Tomasz Kowalski

Wykłady z matematyki dla studentów kierunków ekonomicznych

Wykład 10

ASYMPTOTY WYKRESU FUNKCJI

1. Asymptoty pionowe

Prostą

jest asymptotą pionową (obustronną) jeżeli obie granice:

0

x

x



0

lim ( )

x

x

f x





oraz

0

lim ( )

x

x

f x





są

niewłaściwe.
Jeżeli dokładnie jedna z powyższych granic jest niewłaściwa, to prosta

0

x

x



jest asymptotą pionową

jednostronną. Precyzyjniej:

1. Jeżeli

albo

0

lim ( )

x

x

f x





 

0

lim ( )

x

x

f x





  , to prosta

0

x

x



jest asymptotą pionową lewostronną.

2. Jeżeli

albo

0

lim ( )

x

x

f x





 

0

lim ( )

x

x

f x





  , to prosta

0

x

x



jest asymptotą pionową prawostronną

Ilustrację jednostronnych asymptot pionowych przedstawia rys. 1.

Prosta

0

x

x



jest asymptotą pionową lewostronną

Y

X

0

x

)

(x

f

y











)

(

lim

0

x

f

x

x

Prosta

0

x

x



jest asymptotą pionową prawostronną

Y

X

0

x

)

(x

f

y











)

(

lim

0

x

f

x

x

Rys. 1.

Twierdzenie. Funkcja elementarna może mieć asymptotę pionową tylko w skończonym krańcu
dziedziny, który do niej nie należy.

Przykład 1. Wyznaczyć asymptoty pionowe funkcji a)

2

)

3

(

1

)

(





x

x

f

, b)

2

)

(

2





x

x

x

f

.

Rozwiązanie.
a) Ponieważ

, to obliczamy granice:

}

3

{

\

R

D

f



2

3

1

1

lim

(

3)

0

[ ]

x

x









 



 oraz

2

3

1

1

lim

(

3)

0

[ ]

x

x









 



.

Oznacza to, że prosta

jest asymptotą pionową wykresu danej funkcji. Wykres funkcji w sąsiedztwie

punktu

przedstawia rys.2.

3



x

3

0



x

b) . Obliczając granice jednostronne funkcji w punkcie

}

2

{

\

R

D

f



2

0



x

otrzymujemy:













]

[

0

4

2

lim

2

2

+

x

x

x

,













]

[

0

4

2

lim

2

2

-

x

x

x

.

Wykład 10. Asymptoty wykresu funkcji

2

Oznacza to, że prosta

jest asymptotą pionową obustronną. Asymptota oraz wykres funkcji

w sąsiedztwie punktu

zostały przedstawione na rys.3.

2



x

2

0



x

X

f x

x

( )

(

)





1

3

2

Y

3

Rys. 2.

X

2

)

(

2





x

x

x

f

Y

2

Rys. 3.

Uwaga. Jeżeli , to z tego nie należy wnioskować, że prosta

}

{

\

0

x

R

D

f



0

x

x



jest asymptotą

pionową.

Przykład 2.

Wyznaczyć asymptoty pionowe funkcji

1

2

)

(

2









x

x

x

x

f

.

X

1

2

)

(

2









x

x

x

x

f

Y

1

3

Rys. 4.

Rozwiązanie. Mamy tutaj

}

1

{

\

R

D

f



. Jednocześnie

3

2)

(

lim

1

2

)(

1

(

lim

1









x

x

x

)

0

0

1

2

lim

1

2

1

]

[





















x

x

x

x

x

x

x

.

Oznacza to, że wykres funkcji nie posiada asymptot pionowych.
Wykres funkcji w sąsiedztwie punktu

1

0



x

(równej

2

)

(



 x

x

g

) przedstawia rys.4.

2. Granice właściwe funkcji w nieskończoności. Asymptoty poziome

Niech

f

będzie funkcją określoną w przedziale

)

;

(





a

.

Jeżeli dla każdego ciągu o wyrazach należących do przedziału

)

(

n

x

)

;

(





a

i rozbieżnego do



 , ciąg

wartości funkcji

jest zbieżny do

))

(

(

n

x

f

g

, to mówimy, że funkcja

f

posiada w

granicę g

.

Zapisujemy wówczas

.





g

x



)

f



(

lim

x



Podobnie, niech

f

będzie funkcją określoną w przedziale

)

;

(

a



.

Jeżeli dla każdego ciągu o wyrazach należących do przedziału

)

(

n

x

)

;

(

a



i rozbieżnego do

, ciąg

wartości funkcji

jest zbieżny do





))

(

(

n

x

f

g

, to mówimy, że funkcja

f

posiada w

granicę g

zapisujemy

).





g

x

f



)

(

x





lim

Prostą

g

y

 nazywamy asymptotą poziomą prawostronną jeżeli

g

x

f

x







)

(

lim

.

Podobnie, prosta

g

y

 jest asymptotą poziomą lewostronną, jeżeli

g

x

f

x







)

(

lim

.

Jeżeli prosta

g

y

 jest jednocześnie asymptotą poziomą prawostronną i lewostronną krzywej

)

(

x

f

y



,

to nazywamy ją asymptotą poziomą (obustronną).

Na rys. 4 przedstawiony został wykres funcji posiadającej różne skończone granice w punktach
niewłaściwych i tym samym posiadającej różne asymptoty poziome jednostronne.

Wykład 10. Asymptoty wykresu funkcji

3

Prosta

g

y



jest asymptotą poziomą lewostronną, prosta

h

y



asymptotą prawostronną

Y

X

)

(x

f

y



g

x

f

x







)

(

lim

h

x

f

x







)

(

lim

h

g

Rys. 4.

Wykaz niektórych granic właściwych w nieskończoności zapisanych w postaci symbolicznej

Granica Uogólnienie

Zapis

symboliczny

0

1

lim







x

x

Jeżeli







)

(

lim

...

x

u

x

, to

0

)

(

1

lim

...





x

u

x

.

0

1

]

[







0

1

lim







x

x

Jeżeli







)

(

lim

...

x

u

x

, to

0

)

(

1

lim

...





x

u

x

.

0

1

]

[







0

lim







x

x

e

Jeżeli







)

(

lim

...

x

u

x

, to

.

0

lim

)

(

...





x

u

x

e

0

]

[





e

2

arctg

lim









x

x

Jeżeli







)

(

lim

...

x

u

x

, to

2

arctg

lim

...







x

x

.

2

)

(

arctg

]

[







2

arctg

lim











x

x

Jeżeli







)

(

lim

...

x

u

x

, to

2

arctg

lim

...









x

x

.

2

)

(

arctg

]

[









Uwaga. Zapis

...



x

w powyższej tabelce oznacza dowolne z przejść granicznych:

,

,

,

0

x

x







0

x

x





0

x

x





x

,





x

.

Przykład 3.

Obliczyć: a)

4

5

lim

2







x

x

, b)

, c)

4

-

2

lim







x

x

e

2

4

arctg

lim

2









x

x

x

x

, d)

2

4

arctg

lim

2









x

x

x

x

.

Rozwiązanie. a)

0

]

5

[

4

5

lim

2















x

x

, b)

,

0

lim

]

[

4

-

2













e

e

x

x

c)

2

)

arctg(

1

arctg

1

4

arctg

lim

arctg

2

4

arctg

lim

]

[

]

[

]

[

2

2







































x

x

x

x

x

x

x

,

d)

2

)

arctg(

1

arctg

1

4

arctg

lim

arctg

2

4

arctg

lim

]

[

]

[

]

[

2

2









































x

x

x

x

x

x

x

.

Przykład 4.

Wyznaczyć, jeżeli istnieją asymptoty poziome funkcji: a)

10

3

)

(

2

2







x

x

x

x

f

, b)

2

3

)

(







x

x

e

x

f

.

X

10

3

)

(

2

2







x

x

x

x

f

Y

1



y

Rozwiązanie. a) Mamy tutaj

R

D

f

 .

1

1

1

2

10

3







x

x

lim

10

3

lim

2

2

]

[





















x

x

x

x

x

1

10

3

lim

2

2











x

x

x

x

.

oraz

Prosta 1



y

jest asymptotą poziomą obustronną.

Ilustrację graficzną przedstawia rys.5.

Rys. 5

.

Wykład 10. Asymptoty wykresu funkcji

4

X

2

3

)

(







x

x

e

x

f

Y

2

y= e

e

e

e

e

x

x

x

x

x

x



























2

1

3

1

2

3

lim

lim

]

[

b) . Mamy tutaj

}

2

{

\

R

D

f



oraz

analogicznie

e

e

x



2

x

3

e

y



x





lim

. Oznacza to, że prosta

jest asymptotą

poziomą obustronną. Wykres funkcji i asymptotę przedstawia rys.6.

Rys. 6.

3. Granice niewłaściwe funkcji w nieskończoności. Asymptoty ukośne

Niech f będzie funkcją określoną w przedziale

)

;

(





a

.

Jeżeli dla każdego ciągu o wyrazach należących do tego przedziału i rozbieżnego do

, ciąg

wartości funkcji

jest rozbieżny do

)

(

n

x





))

(

(

n

x

f



 , to mówimy, że funkcja f posiada w

granicę

niewłaściwą

i zapisujemy

















)

(

lim

x

f

x

.

Uwaga.

Podobnie definiujemy granicę

)

(

lim









x

f

x

oraz przy założeniu o określoności funkcji f

w przedziale

granice:

)

;

(

a













)

(

lim

x

f

x

,









)

(

lim

x

f

x

.

Wykaz niektórych granic niewłaściwych w nieskończoności zapisanych w postaci symbolicznej

Granica Uogólnienie

Zapis

symboliczny









x

x

e

lim

Jeżeli







)

(

lim

...

x

u

x

, to

.







)

(

...

lim

x

u

x

e







]

[

e









x

x

ln

lim

Jeżeli







)

(

lim

...

x

u

x

, to







)

(

ln

lim

...

x

u

x

.







]

[

)

ln(

Uwaga.

Zapis

...



x

oznacza dowolne z przejść granicznych:

,

,

,

0

x

x







0

x

x





0

x

x





x

,





x

.

Przykład 5.

Obliczyć: a)

5

lim

2









x

x

x

x

, b)

1

4

2

lim









x

x

x

x

e

, c)

.

)

4

ln(

lim

x

e

x

x







Rozwiązanie.

a)



































]

[

]

[

1

5

1

1

lim

5

lim

2

x

x

x

x

x

x

x

x

,

b)









































]

[

]

[

]

[

1

1

1

1

4

1

4

lim

lim

2

e

e

e

e

e

x

x

x

x

x

x

x

,

c)

.































]

[

]

[

]

[

)

ln(

)

ln(

)

ln(

)

4

ln(

lim

e

x

e

x

x

Wykład 10. Asymptoty wykresu funkcji

5

Niech f będzie funkcją określoną w przedziale

)

;

(

a



. Prostą o równaniu

n

mx

y





nazywamy:

asymptotą ukośną lewostronną

krzywej

)

(x

f

y



, wtedy i tylko wtedy, gdy

0

)]

(

)

(

[

lim











n

mx

x

f

x

.

Podobnie, jeżeli f jest funkcją określoną w przedziale

)

;

(





a

), to p

rostą o równaniu

n

mx

y





nazywamy asymptotą ukośną prawostronną krzywej )

(x

f

y



, wtedy i tylko wtedy, gdy

.

0

)]

(

)

(

[

lim











n

mx

x

f

x

Jeżeli prosta

jest jednocześnie asymptotą ukośną lewostronną i prawostronną krzywej

, to nazywamy ją asymptotą ukośną (obustronną) tej krzywej (rys. 7.).

n

mx

y





)

(x

f

y



Prosta

n

mx

y





jest asymptotą ukośną obustronną

Y

X

)

(x

f

y



0

)]

(

)

(

[

lim











n

mx

x

f

x

0

)]

(

)

(

[

lim











n

mx

x

f

x

n

mx

y





Rys. 7.

Uwaga.

Asymptoty poziome można traktować jako szczególny przypadek asymptot ukośnych (

0



m

).

Twierdzenie.

1. Jeżeli istnieją skończone granice:

)

(

lim

x

x

f

m

x







oraz

)

)

(

(

lim

mx

x

f

n

x









, to prosta

n

mx

jest

asymptotą ukośną lewostronną krzywej

)

(x

f

y

y







.

2. Jeżeli istnieją skończone granice:

x

x

f

m

x

)

(

lim







i

)

)

(

(

lim

mx

x

f

n

x









, to prosta

n

mx

stanowi

asymptotę ukośną prawostronną krzywej

)

(x

f

y

y







.

Uwaga.

Z powyższego twierdzenia wynika, że krzywa może mieć co najwyżej jedną asymptotę ukośną

lewostronną (wliczając w to asymptotę poziomą lewostronną) oraz co najwyżej jedną prawostronną
(wliczając w to poziomą prawostronną).

Przykład 6.

Wyznaczyć asymptoty ukośne krzywej: a)

2

3

1

4

6

)

(

x

x

x

x

f









, b)

.

x

x

x

f

arctg

)

(





Rozwiązanie. a) Badamy najpierw istnienie asymptoty ukośnej lewostronnej. Ponieważ

1

1

1

4

6

1

lim

]

[

4

6

lim

)

(

lim

3

2

3

3







































x

x

x

x

x

x

x

x

x

f

m

x

x

x

,





























2

2

1

lim

)

1

(

lim

]

)

(

[

lim

x

x

x

mx

x

f

n

x

x

x













3

3

3

4

6

4

6

x

x

x

x

x

x

0

1

1

7

lim

]

[

1

7

lim

2

2



























x

x

x

x

x

x

Wykład 10. Asymptoty wykresu funkcji

6

Y

X

y

x



y

x

x

x









3

2

6

4

1

Rys. 8.

oraz analogicznie:

1

4

6

lim

)

(

lim

3

3





















x

x

x

x

x

x

f

m

x

x

i

0

)

1

4

6

(

lim

]

)

(

[

lim

2

3

























x

x

x

x

mx

x

f

n

x

x

, to

asymptotą ukośną (obustronną) jest prosta

x

y

 . Wykres

funkcji wraz z jej asymptotą przedstawiony został na rys.8.

b) Szukając asymptoty ukośnej prawostronnej dostajemy

1

0

1

1

)

arctg

1

(

lim

arctg

lim

)

(

lim

]

[

]

[

2







































x

x

x

x

x

x

x

f

m

x

x

x

oraz

2

)

(

arctg

arctg

lim

]

)

arctg

[(

lim

]

)

(

[

lim

]

[

































x

x

x

x

mx

x

f

n

x

x

x

.

Podobnie w przypadku asymptoty ukośnej lewostronnej mamy

1

0

1

1

)

arctg

1

(

lim

arctg

lim

)

(

lim

]

[

]

[

2







































x

x

x

x

x

x

x

f

m

x

x

x

,

2

)

(

arctg

arctg

lim

]

)

arctg

[(

lim

]

)

(

[

lim

]

[



































x

x

x

x

mx

x

f

n

x

x

x

.

Y

X

2





 x

y

x

x

x

f

arctg

)

(





2





 x

y

Rys.9.

Funkcja posiada asymptotę ukośną prawostronną

2





 x

y

2





 x

y

i lewostronną

. Proste te są

do siebie równoległe, gdyż mają ten sam
współczynnik kierunkowy. Ilustrację graficzną
przedstawia rys.9.

Przykład 7. Wyznaczyć równania wszystkich asymptot funkcji:

1

1

)

(

2









x

x

x

x

f

.

Rozwiązanie. Mamy tutaj

.

\ { 1}

f

D

R





2

1

1

1

lim

1

0

[ ]

x

x

x

x







 



 



 ,

2

1

1

1

lim

1

0

[ ]

x

x

x

x







 



 



. Oznacza to, że funkcja posiada asymptotę

pionową o równaniu

.

1





x

1

2

1

1

1

lim

lim

1

1

1

[ ]

[ ]

x

x

x

x

x

x

x

x





 

 











 







 oraz

1

2

1

1

1

lim

lim

1

1

1

[ ]

[ ]

x

x

x

x

x

x

x

x





 

 

















  .

Wynika stąd, że funkcja nie posiada asymptot poziomych, może natomiast posiadać asymptoty ukośne.
Poszukując asymptot ukośnych mamy

1

1

1

lim

1

lim

)

(

lim

1

2

1

1

2

2

]

[







































x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

f

m

,

0

1

1

1

lim

1

1

lim

1

1

lim

]

)

(

[

lim

]

[

)

(

2

2

2





















































x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

mx

x

f

n

x

x

x

x

.

Analogiczne granice otrzymujemy przy





x

. Oznacza to, że funkcja posiada asymptotę ukośną

x

y

 .