Tomasz Kowalski
Wykłady z matematyki dla studentów kierunków ekonomicznych
Wykład 6
CIĄGI I SUMY
1. Ciągi liczbowe
Ciągiem nieskończonym ( krótko: ciągiem ) nazywamy funkcję f, która odwzorowuje zbiór liczb natu-
ralnych N w pewien niepusty zbiór X. Wartość
tej funkcji dla argumentu n nazywamy n-tym wyra-
zem ciągu
lub wyrazem ogólnym ciągu i oznaczamy przez
. Ciąg zapisujemy krótko w postaci
,
lub podając kilka jego początkowych wyrazów:
.
)
(n
f
a a
1
2
,
,
a
n
4
,
,..
)
(
n
a
a a
3
.
Jeżeli zamiast zbioru N rozpatrywać pewien skończony podzbiór początkowych liczb naturalnych, to
funkcję nazywamy ciągiem skończonym.
Ciąg, którego wyrazy są liczbami nazywamy ciągiem liczbowym.
Ciąg określa się najczęściej definiując jego n-ty wyraz.
Przykład 1.
Wyznaczyć cztery początkowe wyrazy ciągu o wyrazie ogólnym a)
1
2
n
n
a
n
, b)
. Rozwiązanie. Podstawiając w każdym ze wzorów kolejno
n
n
a
2
...
,
4
,
3
,
2
,
1
n
dostajemy odpowiednio
a)
...
,
9
4
,
7
3
,
5
2
,
3
1
, b)
....
,
16
,
8
,
4
,
2
.
Ciągi można również określać rekurencyjnie podając
k jego początkowych wyrazów:
oraz definiując wyraz
w zależności od
k wyrazów poprzednich.
a a a
a
k
1
2
3
, , ,...,
,
1
,
k
n
a
n
Przykład 2.
Wypisać następne trzy wyrazy ciągu określonego następująco: a)
n
a
a
a
n
n
1
1
,
2
dla
, b)
dla
.
2
n
2
1
2
1
,
1
,
1
n
n
n
a
a
a
a
a
3
n
Rozwiązanie.
a) Stosując dany wzór dla
2
n
mamy
4
2
2
2
1
2
a
a
, dla
3
n
dostajemy
7
3
4
3
2
3
a
a
,
dla otrzymujemy
4
n
11
4
7
4
3
4
a
a
. Ciąg ma więc postać:
...
,
11
,
7
,
4
,
2
.
b) Postępując podobnie mamy
2
1
1
1
2
3
a
a
a
,
3
1
2
2
3
4
a
a
a
,
5
2
3
3
4
5
a
a
a
.
Tak więc ciąg ma postać:
...
,
5
,
3
,
2
1
.
,
1
,
Przykład 3.
Wykazać, że każdy ciąg o wyrazie ogólnym postaci
, gdzie C jest dowolną
stałą, spełnia tzw. równanie rekurencyjne:
n
C
a
n
n
2
3
2
4
3
1
n
a
a
n
n
.
Rozwiązanie. Mamy tutaj
. Zatem
)
1
(
2
3
1
1
n
C
a
n
n
n
C
n
C
a
a
n
n
n
n
6
3
3
)
1
(
2
3
3
1
1
2
4
6
3
3
2
2
3
3
n
n
C
n
C
n
n
.
Przykład 4.
Wykazać, że ciąg o wyrazie ogólnym
spełnia równanie rekurencyjne:
z warunkiem początkowym
n
n
n
a
2
)
3
(
2
4
n
n
n
a
a
2
5
3
1
1
a
Rozwiązanie. Ponieważ
, to
1
1
1
2
)
3
(
2
n
n
n
a
n
n
n
n
n
n
a
a
2
3
)
3
(
6
2
)
3
(
2
3
1
1
1
n
n
n
n
n
2
5
2
3
)
3
(
6
2
2
)
3
(
6
. Ponadto
4
2
)
3
(
2
1
a
.
Wykład 6. Ciągi i sumy.
2
Ciąg
nazywamy rosnącym , jeżeli każdy następny wyraz ciągu jest większy od poprzedniego, tzn.
dla każdego
. Jeżeli natomiast każdy następny wyraz ciągu jest mniejszy od poprzedniego,
tzn.
dla każdego
, to ciąg nazywamy malejącym .
)
(
n
a
n
n
a
1
n
a
a
1
n
a
N
n
n
N
Ciągi rosnące albo malejące obejmujemy wspólnym określeniem: ciągi (ściśle) monotoniczne.
Uwaga. W praktyce badając monotoniczność ciągu warto badać różnicę
n
n
a
a
1
. Jeżeli
dla każdego
, to ciąg jest rosnący, jeżeli natomiast
0
1
n
n
a
a
N
n
0
1
n
n
a
a
dla każdego
, to ciąg jest male-
jący.
N
n
Przykład 5. Zbadać monotoniczność ciągu o wyrazie ogólnym
3
2
2
3
n
n
a
n
.
Rozwiązanie.
Mamy tutaj
1
3(
1) 2
3
5
2(
1) 3
2
5
n
n
n
a
n
n
.
Stąd
)
3
2
)(
5
2
(
5
)
3
2
)(
5
2
(
)
5
2
)(
2
3
(
)
3
2
)(
5
3
(
3
2
2
3
5
2
5
3
1
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
a
a
n
n
.
Otrzymana różnica jest dodatnia przy każdym
N
n
. Tym samym ciąg jest rosnący.
2. Ciąg arytmetyczny i ciąg geometryczny
Ciąg liczbowy
nazywamy ciągiem arytmetycznym o różnicy r, jeżeli dla każdego
)
(
n
a
n N
spełniony
jest warunek:
.
r
a
n
a
n
1
Wyraz ogólny ciągu arytmetycznego o pierwszym wyrazie i różnicy r wyraża się wzorem
1
a
.
r
n
a
a
n
)
1
(
1
Ciąg liczbowy
nazywamy ciągiem geometrycznym o ilorazie
)
(
n
a
0
q
, jeżeli dla każdego n N
speł-
niony jest warunek:
1
n
n
a
a
Wyraz ogólny ciągu geometrycznego o pierwszym wyrazie o ilorazie q wyraża się wzorem
1
a
1
1
n
n
q
a
a
.
q
.
Przykład 6.
Wyznaczyć wzór na wyraz ogólny ciągu: a)
, b)
...
,
11
,
8
,
5
,
2
...
,
27
8
,
9
4
,
3
2
,
1
,
c)
...
,
32
9
,
16
7
,
8
5
,
4
3
.
Rozwiązanie.
a) Mamy tutaj
3
...
3
4
2
3
1
2
a
a
a
a
a
a
. Dany ciąg jest ciągiem arytmetycznym o różnicy
3
r
i pierwszym wyrazie
2
1
a
. Wyraz ogólny ciągu ma więc postać:
1
3
3
)
1
(
2
n
n
a
n
.
b) W tym przypadku
3
2
...
3
4
2
3
1
2
a
a
a
a
a
a
. Oznacza to, że ciąg jest ciągiem geometrycznym o ilorazie
3
2
q
i pierwszym wyrazie
1
1
a
. Wyraz ogólny jest więc postaci:
1
)
3
2
(
n
n
a
.
Wykład 6. Ciągi i sumy.
3
c) Wyraz ogólny ciągu można zapisać w postaci
n
n
n
b
a
c
, gdzie
n
a jest n-tym wyrazem ciągu arytmetycz-
nego o pierwszym wyrazie
3
1
a
i różnicy 2
r
,
n
b jest n-tym wyrazem ciągu geometrycznego o
pierwszym wyrazie
4
1
b
i ilorazie
2
q
. Stąd
1
2
2
(
3
)
1
n
,
1
1
n
. Ostatecznie
n
a
n
2
1
2
2
2
4
n
n
b
2
n
1
2
1
2
n
n
n
c
.
3. Zachowanie się wyrazów ciągu dla dużych n
Liczbę g nazywamy granicą ciągu ( ) i piszemy
a
n
lim
n
n
a
g
, jeżeli w dowolnym otoczeniu tej liczby
leżą wszystkie wyrazy ciągu, z wyjątkiem co najwyżej skończonej ich liczby (prawie wszystkie wyrazy cią-
gu). Interpretację granicy ciągu przedstawia rys.1.
Ciąg posiadający granicę nazywamy ciągiem zbieżnym.
Uwaga.
Jeżeli dla każdego
0
istnieje liczba naturalna
, taka że
0
n
g
a
n
dla
, to
.
0
n
n
lim
n
n
a
g
Rys. 1
Tu leżą prawie wszystkie wyrazy ciągu
g
1
a
2
a
3
a
4
a
0
n
a
g
g
Niektóre granice wykorzystywane w teorii ciągów
Granice Przykłady
Jeżeli c jest stałą, to lim c c
n
.
lim
, lim
, lim
0 0
1 1
2
2
n
n
n
Jeżeli
k jest stałą dodatnią, to lim
n
k
n
1
0 .
lim
, lim
, lim
, lim
n
n
n
n
n
n
n
n
1
0
1
0
1
0
1
0
2
3
Jeżeli
q jest stałą z przedziału
, to
.
(
; )
1 1
0
lim
n
n
q
lim( )
, lim(
)
, lim( )
n
n
n
n
n
n
1
2
0
1
5
0
3
4
0
Jeżeli
a jest stałą dodatnią, to
1
lim
n
n
a
.
lim
, lim
, lim
n
n
n
n
n
n
2 1
5 1
2
5
1
lim
n
n
n
1 .
e
n
n
n
)
1
1
(
lim
.
Twierdzenie.
Jeżeli
b
b
a
a
n
n
n
n
lim
i
lim
, to
1. lim(
)
n
n
n
a
b
a
b
,
2. lim(
)
n
n
n
a b
a b
,
0
,
dla
0
ile
o
=
lim
.
3
b
N
n
b
b
a
b
a
n
n
n
n
.
Przykład 7.
Obliczyć granice: a)
n
n
n
2
2
lim
, b)
n
n
n
5
3
1
lim
2
, c)
n
n
n
n
4
)
1
(
lim
.
Wykład 6. Ciągi i sumy.
4
Rozwiązanie.
a)
2
1
1
2
lim
lim
2
lim
2
lim
2
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
. b)
0
0
9
0
)
5
3
(
9
)
5
1
(
lim
5
3
1
lim
]
[
2
n
n
n
n
n
n
.
c)
4
4
4
]
)
1
1
[(
lim
)
1
(
lim
e
n
n
n
n
n
n
n
.
Ciąg nazywamy rozbieżnym do plus nieskończoności i piszemy
n
n
a
lim
, jeżeli od dowolnej licz-
by M większe są prawie wszystkie wyrazy ciągu (rys.2).
Uwaga. Jeżeli dla każdego M istnieje liczba naturalna
, taka że
dla
, to
0
n
M
a
n
0
n
n
n
n
a
lim
.
Rys. 2
Tu leżą prawie wszystkie wyrazy ciągu
M
1
a
2
a
3
a
4
a
0
n
a
Podobnie, ciąg nazywamy rozbieżnym do minus nieskończoności i piszemy
, jeżeli od do-
wolnej liczby M mniejsze są prawie wszystkie wyrazy ciągu.
n
n
a
lim
O ciągu rozbieżnym do plus lub minus nieskończoności mówimy, że ma granicę niewłaściwą
Niektóre granice niewłaściwe w teorii ciągów
Granice Przykłady
Jeżeli k jest stałą dodatnią, to
.
k
n
n
lim
n
n
n
n
n
n
n
n
lim
,
lim
,
lim
,
lim
3
2
.
Jeżeli q jest stałą większą od 1, to
.
n
n
q
lim
n
n
n
n
n
n
)
2
(
lim
,
3
lim
,
2
lim
.
Przytoczymy teraz pewne twierdzenia podające niektóre związki między granicami właściwymi i niewła-
ściwymi.
Twierdzenie. Jeżeli (
jest ciągiem, dla którego
)
a
n
n
n
a
lim
, to
0
1
lim
n
n
a
.
Uwaga. Twierdzenie to będziemy stosować w następującej postaci symbolicznej:
0
1
]
[
lub bardziej
ogólnie
0
]
[
a
(a oznacza dowolną granicę właściwą,
- granicę niewłaściwą).
Twierdzenie. Jeżeli (
jest ciągiem zbieżnym do granicy a, natomiast
- ciągiem rozbieżnym do
, to
)
a
n
)
(
n
b
)
(
lim
)
(
lim
n
n
n
n
n
n
b
a
b
a
,
.
Uwaga. Zapis powyższych warunków w postaci symbolicznej:
,
.
]
[
a
]
[
a
Inne twierdzenia zapisane w podobny sposób:
,
]
[
.
0
gdy
,
,
0
gdy
,
)
(
]
[
a
a
a
Wykład 6. Ciągi i sumy.
5
Następującym symbolom utworzonym w podobny sposób, jak w powyższych uwagach, nie moż-
na przypisać jednoznacznej wartości:
]
[
]
[
]
[
]
[
]
[
]
[
]
[
0
0
,
0
,
1
,
,
0
,
0
0
,
.
Symbole te nazywamy nieoznaczonymi.
Uwaga.
Jeżeli w trakcie obliczeń symbolicznych w rachunku granic wystąpią symbole nieoznaczone, to wy-
rażenie należy odpowiednio przekształcić, aby usunąć nieoznaczoność.
Przykład 8. Obliczyć granice: a)
5
2
3
lim
n
n
n
, b)
5
2
4
6
lim
2
2
n
n
n
n
, c)
3
5
7
lim
2
n
n
n
,
d)
1
3
2
3
2
lim
n
n
n
n
, e)
1
2
5
2
lim
2
n
n
n
.
Rozwiązanie. We wszystkich tych przykładach przy próbie bezpośredniego obliczenia granicy otrzymujemy
symbol nieoznaczony
]
[
. W celu usunięcia nieoznaczoności wystarczy licznik i mianownik każdego
z ułamków podzielić przez takie wyrażenie, które zadecydowało o rozbieżności danego mianownika.
a)
3
1
3
1
3
lim
5
2
3
lim
5
2
]
[
n
n
n
n
n
n
, b)
4
2
6
2
2
8
lim
5
2
2
4
8
lim
2
2
2
2
5
4
]
[
n
n
n
n
n
n
n
n
,
c)
7
1
7
1
7
lim
1
5
7
lim
)
1
(
5
7
lim
3
5
7
lim
2
2
2
2
2
3
5
3
3
]
[
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
,
d)
2
)
(
1
)
(
2
lim
1
3
2
3
2
lim
3
1
3
2
]
[
n
n
n
n
n
n
n
, e)
4
)
(
1
4
lim
1
2
5
2
4
lim
1
2
5
2
lim
2
1
2
5
]
[
2
n
n
n
n
n
n
n
n
n
.
e
a
n
a
n
n
)
1
1
(
lim
n
n
a
lim
Jeżeli jest dowolnym ciągiem takim, że
)
(
n
a
, to
.
Przykład 9. Obliczyć granice: a)
n
n
n
n
3
)
5
(
lim
, b)
n
n
n
n
4
)
2
3
(
lim
.
Rozwiązanie.
a)
15
15
5
5
3
3
)
1
1
(
lim
)
5
1
(
lim
)
5
(
lim
e
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
.
Wykład 6. Ciągi i sumy.
6
b)
4
8
12
8
2
2
12
3
3
4
4
4
1
1
1
1
lim
1
1
lim
lim
)
2
3
(
lim
2
3
2
3
e
e
e
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
.
4. Sumy skończone
Niech
będzie dany dowolny ciąg, którego wyrazy są liczbami (lub funkcjami liczbowymi). Sumę
wyrazów tego ciągu oznaczamy symbolem
i czytamy: „suma
od
n
a
a
a
a
...
3
2
1
n
k
k
a
1
k
a
1
k
do
”.
n
k
Litera k występująca w symbolu
nazywa się wskaźnikiem sumacyjnym lub wskaźnikiem bieżącym.
n
k
k
a
1
Uwaga.
Aby obliczyć wartość sumy
dla jakiejkolwiek wartości n należy zamiast wskaźnika su-
macyjnego podstawić kolejno
i obliczyć sumę powstałych w ten sposób wyrazów
.
n
k
k
a
1
n
...,
,
3
,
2
,
1
n
a
a
a
a
...,
,
,
,
3
2
1
Przykład 10.
Obliczyć sumy: a)
, b)
5
1
2
k
k
4
1
2
1
k
k
, c)
, d)
6
1
)
1
3
(
k
k
5
1
2
k
k
k
.
Rozwiązanie.
a)
55
25
,
16
9
4
1
5
4
3
2
1
2
2
2
2
2
5
1
2
k
k
b)
20
19
57 ,
60
60
10
12
15
20
6
1
5
1
4
1
3
1
2
1
4
1
k
k
c)
57
17
,
6
1
14
11
8
5
2
)
1
3
(
k
k
d)
32
57
5
.
32
8
12
16
16
32
5
16
4
8
3
4
2
2
1
2
5
1
k
k
k
Uwaga.
Wybór litery oznaczającej wskaźnik sumacyjny nie jest istotny. Symbole
,
ozna-
czają to samo. Na przykład
.
n
k
k
a
1
n
j
j
a
1
21
6
5
4
3
2
1
6
1
6
1
j
k
j
k
Jeżeli (
) jest ciągiem arytmetycznym, to suma n początkowych wyrazów tego ciągu wyraża się
wzorem:
a
n
n
a
a
n
2
1
.
S
n
Wykład 6. Ciągi i sumy.
7
Przykład 11. Sumę 122
...
10
6
2
zapisać używając symbolu
, a następnie obliczyć wartość
tej sumy.
Rozwiązanie. Jest to suma wyrazów ciągu arytmetycznego, dla którego
4
,
2
1
r
a
. Wyraz ogólny ciągu
ma więc postać: 2
4
4
)
1
(
2
n
n
a
n
. Ponieważ 31
122
2
4
n
n
, to dana suma zawiera 31 wy-
razów. Mamy zatem
1922
31
2
122
2
31
2
)
2
4
(
31
1
31
1
a
a
k
122
...
10
6
2
k
.
Jeżeli (
) jest ciągiem geometrycznym o pierwszym wyrazie i ilorazie q, to suma n początko-
wych wyrazów tego ciągu wyraża się wzorem:
a
n
1
a
1
1
gdy
1,
1
gdy
1.
1
n
n
na
q
S
q
a
q
q
Przykład 12. Sumę
1024
1
...
4
1
2
1
1
2
zapisać używając symbolu
, a następnie obliczyć war-
tość tej sumy.
Rozwiązanie. Jest to suma wyrazów ciągu geometrycznego, w którym
2
1
,
2
1
q
a
. Wyraz ogólny ciągu
ma więc postać:
2
1
)
2
1
(
)
2
1
(
2
n
n
n
a
. Ponieważ
12
)
2
1
(
1024
1
2
n
n
, to dana suma zawiera 12 wy-
razów. Tym samym
1024
4095
)
4096
1
1
(
4
1
)
(
1
2
1
1
)
2
1
(
1024
1
...
4
1
2
1
1
2
2
1
2
1
12
12
1
1
2
k
n
k
q
q
a
.
W analogiczny sposób jak sumy
określamy sumy ogólniejsze:
,
n
k
k
a
1
q
p
p
p
q
p
k
k
a
a
a
a
a
...
2
1
gdzie p jest dowolną liczbą całkowitą, q - liczbą całkowitą nie mniejszą niż p.
Przykład 13.
Obliczyć sumy: a)
, b)
3
2
)
1
(
k
k
8
4
3
1
k
k
, c)
4
0
1
1
2
k
k
k
.
Rozwiązanie. a)
, b)
9
4
3
2
1
0
1
)
1
(
3
2
k
k
60
137
5
1
4
1
3
1
2
1
1
3
1
8
4
k
k
,
c)
60
463
5
9
4
7
3
5
2
3
1
1
1
2
4
0
k
k
k
.
Własności sum skończonych
Dla dowolnych liczb całkowitych n, p, q takich, że p q n
oraz dowolnej liczby c zachodzą wzory:
1.
.
2.
. 3.
k
a
.
n
p
k
k
n
p
k
k
a
c
ca
n
p
k
k
n
p
k
n
p
k
k
k
k
b
a
b
a
)
(
1
q
n
n
k
k
k p
k p
k q
a
a
Wykład 6. Ciągi i sumy.
8
5. Szeregi (sumy nieskończone)
Sumę postaci
nazywamy szeregiem o wyrazie ogólnym
a
.
...
...
3
2
1
1
n
n
n
a
a
a
a
a
n
Jeżeli suma ta jest liczbą skończoną, to szereg nazywamy zbieżnym , w przeciwnym wypadku szereg na-
zywamy rozbieżnym.
Uwaga.
Aby wyznaczyć sumę szeregu należy obliczyć najpierw tzw. sumę częściową:
, a następnie obliczyć granicę
lim
.
n
k
k
n
n
a
a
a
a
a
S
1
3
2
1
...
n
n
S
Przykład 14.
Zbadać zbieżność szeregu
...
)
1
(
1
...
12
1
6
1
2
1
)
1
(
1
1
n
n
n
n
n
.
Rozwiązanie
. Obliczmy najpierw sumę częściową
n
k
n
k
k
S
1
)
1
(
1
. Ponieważ
1
1
1
)
1
(
1
k
k
k
k
, to
S
k
k
n
k
n
(
)
1
1
1
1
1
1
1
)
1
1
1
(
)
1
1
1
(
...
)
4
1
3
1
(
)
3
1
2
1
(
)
2
1
1
(
n
n
n
n
n
.
(Wynik ten uzyskujemy po opuszczeniu nawiasów i wykonaniu redukcji wyrazów).
Mamy zatem
1
)
1
1
1
(
lim
lim
n
S
n
n
n
. Badany szereg jest zbieżny i jego suma jest równa
.
1
S
Szereg postaci:
nazywamy szeregiem geometrycz-
nym
o ilorazie q i początkowym wyrazie
...
...
1
1
3
1
2
1
1
1
1
1
1
n
n
n
q
a
q
a
q
a
q
a
a
q
a
0
1
a
.
Szereg geometryczny
jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy
1
1
1
n
n
q
a
1
1
q
.
q
a
S
1
1
Jego suma jest wtedy równa
.
Przykład 17. Który z podanych szeregów geometrycznych jest zbieżny? Obliczyć jego sumę.
a)
1
)
3
1
(
4
n
n
, b)
1
)
2
(
n
n
, c)
1
)
5
2
(
5
n
n
.
Rozwiązanie. a) Jest to szereg geometryczny o ilorazie
3
1
q
. Szereg jest więc zbieżny. Ponieważ
3
4
1
a
,
to
q
S
1
1
a
3
2
3
4
3
1
1
3
4
2
q
2
. b) Szereg jest rozbieżny, ponieważ jego iloraz
.
c) Iloraz szeregu jest równy
5
q
2
. Szereg jest zbieżny i jego suma wynosi
7
10
2
1
2
1
5
7
5
2
1
q
a
S
.
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
FiR matma w2N
FiR Matma w7 2011
FiR matma 11
FiR matma L6
FiR matma L4
FiR matma 07
FiR matma L7 8
FiR matma L13 id 172577 Nieznany
FiR matma w10 2011
FiR matma 5 id 172575 Nieznany
FiR matma 14
FiR matma w11N
FiR matma L3
FiR matma 4 id 172574 Nieznany
FiR matma L14
FiR matma 08
FiR matma 13
FiR matma L2
FiR matma 09
więcej podobnych podstron