Tomasz Kowalski
Wykłady z matematyki dla studentów kierunków ekonomicznych
Wykład 4
UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH CRAMERA
1. Równania macierzowe
Każde równanie, w którym niewiadomą jest macierz nazywamy równaniem macierzowym.
Równania macierzowe rozwiązuje się podobnie jak „zwykłe” równania algebraiczne, uwzględniając
specyfikę działań na macierzach.
Przykład 1. Rozwiązać równanie macierzowe:
1 2
1
4
2
3
5 7
3
3
X
.
Rozwiązanie.
Przekształcając równanie kolejno mamy:
3
6
1
4
2
,
15 21
3
3
X
1
4
3
6
2
3
3
15 21
X
,
4
2
2
,
12
24
X
4
2
1
12
24
2
X
,
2
1
6
12
X
.
Przykład 2.
Rozwiązać równanie macierzowe:
2
1 0
1 2
2
5
7
3
0
T
X
.
Rozwiązanie.
Przekształcając równanie kolejno mamy:
1 2
1 2
1 0
2
3
0
3
0
5
7
T
X
,
7
2
2
0
3
6
10 14
T
X
,
5
2
7 20
T
X
,
5
7
2 20
X
.
Niech
A i B będą macierzami, przy czym macierz A jest macierzą kwadratową nieosobliwą
stopnia n, B - macierzą o n wierszach. Rozpatrzmy równanie:
)
0
det
(
A
B
AX
,
gdzie X jest niewiadomą macierzą.
Wykład 4. Układy równań liniowych Cramera
2
Mnożąc obie strony równania lewostronnie przez
i stosując własności mnożenia macierzy
otrzymujemy kolejno:
1
A
B
A
AX
A
1
1
)
(
B
A
X
A
A
1
1
)
(
B
A
X
I
1
,
co oznacza, że wyjściowe równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie, którym jest macierz wyrażająca
się wzorem:
B
A
X
1
.
Podobnie,
jeżeli A jest macierzą kwadratową nieosobliwą stopnia n , B - macierzą mającą
n - kolumn, to równanie:
B
XA
ma dokładnie jedno rozwiązanie określone wzorem:
1
BA
X
.
Przykład 3.
Rozwiązać równanie:
.
4
3
3
2
3
5
1
2
X
Rozwiązanie. Przyjmując
,
równanie można zapisać jako
3
5
1
2
A
4
3
3
2
B
X
B
A
.
Ponieważ
, to istnieje macierz
, a rozwiązanie równania przyjmuje postać
1
det
A
1
A
1
BA
X
.
Wyznaczymy macierz
znajdując najpierw dopełnienia algebraiczne elementów macierzy A
1
A
2
,
1
,
5
,
3
22
21
12
11
m
m
m
m
Stąd
2
5
1
3
2
1
5
3
det
1
22
21
12
11
1
T
T
m
m
m
m
A
A
.
Ostatecznie
5
11
4
9
2
5
1
3
4
3
3
2
1
BA
X
.
Przykład 4. Rozwiązać równanie:
1 1 2
1
2
3
1 2 1
1
1 2
3 5 3
2
4
3
X
Rozwiązanie. Równanie ma postać:
B
, gdzie
1 1 2
1 2 1
3 5 3
A
,
.
3
4
2
2
1
1
3
2
1
B
AX
Ponieważ
, to istnieje macierz
, a rozwiązanie równania wyraża
się wzorem:
det
6 3 10 12 3 5
1
A
1
A
B
A
X
1
.
Wyznaczymy macierz
znajdując najpierw dopełnienia algebraiczne elementów macierzy A
1
A
11
12
13
2 1
1 1
1 2
1,
0,
1,
5 3
3 3
3 5
m
m
m
21
22
23
1 2
1 2
1 1
7,
3,
2,
5 3
3 3
3 5
m
m
m
31
32
33
1 2
1 2
1 1
3,
1,
1
2 1
1 1
1 2
m
m
m
.
Wykład 4. Układy równań liniowych Cramera
3
Stąd
11
12
13
1
21
22
23
31
32
33
1
0
1
1
7
3
1
1
7
3
2
0
3
1
det
1
3
1
1
1
2
1
T
T
m
m
m
A
m
m
m
A
m
m
m
.
Ostatecznie
1
1
7
3
1
2
3
2 17
8
0
3
1
1
1 2
1
7
3
1
2
1
2
4
3
1
4
4
X
A B
.
2.
Układy równań liniowych
Układ równań o niewiadomych
mający postać:
n
x
x
x
x
,
...
,
,
,
3
2
1
m
n
mn
m
m
n
n
n
n
b
x
a
x
a
x
a
b
x
a
x
a
x
a
b
x
a
x
a
x
a
...
..
..........
..........
..........
..........
,
...
,
...
2
2
1
1
2
2
2
22
1
21
1
1
2
12
1
11
gdzie
i dla
ij
a
i
b
}
,
...
,
3
,
2
,
1
{
},
,
...
,
3
,
2
,
1
{
m
j
n
i
są danymi liczbami rzeczywistymi,
nazywamy układem m równań liniowych z n niewiadomymi lub krótko: układem równań.
Każdemu układowi równań można przypisać następujące macierze:
mn
m
m
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
A
2
1
2
22
21
1
12
11
,
,
n
x
x
x
X
2
1
m
b
b
b
B
2
1
zwane odpowiednio: macierz układu, macierz niewiadomych, macierz wyrazów wolnych.
Przy
powyższych oznaczeniach układ równań można zapisać w postaci równania macierzowego
B
AX
.
Rozwiązaniem układu m równań liniowych z n niewiadomymi nazywamy każdy układ n liczb:
spełniających wszystkie równania tego układu.
n
x
x
x
x
,
...
,
,
,
3
2
1
Dla
układu równań liniowych zachodzi dokładnie jeden z trzech przypadków:
1. Układ nie ma rozwiązań - taki układ nazywamy wówczas sprzecznym.
2. Układ ma dokładnie jedno rozwiązanie - układ nazywamy oznaczonym.
3. Układ ma nieskończenie wiele rozwiązań - układ nazywamy nieoznaczonym.
Przykład 5. Układ równań
jest układem dwóch równań z trzema
niewiadomymi
. Macierzą układu jest
, macierzą niewiadomych
7
3
,
4
2
3
2
1
3
2
1
x
x
x
x
x
x
A
3
2
1
,
,
x
x
x
1
1
3
1
2
1
Wykład 4. Układy równań liniowych Cramera
4
3
2
1
x
x
x
X
,
1
2
1
x
x
2
,
, macierzą wyrazów wolnych
. Jednym z rozwiązań układu jest trójka liczb
. Układ ma nieskończenie wiele rozwiązań. Są nimi trójki liczb postaci:
7
4
B
5
,
1
3
x
1
2
1 2
x
x
3
,
5
x
, gdzie
R
.
3. Układy Cramera
Układ równań, w którym liczba równań jest równa liczbie niewiadomych oraz wyznacznik
macierzy układu jest niezerowy
)
0
det
(
A
nazywamy układem Cramera.
Twierdzenie.
Układ Cramera posiada dokładnie jedno rozwiązanie wyrażające się wzorami:
A
A
x
A
A
x
A
A
x
A
A
n
n
de
x
t
det
,
...
,
det
det
de
,
t
det
,
det
det
3
3
2
1
2
3
1
1
x
x
1
3
1
A
,
gdzie
oznacza wyznacznik macierzy układu,
- wyznacznik macierzy powstałej
z macierzy A przez zastąpienie i-tej kolumny tej macierzy kolumną wyrazów wolnych.
A
det
i
A
det
Przykład 6.
Rozwiązać układ równań:
.
1
,
5
2
2
2
x
x
Rozwiązanie.
,
1
5
,
1
2
B
7
6
1
1
3
2
1
det
A
. Oznacza to, że układ jest
układem Cramera.
Zastępując kolumną wyrazów wolnych najpierw pierwszą kolumnę macierzy A, a następnie drugą
kolumnę, otrzymujemy
7
2
5
1
1
2
5
,
14
15
1
1
3
5
1
det
2
A
.
det
1
A
Rozwiązanie układu jest więc parą liczb
2
7
14
det
det
,
1
7
7
det
det
2
2
1
1
A
A
x
A
A
x
.
Przykład 7.
Rozwiązać układ równań:
.
1
2
,
3
3
2
,
4
2
3
2
1
3
2
1
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Rozwiązanie. W tym przypadku mamy
,
.
1
2
1
1
3
2
2
1
1
A
1
3
4
B
Ponieważ
4
2
2
6
1
8
3
1
2
1
1
3
2
2
1
1
det
A
, to układ równań jest układem Cramera.
Zastępując w macierzy A kolumną wyrazów wolnych najpierw kolumnę pierwszą, potem drugą i na
koniec trzecią otrzymujemy kolejno wyznaczniki:
Wykład 4. Układy równań liniowych Cramera
5
4
8
3
6
12
1
12
1
2
1
1
3
3
2
1
4
det
1
A
,
4
1
8
6
4
4
3
1
1
1
1
3
2
2
4
1
det
2
A
,
8
2
6
12
16
3
3
1
2
1
3
3
2
4
1
1
det
3
A
.
Rozwiązaniem układu jest zatem trójka liczb:
2
4
8
det
det
,
1
4
4
det
det
,
1
4
4
det
det
3
3
2
2
1
1
A
A
x
A
A
x
A
A
x
.
Przykład 8.
Rozwiązać układ równań:
o niewiadomych x, y, z.
10
3
2
4
,
0
2
,
7
3
z
y
x
z
y
x
z
y
x
Macierze A i B tego układu mają postać:
,
.
3
2
4
1
1
2
3
1
1
A
10
0
7
B
1
1
3
det
2
1
1
13
4
2
3
A
. Układ równań jest więc układem Cramera.
7
1
3
det
0
1
1
13
10
2
3
x
A
,
1
7
3
det
2
0
1
0
4 10
3
y
A
,
1
1 7
det
2
1
0
26
4
2 10
z
A
.
Rozwiązanie jest trójką liczb:
2
13
26
det
det
,
0
13
0
det
det
,
1
13
13
det
det
A
A
z
A
A
y
A
A
x
z
y
x
.
Uwaga.
Rozwiązania układu Cramera można wyznaczyć posługując się odpowiednim równaniem
macierzowym
B
X
A
.
Ponieważ
, to macierz A posiada macierz odwrotną
, a rozwiązanie równania
macierzowego ma postać
0
det
A
1
A
B
A
1
i jest jednokolumnową macierzą o n elementach
.
n
x
x
x
X
2
1
X
Tym samym układ równań posiada jedno rozwiązanie, którym jest n - elementowy układ liczb:
n
x
x
x
x
,
...
,
,
,
3
2
1
.
Metoda
rozwiązywania układów równań Cramera odwołująca się do odpowiedniego równania
macierzowego nazywana jest metodą macierzową, a metoda demonstrowana wcześniej - metodą
wyznacznikową
.
Wykład 4. Układy równań liniowych Cramera
6
Przykład 9.
Rozwiązać układ:
.
6
5
3
,
0
2
2
,
5
3
2
2
1
3
2
1
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
Rozwiązanie. Przyjmując
układ zapiszemy w postaci
równania macierzowego
6
0
5
,
,
0
5
3
2
2
1
1
3
2
3
2
1
B
x
x
x
X
A
B
AX
, którego rozwiązaniem, przy założeniu, że istnieje
, jest
1
A
1
BA
X
.
Wyznaczymy to rozwiązanie.
Ponieważ
1
20
6
18
5
0
5
3
2
2
1
1
3
2
det
A
, to macierz
istnieje.
1
A
,
1
5
3
2
1
,
6
0
3
2
1
,
10
0
5
2
2
13
12
11
m
m
m
,
1
5
3
3
2
,
3
0
3
1
2
,
5
0
5
1
3
23
22
21
m
m
m
1
2
1
3
2
,
5
2
1
1
2
,
8
2
2
1
3
33
32
31
m
m
m
.
Zatem
1
1
1
5
3
6
8
5
10
1
5
8
1
3
5
1
6
10
det
1
33
32
31
23
22
21
13
12
11
1
T
T
m
m
m
m
m
m
m
m
m
A
A
.
Stąd
1
0
2
6
0
5
1
1
1
5
3
6
8
5
10
1
B
A
X
.
Rozwiązaniem układu równań jest trójka liczb:
1
,
0
,
2
3
2
1
x
x
x
.
4. Układy równań liniowych jednorodnych
Układ równań postaci:
0
...
..
..........
..........
..........
..........
,
0
...
,
0
...
2
2
1
1
2
2
22
1
21
1
2
12
1
11
n
mn
m
m
n
n
n
n
x
a
x
a
x
a
x
a
x
a
x
a
x
a
x
a
x
a
nazywamy układem równań liniowych jednorodnych.
Układ taki ma zawsze tzw. rozwiązanie zerowe:
0
...,
,
0
,
0
2
1
n
x
x
x
.
Oznacza to, że układ równań jednorodnych nie jest układem sprzecznym.
Wykład 4. Układy równań liniowych Cramera
7
Uwaga.
Jeżeli układ równań jednorodnych jest układem Cramera, to posiada wyłącznie
rozwiązanie zerowe.
Przykład 10.
Rozwiązać układ równań:
0
2
,
0
3
2
,
0
2
3
2
1
3
2
1
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Rozwiązanie. Ponieważ układ ten jest układem równań jednorodnych oraz macierz układu spełnia
warunek:
.
0
4
2
2
6
1
8
3
1
2
1
1
3
2
2
1
1
det
A
, to na podstawie uwagi wnioskujemy, że jedynym
rozwiązaniem układu jest:
0
,
0
,
0
3
2
1
x
x
x
.
Document Outline