Tomasz Kowalski

Wykłady z matematyki dla studentów kierunków ekonomicznych

Wykład 13

ZASTOSOWANIE RACHUNKU RÓŻNICZKOWEGO

FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ - lista zadań

1. Zbadać funkcję i sporządzić jej wykres:

a)

, b)

4

3

4

)

(

x

x

x

f





1

4

)

(







x

x

x

f

, c)

3

10

6

)

(

2









x

x

x

x

f

, d)

2

2

)

1

(

1

)

(







x

x

x

f

, e)

2

3

)

1

(

)

(





x

x

x

f

,

f)

, g)

x

e

x

x

f







)

3

(

)

(

x

e

x

f

1

)

(



, h)

x

xe

x

f

1

)

(



, i)

, j)

.

x

x

x

f

ln

)

(

2



x

x

x

f

ln

2

)

(





2. Wyznaczyć najmniejszą i największą wartość funkcji f na przedziale I:

a)

4

;

1

,

6

2

5

3

1

)

(

2

3









I

x

x

x

x

f

, b)

6

;

3

),

2

3

(

12

)

3

2

(

)

(

2













I

x

x

x

x

f

,

c)

3

2

( )

3 ,

2;2

f x

x

x

I





 

, d)

2

2

1

( )

,

1;2

1

x

f x

I

x





 



, e)

2

( ) ln(

8

30),

3;6

f x

x

x

I









.

Odpowiedzi

1. a)

R

D

 . Asymptot wykres nie posiada. Wykres przechodzi przez początek układu współrzędnych.

Tabelka zmienności:

x

)

0

;

(



0

)

2

;

0

(

2

)

3

;

2

(

3

)

4

;

3

(

4

)

;

4

(





/

f

+ 0

+

+

+ 0

–

– –

//

f

–

0 + 0 – – – –

–

f





0

p.p

.

16

p.p

..

27

max.

0





b)

) . Prosta

jest asymptotą pionową obustronną.

;

1

(

)

1

;

(











D

1



x

Prosta

x

y

 jest asymptotą ukośną obustronną. Miejsca zerowe funkcji:

2

17

1

1





x

,

2

17

1

2





x

.

x

)

;

(

1

x



x

1

)

0

;

(

1

x

0

)

1

;

0

(

1

)

;

1

(

2

x

x

2

)

;

(

2





x

/

f

+ + + + + X + + +

//

f

+ + + + + X – –

–

f





0

4





X

X
X





0





Wykres funkcji:

y

x

x





4

3

4

Y

X

27

16

2

3 4

Zastosowanie rachunku różniczkowego funkcji jednej zmiennej – lista zadań

2

Wykres funkcji:

Y

X

x

1

x

2

1

4

)

(







x

x

x

f

1

4

c) . Prosta

jest asymptotą pionową obustronną wykresu funkcji.

)

;

3

(

)

3

;

(











D

3



x

Prosta

jest asymptotą ukośną obustronną.

3



 x

y

x

)

0

;

(



0

)

2

;

0

(

2

)

3

;

2

(

3

)

4

;

3

(

4

)

;

4

(





/

f

+ + + 0

–

X

–

0 +

//

f

–

–

–

–

–

X + + +

f





3

10



- 2

max.





X
X
X
X





min.

2





Wykres funkcji:

2

Y

X

3

10

6

)

(

2









x

x

x

x

f

3



 x

y

3 4

2

-2

3

10



d) )

;

1

(

)

1

;

(















D

. Prosta

1





x

jest asymptotą pionową obustronną wykresu funkcji.

x

)

1

;

(





-1

)

0

;

1

(



0

)

1

;

0

(

1

)

2

;

1

(

2

)

;

2

(





/

f

+ X – –

–

0 +

+ +

//

f

+

X

+

+ + + + 0 –

f





1

X
X
X
X





1

min.

2

1

p.p

9

5

1

Zastosowanie rachunku różniczkowego funkcji jednej zmiennej – lista zadań

3

Wykres funkcji:

1

Y

X

–1

1

2

2

1

2

2

)

1

(

1

)

(







x

x

x

f

e) . Prosta

jest asymptotą pionową obustronną wykresu funkcji. Prosta

jest asymptotą ukośną obustronną.

)

;

1

(

)

1

;

(











D

2



 x

1



x

y

x

)

0

;

(



0

)

1

;

0

(

1

)

3

;

1

(

3

)

;

3

(





/

f

+ 0 + X

–

0 +

//

f

–

0 + X + +

+

f





0

p.p.



X
X
X
X



27

4

min.





Wykres funkcji:

2

Y

3

1

4

27

X

2

3

)

1

(

)

(





x

x

x

f

f)

R

D

 . Funkcja posiada asymptotę poziomą prawostronną

0



y

.

x

)

3

;

(





-3

)

2

;

3

(





-2

)

1

;

2

(





-1

)

0

;

1

(



0

)

;

0

(





/

f

+ + + 0

–

–

–

– –

//

f

–

–

–

–

–

0 + + +

f





0

2

e

max.

2e

p.p.

3

0

Zastosowanie rachunku różniczkowego funkcji jednej zmiennej – lista zadań

4

Wykres

funkcji:

Y

X

x

e

x

x

f







)

3

(

)

(

2e

e

2

-

3 - 2 -1

g) . Prosta

jest asymptotą pionową prawostronną wykresu funkcji.

)

;

0

(

)

0

;

(











D

0



x

Wykres posiada asymptotę poziomą obustronną o równaniu

1



y

.

Wykres funkcji:

x

)

;

(

2

1







1
2

)

0

;

(

2

1



0

)

;

0

(





/

f

+ +

X

–

//

f

– –

X

–

f

1

2

1

e

p.p

0

X
X

.X

X

X

x

e

x

f

1

)

(





1
2

1

2

e

1

Y





1

h)

.

)

;

0

(

)

0

;

(











D

Prosta

jest asymptotą pionową prawostronną. Prosta

0



x

1



 x

y

jest asymptotą ukośną obustronną.

x

)

0

;

(



0

)

1

;

0

(

1

)

;

1

(





/

f

+ X – 0 +

//

f

–

X + + +

f

0





X
X
X
X



e

min.

Wykres funkcji:

Y

1

X

x

xe

x

f

1

)

(



e

1

1



 x

y



Zastosowanie rachunku różniczkowego funkcji jednej zmiennej – lista zadań

5

i) . Wykres nie posiada asymptot.

)

;

0

(







D

x

)

;

0

(

1

e

e

1

e e

)

;

(

1

1

e

e

e

1

e

)

1

;

(

1

e

e

1

)

;

1

(





/

f

– – – 0 + + +

//

f

–

0 + + + + +

f

0

3

2

3

e



p.p.

min.



1

2e

0



Wykres funkcji:

Y

1

e

e

1

X

x

x

x

f

ln

)

(

2



e

1

j) . Prosta

jest asymptotą pionową prawostronną.

)

;

0

(







D

0



x

Wykres funkcji:

x

)

2

;

0

(

2

)

;

2

(





/

f

– 0 +

//

f

+ +

f

Y

X

x

x

x

f

ln

2

)

(





2 - 2ln2

2





2

ln

2

2



min.

2. a)

)

1

(

6

23

),

4

(

3

16

f

m

f

M









, b)

)

3

(

57

),

6

(

132

f

m

f

M











,

c)

)

2

(

20

),

0

(

0













f

m

f

M

, d)

)

0

(

1

),

2

(

5

3

f

m

f

M











,

e) )

4

(

14

ln

),

6

(

18

ln

f

m

f

M









.