Tomasz Kowalski: Pochodna funkcji
Slajd nr
1/54
dr Tomasz Kowalski
Pochodna funkcji
Wykład 11
Tomasz Kowalski: Pochodna funkcji
Slajd nr
1/54
dr Tomasz Kowalski
Pochodna funkcji
Wykład 11
Tomasz Kowalski: Pochodna funkcji
Slajd nr
2/54
Iloraz różnicowy
Niech f będzie funkcją określoną w pewnym
otoczeniu U(x
0
,) punktu x
0
i niech x U .
Załóżmy, że
x = x – x
0
≠ 0 .
Wówczas wyrażenie
nazywamy ilorazem różnicowym funkcji f w
punkcie x
0
odpowiadającym przyrostowi argumentu
o x.
0
0
(
)
( )
f x
x
f x
x
+D -
D
Tomasz Kowalski: Pochodna funkcji
Slajd nr
3/54
Iloraz różnicowy
– interpretacja
geometryczna
Iloraz różnicowy jest tangensem kąta, pod
jakim prosta przechodząca przez punkty
wykresu odpowiadające argumentom x
0
i
x
0
+ x, przecina oś OX.
0
0
(
)
( )
f x
x
f x
x
D
+D -
f(x)
x
0
x
0
+
x
f(x
0
)
f(x
0
+
x)
x
0
y
tg
x
f(x
0
+
x) – f (x
0
)
Tomasz Kowalski: Pochodna funkcji
Slajd nr
4/54
Pochodna funkcji w punkcie
x
x
f
x
x
f
)
(
)
(
0
0
0
0
( ) lim
x
f x
D �
� =
x
x
f
x
x
f
)
(
)
(
0
0
Granicę właściwą (jeżeli istnieje) ilorazu
różnicowego
dla
x dążącego do zera nazywamy pochodną funkcji f
w punkcie x
0
i oznaczamy symbolem f
/
(x
0
).
Tomasz Kowalski: Pochodna funkcji
Slajd nr
5/54
Pojęcie
różniczkowalności
O funkcji mającej pochodną w danym punkcie
mówimy, że jest w tym punkcie różniczkowalna.
Funkcję f nazywamy różniczkowalną w
przedziale I, gdy posiada pochodną w każdym
punkcie tego przedziału.
Tomasz Kowalski: Pochodna funkcji
Slajd nr
6/54
Przykład 1
0
0
0
0
(
)
( )
( ) lim
x
f x
x
f x
f x
x
D �
+D -
� =
=
D
.
)
(
x
x
f
0
lim
x
D �
1
=
0
lim1
x
D �
Inny zapis tego
faktu:
1
)
(
/
x
Obliczyć f
/
(x
0
),
jeżeli
x
D
0
x
x
+D
0
x
-
=
Tomasz Kowalski: Pochodna funkcji
Slajd nr
7/54
Przykład 2
x
x
f
x
x
f
x
f
x
)
(
)
(
lim
)
(
0
0
0
0
Obliczyć f
/
(x
0
),
jeżeli
.
)
(
2
x
x
f
0
lim
x
D �
=
0
lim
x
D �
Inny zapis tego
faktu:
x
x
2
)
(
/
2
0
2x
x
D
2
0
(
)
x
x
+D
2
0
x
-
=
0
lim
x
D �
=
x
D
2
0
x
2
0
x
-
=
0
2x x
+ D
2
x
+D
0
(2x
)
x
+D
Tomasz Kowalski: Pochodna funkcji
Slajd nr
8/54
Przykład 3
x
x
f
x
x
f
x
f
x
)
(
)
(
lim
)
(
0
0
0
0
0
1
( )
i
0.
f x
x
x
=
�
Inny zapis tego
faktu:
2
/
1
1
x
x
0
0
0
1
lim
(
)
x
x
x
x x
x
D �
- D
� =
+D
D
2
0
1
x
-
Obliczyć f
/
(x
0
),
jeżeli
0
lim
x
D �
=
x
D
0
1
x
x
+D
0
1
x
-
=
0
lim
x
D �
=
x
D
0
0
(
)
x
x x
+D
x
- D
0
x
0
x
-
=
Tomasz Kowalski: Pochodna funkcji
Slajd nr
9/54
Przykład 4
x
x
f
x
x
f
x
f
x
)
(
)
(
lim
)
(
0
0
0
0
0
( ) ln i
0.
f x
x
x
=
>
x
x
x
x
x
0
0
0
ln
)
ln(
lim
0
0
0
ln
1
lim
x
x
x
x
x
)
1
ln(
1
lim
0
0
x
x
x
x
Inny zapis tego
faktu:
x
x
1
ln
/
1
0
0
lim ln 1
x
x
x
x
D
D �
�
�
D
=
+
=
�
�
�
�
0
1
0
0
0
1
lim ln 1
x
x
x
x
x
x
D �
D
D
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
=
+
=
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1
0
ln
x
e
Obliczyć f
/
(x
0
),
jeżeli
0
1
x
=
Tomasz Kowalski: Pochodna funkcji
Slajd nr
10/54
Wzory podstawowe
Funkcja
f(x)
Pochodna
f
/
(x)
Funkcja
f(x)
Pochodna
f
/
(x)
sin
x
cos
x
cos
x
- sin
x
e
x
e
x
ln
x
arctg
x
tg
x
ctg
x
1
1 + x
2
x
1
cos
2
x
1
sin
2
x
- 1
c
(stała)
x
2
x
x
3
x
n
0
3x
2
2x
1
nx
n-1
x
1
x
2
- 1
2
x
x
1
Tomasz Kowalski: Pochodna funkcji
Slajd nr
11/54
Pochodna funkcji
potęgowej
(x
n
)
/
= x
n
-1
n-
1
Tomasz Kowalski: Pochodna funkcji
Slajd nr
12/54
Pochodna funkcji
potęgowej
7 /
( )
x
=
20 /
(
)
x
=
5 /
(
)
x
-
=
7
6
x
19
20x
6
5x
-
-
(x
n
)
/
=
x
n
-
1
n-
1
Tomasz Kowalski: Pochodna funkcji
Slajd nr
13/54
Pochodna funkcji
potęgowej
( )
/
x x =
/
3
1
x
� �=
� �
� �
/
4
(
)
x =
3 /
(
)
x
-
=
4
3x
-
-
4
3
x
=-
/
1
4
x
� �
=
� �
� �
3
4
1
4
x
-
3
4
1
4 x
=
/
3
2
x
� �
=
� �
� �
� �
1
2
3
2
x
3
2
x
=
(x
n
)
/
=
x
n
-
1
n-
1
Tomasz Kowalski: Pochodna funkcji
Slajd nr
14/54
Reguły różniczkowania
(
)
/
/
/
( )
(
( )
( )
)
af x bg x
a
x
x
b
f
g
�
=
�
(
)
/
/
( )
( )
a
a
f
f x
x
=
(
)
/
/
/
( )
(
)
)
)
(
(
f x
g x
f x
g x
�
=
�
Dla dowolnych funkcji f i g różniczkowalnych
na pewnym przedziale oraz stałych a i b
zachodzą wzory:
1.
ogólniej:
Tomasz Kowalski: Pochodna funkcji
Slajd nr
15/54
Przykłady
(
)
/
/
( )
( )
a
a
f
f x
x
=
f(x)
/
( )
f x
c
0
x
1
2
x
2x
3
x
2
3x
n
x
1
n
nx
x
1
2 x
1
x
2
1
x
x
e
x
e
lnx
1
x
sinx
cosx
cosx
sinx
arctgx
2
1
1 x
tgx
2
1
cos x
ctgx
2
1
sin x
4
cosx
/
(4sin )
x =
Tomasz Kowalski: Pochodna funkcji
Slajd nr
16/54
Przykłady
(
)
/
/
( )
( )
a
a
f
f x
x
=
f(x)
/
( )
f x
c
0
x
1
2
x
2x
3
x
2
3x
n
x
1
n
nx
x
1
2 x
1
x
2
1
x
x
e
x
e
lnx
1
x
sinx
cosx
cosx
sinx
arctgx
2
1
1 x
tgx
2
1
cos x
ctgx
2
1
sin x
si
(
n
3
)
x
-
�
=
/
(3cos )
x =
3sinx
-
Tomasz Kowalski: Pochodna funkcji
Slajd nr
17/54
Przykłady
(
)
/
/
( )
( )
a
a
f
f x
x
=
f(x)
/
( )
f x
c
0
x
1
2
x
2x
3
x
2
3x
n
x
1
n
nx
x
1
2 x
1
x
2
1
x
x
e
x
e
lnx
1
x
sinx
cosx
cosx
sinx
arctgx
2
1
1 x
tgx
2
1
cos x
ctgx
2
1
sin x
2 /
(6 )
x
=
6
2x
� = 12x
Tomasz Kowalski: Pochodna funkcji
Slajd nr
18/54
Przykłady
(
)
/
/
( )
( )
a
a
f
f x
x
=
f(x)
/
( )
f x
c
0
x
1
2
x
2x
3
x
2
3x
n
x
1
n
nx
x
1
2 x
1
x
2
1
x
x
e
x
e
lnx
1
x
sinx
cosx
cosx
sinx
arctgx
2
1
1 x
tgx
2
1
cos x
ctgx
2
1
sin x
/
(4ln )
x =
4
1
x
� =
4
x
Tomasz Kowalski: Pochodna funkcji
Slajd nr
19/54
Przykłady
(
)
/
/
/
( )
(
)
)
)
(
(
f x
g x
f x
g x
�
=
�
f(x)
/
( )
f x
c
0
x
1
2
x
2x
3
x
2
3x
n
x
1
n
nx
x
1
2 x
1
x
2
1
x
x
e
x
e
lnx
1
x
sinx
cosx
cosx
sinx
arctgx
2
1
1 x
tgx
2
1
cos x
ctgx
2
1
sin x
2
3x
3
/
(
ln )
x
x
+
=
1
x
+
Tomasz Kowalski: Pochodna funkcji
Slajd nr
20/54
Przykłady
(
)
/
/
/
( )
(
)
)
)
(
(
f x
g x
f x
g x
�
=
�
f(x)
/
( )
f x
c
0
x
1
2
x
2x
3
x
2
3x
n
x
1
n
nx
x
1
2 x
1
x
2
1
x
x
e
x
e
lnx
1
x
sinx
cosx
cosx
sinx
arctgx
2
1
1 x
tgx
2
1
cos x
ctgx
2
1
sin x
cosx
/
(sin
)
x x
-
=
1
-
Tomasz Kowalski: Pochodna funkcji
Slajd nr
21/54
Przykłady
(
)
/
/
/
( )
(
( )
( )
)
af x bg x
a
x
x
b
f
g
�
=
�
f(x)
/
( )
f x
c
0
x
1
2
x
2x
3
x
2
3x
n
x
1
n
nx
x
1
2 x
1
x
2
1
x
x
e
x
e
lnx
1
x
sinx
cosx
cosx
sinx
arctgx
2
1
1 x
tgx
2
1
cos x
ctgx
2
1
sin x
3
cosx
/
(3sin
5ln )
x
x
+
=
5
3cosx
x
=
+
1
5
x
+ � =
Tomasz Kowalski: Pochodna funkcji
Slajd nr
22/54
Przykłady
(
)
/
/
/
( )
(
( )
( )
)
af x bg x
a
x
x
b
f
g
�
=
�
f(x)
/
( )
f x
c
0
x
1
2
x
2x
3
x
2
3x
n
x
1
n
nx
x
1
2 x
1
x
2
1
x
x
e
x
e
lnx
1
x
sinx
cosx
cosx
sinx
arctgx
2
1
1 x
tgx
2
1
cos x
ctgx
2
1
sin x
2
2x
�
2
/
(2
5cos )
x
x
+
=
4
5sin
x
x
= -
si
(
n
5
)
x
-
+
=
Tomasz Kowalski: Pochodna funkcji
Slajd nr
23/54
Przykłady
(
)
/
/
/
( )
(
( )
( )
)
af x bg x
a
x
x
b
f
g
�
=
�
f(x)
/
( )
f x
c
0
x
1
2
x
2x
3
x
2
3x
n
x
1
n
nx
x
1
2 x
1
x
2
1
x
x
e
x
e
lnx
1
x
sinx
cosx
cosx
sinx
arctgx
2
1
1 x
tgx
2
1
cos x
ctgx
2
1
sin x
2
2
3x
�
3
/
(2
7 )
x
x
e
+
=
2
6
7
x
x
e
=
+
7
x
e
+ � =
Tomasz Kowalski: Pochodna funkcji
Slajd nr
24/54
Przykłady
(
)
/
/
/
( )
(
( )
( )
)
af x bg x
a
x
x
b
f
g
�
=
�
f(x)
/
( )
f x
c
0
x
1
2
x
2x
3
x
2
3x
n
x
1
n
nx
x
1
2 x
1
x
2
1
x
x
e
x
e
lnx
1
x
sinx
cosx
cosx
sinx
arctgx
2
1
1 x
tgx
2
1
cos x
ctgx
2
1
sin x
2
1
2 x
�
/
(2
5tg )
x
x
-
=
2
1
5
cos x
x
=
-
2
1
co
5
s x
-
=
Tomasz Kowalski: Pochodna funkcji
Slajd nr
25/54
Przykłady
(
)
/
/
/
( )
(
( )
( )
)
af x bg x
a
x
x
b
f
g
�
=
�
f(x)
/
( )
f x
c
0
x
1
2
x
2x
3
x
2
3x
n
x
1
n
nx
x
1
2 x
1
x
2
1
x
x
e
x
e
lnx
1
x
sinx
cosx
cosx
sinx
arctgx
2
1
1 x
tgx
2
1
cos x
ctgx
2
1
sin x
0
/
(3 5ln )
x
+
=
5
x
1
5
x
+ � =
Tomasz Kowalski: Pochodna funkcji
Slajd nr
26/54
Przykłady
(
)
/
/
/
( )
(
( )
( )
)
af x bg x
a
x
x
b
f
g
�
=
�
f(x)
/
( )
f x
c
0
x
1
2
x
2x
3
x
2
3x
n
x
1
n
nx
x
1
2 x
1
x
2
1
x
x
e
x
e
lnx
1
x
sinx
cosx
cosx
sinx
arctgx
2
1
1 x
tgx
2
1
cos x
ctgx
2
1
sin x
2
2x
�
2
/
(2
5cos )
x
x
+
=
4
5sin
x
x
= -
si
(
n
5
)
x
-
+
=
Tomasz Kowalski: Pochodna funkcji
Slajd nr
27/54
Reguły
różniczkowania
(
)
/
/
/
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
f
f x g x
g
f
x
x
x
g
x
�
=
+
Dla dowolnych funkcji f i g różniczkowalnych
na pewnym przedziale zachodzi wzór:
2.
Tomasz Kowalski: Pochodna funkcji
Slajd nr
28/54
Przykłady
f(x)
/
( )
f x
c
0
x
1
2
x
2x
3
x
2
3x
n
x
1
n
nx
x
1
2 x
1
x
2
1
x
x
e
x
e
lnx
1
x
sinx
cosx
cosx
sinx
arctgx
2
1
1 x
tgx
2
1
cos x
ctgx
2
1
sin x
2
3x
3
/
(
)
x
x e
=
2
3
(3
)
x
e x
x
=
+
(
)
/
( )
(
( ) ( )
( )
)
( )
f x g x
g
x
g x
f
f
x
x
�
�
�
=
+
x
e
�
3
x
+ �
x
e
=
Tomasz Kowalski: Pochodna funkcji
Slajd nr
29/54
Przykłady
f(x)
/
( )
f x
c
0
x
1
2
x
2x
3
x
2
3x
n
x
1
n
nx
x
1
2 x
1
x
2
1
x
x
e
x
e
lnx
1
x
sinx
cosx
cosx
sinx
arctgx
2
1
1 x
tgx
2
1
cos x
ctgx
2
1
sin x
1
/
( ln )
x x =
(
)
/
( )
(
( ) ( )
( )
)
( )
f x g x
g
x
g x
f
f
x
x
�
�
�
=
+
lnx
�
x
+ �
1
x
=
ln
1
x
=
+
Tomasz Kowalski: Pochodna funkcji
Slajd nr
30/54
Przykłady
f(x)
/
( )
f x
c
0
x
1
2
x
2x
3
x
2
3x
n
x
1
n
nx
x
1
2 x
1
x
2
1
x
x
e
x
e
lnx
1
x
sinx
cosx
cosx
sinx
arctgx
2
1
1 x
tgx
2
1
cos x
ctgx
2
1
sin x
1
2 x
/
(
sin )
x
x =
(
)
/
( )
(
( ) ( )
( )
)
( )
f x g x
g
x
g x
f
f
x
x
�
�
�
=
+
sinx
�
x
+ �
cosx
=
sin
cos
2
x
x
x
x
=
+
�
Tomasz Kowalski: Pochodna funkcji
Slajd nr
31/54
Przykłady
f(x)
/
( )
f x
c
0
x
1
2
x
2x
3
x
2
3x
n
x
1
n
nx
x
1
2 x
1
x
2
1
x
x
e
x
e
lnx
1
x
sinx
cosx
cosx
sinx
arctgx
2
1
1 x
tgx
2
1
cos x
ctgx
2
1
sin x
2
6x
3
/
(2 arctg )
x
x =
(
)
/
( )
(
( ) ( )
( )
)
( )
f x g x
g
x
g x
f
f
x
x
�
�
�
=
+
arctgx
�
3
2x
+
�
2
1
1 x
+
=
3
2
2
2
6 arctg
1
x
x
x
x
=
+
+
Tomasz Kowalski: Pochodna funkcji
Slajd nr
32/54
Reguły
różniczkowania
/
2
( )
( )
( )
( )
( ( )
)
( )
)
(
f x
g
f x
g x
x
f x
g x
g x
�
�
�
-
=
�
�
�
�
�
Dla dowolnych funkcji f i g różniczkowalnych
na pewnym przedziale zachodzi wzór:
3.
Tomasz Kowalski: Pochodna funkcji
Slajd nr
33/54
Przykłady
f(x)
/
( )
f x
c
0
x
1
2
x
2x
3
x
2
3x
n
x
1
n
nx
x
1
2 x
1
x
2
1
x
x
e
x
e
lnx
1
x
sinx
cosx
cosx
sinx
arctgx
2
1
1 x
tgx
2
1
cos x
ctgx
2
1
sin x
/
2
( )
( )
( )
( )
( ( )
)
( )
)
(
f x
g
f x
g x
x
f x
g x
g x
�
�
�
-
=
�
�
�
�
�
1
�
/
sinx
x
�
�=
�
�
�
�
2
cos
sin
x
x
x
x
-
=
2
x
cosx
x
�
sinx
-
=
Tomasz Kowalski: Pochodna funkcji
Slajd nr
34/54
Przykłady
f(x)
/
( )
f x
c
0
x
1
2
x
2x
3
x
2
3x
n
x
1
n
nx
x
1
2 x
1
x
2
1
x
x
e
x
e
lnx
1
x
sinx
cosx
cosx
sinx
arctgx
2
1
1 x
tgx
2
1
cos x
ctgx
2
1
sin x
/
2
( )
( )
( )
( )
( ( )
)
( )
)
(
f x
g
f x
g x
x
f x
g x
g x
�
�
�
-
=
�
�
�
�
�
2x
�
/
2
lnx
x
�
�=
�
�
�
�
4
2 ln
x
x x
x
-
=
4
x
1
x
2
x
�
lnx
-
=
Tomasz Kowalski: Pochodna funkcji
Slajd nr
35/54
Przykłady
f(x)
/
( )
f x
c
0
x
1
2
x
2x
3
x
2
3x
n
x
1
n
nx
x
1
2 x
1
x
2
1
x
x
e
x
e
lnx
1
x
sinx
cosx
cosx
sinx
arctgx
2
1
1 x
tgx
2
1
cos x
ctgx
2
1
sin x
/
2
( )
( )
( )
( )
( ( )
)
( )
)
(
f x
g
f x
g x
x
f x
g x
g x
�
�
�
-
=
�
�
�
�
�
(
6
5
)
x+
/
2
3
3
5
2
x
x
x
x
e
�
�
+
=
�
�
+
�
�
=
3
2
(
2 )
x
x
e
+
3
(
2 )
x
x
e
+
2
(3
5 )
x
x
-
+
2
)
3
2
(
x
x
e
+
Tomasz Kowalski: Pochodna funkcji
Slajd nr
36/54
Reguły
różniczkowania
(
)
(
)
(
)
/
/
/
/
( )
( ( ))
( ( ))
( )
f u x
f u x
f u x u x
=
=
�
o
Jeżeli u jest funkcją określoną i różniczkowalną
w pewnym przedziale I i przekształcającą ten
przedział w przedział J oraz f jest funkcją
różniczkowalną w przedziale J, to istnieje
pochodna funkcji złożonej f
o
u w każdym
punkcie x I i wyraża się ona wzorem:
.
4.
�
Tomasz Kowalski: Pochodna funkcji
Slajd nr
37/54
Reguły
różniczkowania
(
)
/
/
/
( ( ))
( ( ))
( )
f u x
f u x u x
=
�
Jeżeli we wzorze podstawowym rachunku
różniczkowego argument x pewnej funkcji f
zastąpiono wyrażeniem u=u(x), to aby uzyskać
pochodną takiej funkcji złożonej należy:
1. analogicznej modyfikacji dokonać we wzorze
na f
/
(czyli zamienić x na u=u(x)),
2. dodatkowo otrzymane wyrażenie pomnożyć
przez u
/
= u
/
(x).
Tomasz Kowalski: Pochodna funkcji
Slajd nr
38/54
Uogólnienie wzorów
Jeżeli we wzorze podstawowym
rachunku różniczkowego
argument x pewnej funkcji f
zastąpiono wyrażeniem u= u(x),
Tomasz Kowalski: Pochodna funkcji
Slajd nr
39/54
Uogólnienie wzorów
Jeżeli we wzorze podstawowym
rachunku różniczkowego
argument x pewnej funkcji f
zastąpiono wyrażeniem u=u(x),
f
f
/
2
u
2x
3
u
2
3x
n
u
1
n
nx
u
1
2 x
1
u
2
1
x
u
e
x
e
ln
u
1
x
sin
u
cosx
cos
u
sinx
arctg
u
2
1
1 x
tg
u
2
1
cos x
ctg
u
2
1
sin x
to aby uzyskać pochodną takiej
funkcji złożonej należy:
analogicznej modyfikacji dokonać
we wzorze na f
/
(czyli zamienić x
na u=u(x)),
Tomasz Kowalski: Pochodna funkcji
Slajd nr
40/54
Uogólnienie wzorów
Jeżeli we wzorze podstawowym
rachunku różniczkowego
argument x pewnej funkcji f
zastąpiono wyrażeniem u=u(x),
to aby uzyskać pochodną takiej
funkcji złożonej należy:
analogicznej modyfikacji dokonać
we wzorze na f
/
(czyli zamienić x
na u=u(x)),
dodatkowo otrzymane wyrażenie
pomnożyć przez u
/
= u
/
(x).
f
f
/
2
u
2
u
3
u
2
3
u
n
u
1
n
n
u
u
1
2
u
1
u
2
1
u
u
e
u
e
ln
u
1
u
sin
u
cos
u
cos
u
sin
u
arctg
u
2
1
1
u
tg
u
2
1
cos
u
ctg
u
2
1
sin
u
Tomasz Kowalski: Pochodna funkcji
Slajd nr
41/54
Uogólnienie wzorów
Jeżeli we wzorze podstawowym
rachunku różniczkowego
argument x pewnej funkcji f
zastąpiono wyrażeniem u = u(x),
to aby uzyskać pochodną takiej
funkcji złożonej należy:
analogicznej modyfikacji dokonać
we wzorze na f
/
(czyli zamienić x
na u=u(x)),
dodatkowo otrzymane wyrażenie
pomnożyć przez u
/
= u
/
(x).
f
f
/
2
u
/
2
u u
3
u
2
/
3
u u
n
u
/
1
n
n
u
u
u
/
1
2
u
u
1
u
2
/
1
u
u
u
e
/
u
e
u
ln
u
/
1
u
u
sin
u
/
cos
u u
cos
u
/
sin
u u
arctg
u
2
/
1
1
u
u
tg
u
2
/
1
cos
u
u
ctg
u
2
/
1
sin
u
u
Tomasz Kowalski: Pochodna funkcji
Slajd nr
42/54
Przykłady
f
f
/
2
u
/
2
u u
3
u
2
/
3
u u
n
u
/
1
n
n
u
u
u
/
1
2
u
u
1
u
2
/
1
u
u
u
e
/
u
e
u
ln
u
/
1
u
u
sin
u
/
cos
u u
cos
u
/
sin
u u
arctg
u
2
/
1
1
u
u
tg
u
2
/
1
cos
u
u
ctg
u
2
/
1
sin
u
u
10
u
x
=
(
)
/
sin10x =
/
cos10 (10 )
x
x
�
=
10cos10x
=
Tomasz Kowalski: Pochodna funkcji
Slajd nr
43/54
Przykłady
f
f
/
2
u
/
2
u u
3
u
2
/
3
u u
n
u
/
1
n
n
u
u
u
/
1
2
u
u
1
u
2
/
1
u
u
u
e
/
u
e
u
ln
u
/
1
u
u
sin
u
/
cos
u u
cos
u
/
sin
u u
arctg
u
2
/
1
1
u
u
tg
u
2
/
1
cos
u
u
ctg
u
2
/
1
sin
u
u
2
3
4
u
x
x
=
+
(
)
2
/
3
4
x
x
e
+
=
2
3
4
2
/
(3
4 )
x
x
e
x
x
+
+
=
2
3
4
(6
4)
x
x
e
x
+
=
+
Tomasz Kowalski: Pochodna funkcji
Slajd nr
44/54
Przykłady
f
f
/
2
u
/
2
u u
3
u
2
/
3
u u
n
u
/
1
n
n
u
u
u
/
1
2
u
u
1
u
2
/
1
u
u
u
e
/
u
e
u
ln
u
/
1
u
u
sin
u
/
cos
u u
cos
u
/
sin
u u
arctg
u
2
/
1
1
u
u
tg
u
2
/
1
cos
u
u
ctg
u
2
/
1
sin
u
u
3
4
3
x
u
e
x
+
=
(
)
/
3
4
3
x
e
x
+
=
3 /
3
1
(4
3 )
2 4
3
x
x
e
x
e
x
=
+
=
+
2
3
4
9
2 4
3
x
x
e
x
e
x
+
=
+
Tomasz Kowalski: Pochodna funkcji
Slajd nr
45/54
Przykłady
f
f
/
2
u
/
2
u u
3
u
2
/
3
u u
n
u
/
1
n
n
u
u
u
/
1
2
u
u
1
u
2
/
1
u
u
u
e
/
u
e
u
ln
u
/
1
u
u
sin
u
/
cos
u u
cos
u
/
sin
u u
arctg
u
2
/
1
1
u
u
tg
u
2
/
1
cos
u
u
ctg
u
2
/
1
sin
u
u
5
u
x
=
(
)
/
arctg5x =
/
2
1
(5 )
1 (5 )
x
x
=
+
2
5
1 25x
=
+
Tomasz Kowalski: Pochodna funkcji
Slajd nr
46/54
Przykłady
f
f
/
2
u
/
2
u u
3
u
2
/
3
u u
n
u
/
1
n
n
u
u
u
/
1
2
u
u
1
u
2
/
1
u
u
u
e
/
u
e
u
ln
u
/
1
u
u
sin
u
/
cos
u u
cos
u
/
sin
u u
arctg
u
2
/
1
1
u
u
tg
u
2
/
1
cos
u
u
ctg
u
2
/
1
sin
u
u
sin
u
x
=
(
)
/
3
sin x =
2
/
3sin
(sin )
x
x
=
�
=
(
)
/
3
(sin )
x
=
2
3sin cos
x
x
=
Tomasz Kowalski: Pochodna funkcji
Slajd nr
47/54
Pochodne wyższych
rzędów
(
)
/
/
//
( )
( )
f x
f x
=
Przypuśćmy, że funkcja f posiada pochodną f
/
w pewnym przedziale I oraz funkcja f
/
jest
różniczkowalna na tym przedziale.
Wówczas jej pochodną (f
/
)
/
oznaczamy przez f
//
i
nazywamy drugą pochodną lub pochodną
drugiego rzędu funkcji f.
Tomasz Kowalski: Pochodna funkcji
Slajd nr
48/54
Pochodne wyższych
rzędów
(
)
/
( 1)
( )
( )
( )
n
n
f
x
f
x
-
=
Podobnie określamy pochodną rzędu n (n-tą
pochodną):
Tomasz Kowalski: Pochodna funkcji
Slajd nr
49/54
Przykłady
f
f
/
2
u
/
2
u u
3
u
2
/
3
u u
n
u
/
1
n
n
u
u
u
/
1
2
u
u
1
u
2
/
1
u
u
u
e
/
u
e
u
ln
u
/
1
u
u
sin
u
/
cos
u u
cos
u
/
sin
u u
arctg
u
2
/
1
1
u
u
tg
u
2
/
1
cos
u
u
ctg
u
2
/
1
sin
u
u
4
u
x
=
4
( )
x
f x
e
=
4
4
x
e �
( )
/
/
4
( )
x
f x
e
=
=
Obliczyć kilka kolejnych
pochodnych funkcji , a
następnie podać wzór na
pochodną rzędu n :
4
/
(
) 4
x
e
�=
(
)
/
//
4
( )
4
x
f x
e
=
� =
4
4 4
x
e ��
(
)
/
///
4
( )
4 4
x
f x
e
=
�� =
4
/
(
) 4 4
x
e
��=
4
4 4 4
x
e ���
( )
4
4
razy
( )
4 4 ... 4
4
n
x
x
n
n
f
x
e
e
=
����=
�
14 2 43
Tomasz Kowalski: Pochodna funkcji
Slajd nr
50/54
Przykłady
/
1
( )
n
n
x
nx
-
=
1
( )
f x
x
=
2
( 1)x
-
-
( )
/
/
1
( )
f x
x
-
=
=
Obliczyć kilka kolejnych pochodnych funkcji , a
następnie podać wzór na pochodną rzędu n :
3
( 1)( 2)x
-
-
-
(
)
/
//
2
( )
( 1)
f x
x
-
= -
=
(
)
/
///
3
( )
( 1)( 2)
f x
x
-
= -
-
=
4
( 1)( 2)( 3)x
-
-
-
-
( )
1
czynników
( ) ( 1)( 2) ... ( )
n
n
n
f
x
n x
- -
= -
- ��-
=
1 4 4 2 4 4 3
1
( 1) !
n
n
n x
- -
-
Tomasz Kowalski: Pochodna funkcji
Slajd nr
51/54
Definicja różniczki
Niech f będzie funkcją mającą pochodną w
punkcie x.
Różny od zera przyrost
x zmiennej niezależnej
nazywamy różniczką tej zmiennej i oznaczamy
symbolem dx.
Różniczką df funkcji f w punkcie x dla
przyrostu dx nazywamy iloczyn:
Wzory na różniczki otrzymujemy dopisując do
pochodnych wyrażenie dx.
/
( )
dff
x dx
=
Tomasz Kowalski: Pochodna funkcji
Slajd nr
52/54
Przykłady
Obliczyć różniczkę funkcji:
/
( cos )
df
x
x dx
=
=
(cos
sin )
x x
x dx
=
-
( )
cos .
f x
x
x
=
( cos
)
sin
(
)
1
x x
d
x
x
-
�
+
=
Tomasz Kowalski: Pochodna funkcji
Slajd nr
53/54
Przykłady
Obliczyć różniczkę funkcji:
2
4
/
(
)
x
x
df
e
dx
-
+
=
=
2 4
( )
.
x
x
f x
e
-
+
=
2
4
2
/
(
4 )
x
x
e
x
x dx
-
+
-
+
=
2
4
( 2
4)
x
x
e
x
dx
-
+
=
-
+
Tomasz Kowalski: Pochodna funkcji
Slajd nr
54/54