na rys.3.
Rys. 3.
2. Zastosowanie rachunku różniczkowego w ekonomii
Niech
będzie funkcją oznaczającą zależność kosztów produkcji od wielkości produkcji
x.
Załóżmy, że
. Wówczas iloraz
)
(
x
K
0
x
0
,
0
x
x
x
K
x
x
K
)
(
)
(
0
0
oznacza koszt przeciętny wytworzenia
jednostki produktu przy zwiększeniu produkcji o
x
jednostek, przyjmując jako wyjściową produkcję
jednostek.
0
x
Wykład 14. Zastosowania rachunku różniczkowego w ekonomii
3
Jeżeli jest funkcją różniczkowalną, to
)
(
x
K
)
(
)
(
)
(
lim
0
/
0
0
0
x
K
x
x
K
x
x
K
x
nazywamy kosztem
krańcowym
.
Ze wzoru przybliżonego
przyjmując
x
x
K
x
K
x
x
K
)
(
)
(
)
(
0
/
0
0
1
x
otrzymujemy:
)
(
)
(
)
1
(
0
/
0
0
x
K
x
K
x
K
.
Z ostatniego wzoru wynika, że koszt krańcowy jest w przybliżeniu równy kosztowi, jaki należy ponieść, aby
zwiększyć produkcję o jednostkę.
Przykład 3.
Całkowity koszt w złotych wyprodukowania w małej fabryce w ciągu tygodnia
x artykułów
dany jest wzorem:
2
100
1
5
50
)
(
x
x
x
K
. Obliczyć
)
25
(
)
26
(
K
K
i porównać z
.
)
25
(
/
K
Rozwiązanie.
Mamy tutaj
49
,
4
)
25
100
1
25
5
50
(
26
100
1
26
5
50
)
25
(
)
26
(
2
2
K
K
.
Ponieważ
x
x
K
50
1
5
)
(
/
, to
5
,
4
2
1
5
)
25
(
/
K
. Jak widać obie wielkości różnią się nieznacznie.
W podobny sposób można interpretować pochodną w przypadku, gdy funkcja opisuje zależność dwóch
innych wielkości ekonomicznych: popyt-cena, wynagrodzenie -wydajność, utarg-ilość.
Niech
będzie funkcją oznaczającą zależność kosztów produkcji od wielkości produkcji x.
Załóżmy, że
. Wówczas iloraz
)
(
x
f
0
x
0
,
0
x
0
0
0
:
)
(
)
(
x
x
x
x
f
x
x
f
nazywamy elastycznością
przeciętną funkcji f w przedziale
x
x
0
;
i oznaczamy sym
x
0
bolem
E.
Jeżeli jest funkcją różniczkowalną, to
)
(
x
f
)
(
)
(
:
)
(
)
(
lim
0
0
0
/
0
0
0
0
x
f
x
x
f
x
x
x
x
f
x
x
f
x
nazywamy
elastycznością funkcji f w punkcie
i oznaczamy przez
.
0
x
)
(
0
x
E
Elastyczność funkcji w punkcie określa przybliżoną procentową zmianę wartości funkcji odpowiadającą
zmianie argumentu o 1%.
Przykład 4.
Obliczyć elastyczność funkcji
6
3
)
(
x
x
f
.
Rozwiązanie. Z określenia elastyczności mamy
2
3
6
3
)
(
)
(
)
(
/
x
x
x
x
x
f
x
f
x
x
E
.
Tak więc dla
elastyczność
2 . Oznacza to, że jeżeli wartość x wzrośnie o 1%, to wartość
funkcji wzrośnie o około 2%. (Tutaj wzrost argumentu funkcji o 1%, tzn. od wartości 4 do wartości 4,04
pociąga za sobą wzrost wartości funkcji od 6 do 6,12 czyli dokładnie o 2%).
4
x
)
4
(
E